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数学基本活动经验，即学生在经历和感悟、探究和构建等数学基本活动过程中积淀而成的具有个体认知特征的思维模式。那么，中职数学课程教学如何帮助学生积累和提升数学基本活动经验呢？本文以“线性规划问题的有关概念”这一内容的两个不同教学方案为例，通过具体教学环节探讨促进学生获得数学基本活动经验的策略与途径。
一、建立“情景设置——信息表征——方法归纳——经验提升”的模式
1.感受现实情景，联系已有经验
教师可根据教学内容向学生呈现背景熟悉、问题陌生的两个情景，这两个情景分别包含目标函数求最大值或最小值，决策变量是整数或非整数，约束条件“不少于”“不多于”等信息。
例1.某房地产公司建造居民小区，若建一栋普通的住宅楼需投入资金300万元，并占地200m2，可获利润70万元；若建一栋别墅需投入资金200万元，并占地300 m2，可获利润60万元。该公司现有资金9 000万元，拍得土地11 000m2。问：应怎样投资，才能获利最多？请尝试用数学语言表达研究的问题。
例2.某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg。做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元。问：这个点心店每天做甲、乙两种馒头各多少，才能获利最多？
针对上述两个情景，教师引导学生自主探究，即要求学生读题、审题，教师启发、指点，使学生回归生活，并从自身的经历和经验中寻找解决问题的方法。
2.通过数学建模，获得信息经验
数学建模的关键在于：理解相应的背景，并对背景中的关系进行恰当的表征，即运用数学方法研究问题，也就是，进行数据整理和重新组织，这个过程正如荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说的“数学化”。数学建模的过程有两个。其一，学生根据已有的生活经验与知识经验，对问题背景进行整体感知，聚焦要解决的问题。其二，学生展示问题解决过程，并在讨论交流中修正和完善认知结构。
3.体会概念形成，获得归纳思维
数学概念的形成过程既是学生生活常识的精致化过程，又是学生思维开拓的过程，它一般遵循由特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，因此，源于生活的数学概念一般采用归纳的思维方式进行加工，正如弗赖登塔尔指出的，在实际生活中，许多概念并不是通过定义学到的，而是接触了大量实例，经反复观察、对比体会后归纳出来的。有了前面的背景材料和问题解决过程，“线性规划”的概念就有了参考的经验现象和归纳的基础，概念的形成就水到渠成。在之后的巩固练习中，教师可通过正反例比较帮助学生补充、修改和完善概念表象，以理解形成的概念。
4.构建解决模式，提升活动经验
例3.某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员。在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t的任务。已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元。每天应派出A型和B型卡车各多少辆，才能使公司总成本最低？
教师可通过上述例题帮助学生积累“做数学”的丰富经验，既获得知识，又找到解决问题的策略。由于认识活动是一个“意义赋予”的过程，因此，只有借助已有的经验和概念进行自我构建，才能获得对崭新概念的完整理解，所以，在教学中，教师要为学生设置情景，并注重师生或生生之间的讨论与合作，以归纳“线性规划”问题构建解决模式的三个步骤。
二、建立“信息搜集——自主构建——规范操作——模式检验”的模式
1.通过自主阅读，获得初始经验
学生往往带着对世界的看法走进课堂，而教学又必须在学生的最近发展区进行，所以，经验自然成为数学教学的逻辑起点。由于中职生个体间的差异较大，而教师确立的起点难免或高或低，有时甚至远离学生的认知经验，因此，起点的确立须考虑两个问题。其一，学生在课前必须弥合水平的差异，即通过问题的指引阅读教材，获取信息，以初步整理信息，从而获得初始经验。其二，课前的教材阅读，其重点应放在对陈述性知识的了解和发现问题方面，也就是说，要求学生通过阅读，将已有经验、知识与崭新知识相联系，并聚焦问题（什么叫做“线性规划”问题，一个“线性规划”问题的数学模型有哪些共同特征），这样，学生便能根据个人生活经验和已有知识进行初步的自主构建，从而为课堂生成做准备。
2.通过问题导引，自主构建概念
本课涉及的主要是陈述性知识。例如，“线性规划”问题的定义，记号“max”和“min”，“线性规划”问题分类，目标函数、决策变量和约束条件，“线性规划”问题的数学模型特征，“线性规划”数学模型的一般形式，等等。在传统数学教学中，上述陈述性知识总是由教师讲解，结果学生只机械地记住了这些知识，却没有对它们形成个性化的理解。而在富有创见的数学教学中，即使是陈述性知识或常规性概念，也要通过适当的活动，让学生自主构建概念。针对“线性规划问题的有关概念”这一内容，教师可采用让学生整理、举例、阐释、辨析和比较等方式，这样，学生不仅能获得知识，更能习得获取知识的经验和方法。
3.规范思维操作，获得解决经验
由于数学认知的核心是思维，因此，只有调动学生的思维，数学知识才能转化为学生的知识。要做到这一点，最根本的一条就是：充分暴露数学思维活动的过程，把数学知识的教学变成数学活动的教学。针对“线性规划问题的有关概念”这一内容，其核心在于：培养学生的信息处理能力，使他们学会数据整理和分析、规划和统筹，即引导他们分析有关量间的局部关系，用表格描述数据关系，并讨论相关问题（例如，要解决的问题是什么，“利润”的含义是什么，买进的原料是不是要恰好用完，应从何处入手思考解决方案，等等），以使学生切身体验，并获得真正的理解。当然，在这一过程中，学生获得的经验可能是片面的、零碎的和肤浅的，所以，需要进一步归纳问题的解决过程，规范思维操作，也就是从实际优化问题中抽象、识别“线性规划”模型，设决策变量，写目标函数，并列表描述数据，从而找出约束条件，以规划写法，这样，便形成“抽象——识别——规划”这一思维模式。 4.探究与反思，检验思维模式
探究与反思问题的过程是检验思维模式的必要步骤。由于学生的初始经验尚不牢固，因此，他们对建立“线性规划”模型的思维方式还没有形成应有的解题思路，并对问题分析方法的有效性存在疑虑，所以，只有通过独立探究与解题反思，才能促使学生关注思维模式的细节，从而形成有效的活动经验，并在实践中获得检验。
例4：某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员。在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t的任务。已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元。每天应派出A型和B型卡车各多少辆，才能使公司总成本最低？
针对上述例题，教师可提出相关问题（从哪入手，什么是总成本，目标函数是什么，约束条件是什么，有没有考虑周全），并采用表格表征信息，以将问题的解决过程独立而完整地表达出来。然后，教师修改题目（派出每辆卡车每天可得利润为A型120元，B型200元，求每天应派出A型和B型卡车各多少辆，才能使公司利润最大），并要求学生解答。教学完成后，反思：确立教学的关键，即“抽象、识别、规划”的思维操作过程，明确“线性规划”问题建模的三个步骤（设决策变量、定目标函数和列约束条件），建立“熟悉背景、表征信息”这一问题解决的通用策略。
三、促使学生获得数学活动经验的教学策略
美国组织行为学教授库伯认为，学习“始于经验，然后回归于经验”，学习是“改造或者转化经验、创造知识”的过程。可见，有效教学必以学生的已有经验为基础，并以经验形成为宗旨。回顾上述两种教学方案，我们发现，促使学生获取数学活动经验的教学方法有其共同的教学规律。
1.构建有利于形成数学思维模式的教学路径
通过参与具体活动，直接领悟、创造活动经验，然后对所经历的活动回顾、反思，内化为合乎逻辑的、抽象的经验，并将之在新情景中进行证实和运用，重新领悟和创造新的经验，即形成“情景——问题——活动——归纳——思维模式——实践应用”的教学方式，其中，“情景”是逻辑起点，“问题”是导向，“活动”是载体，“归纳”是思维方式（是对活动的回顾与反思，是对本质一致的不同情景的类别划分），“思维模式”是最后形成的经验，“实践应用”是对经验有效性的检验和强化。
2.优化有利于积淀数学活动经验的数学过程
要优化有利于积淀数学活动经验的教学过程，就要做到四点。其一，优化情景设计，使之成为积累数学活动经验的载体，以利于学生的理解、参与，促使学生调动内部与外部的资源处理情景问题，并对行动过程和结果进行反思，最终从情景中获得解决同类问题的思维模式。其二，优化行为操作、语言操作、表象操作和思维操作，即以灵活的方式引领学生对同一数学对象进行多元化的数学操作活动，从而形成个体对数学对象的个性化理解。其三，优化经验获得过程，做到有序性与提升性相融，即从初始经验到崭新经验的生成，是不断积累、积淀和创新的过程，只有经历活动，并对活动进行及时回顾、观察、反思和提炼，并在新的情景中验证和应用，才能获得完整的、条理化的经验。其四，优化“对话”过程，即让学生成为学习责任的承担者，一定要让他们自己动手参与、探索、倾听和质疑。
本文系江苏省教育科学规划2013年度重点研究课题：中职数学基本活动经验及教学实践研究（课题编号：B-a/2013/03/009）和江苏省职业教育教学改革研究课题： 中职数学课堂教学生活化实践研究（课题编号：ZYB37）研究成果之一。
（作者单位：江苏省苏州市太湖旅游中等专业学校）
（责任编辑：梁金）
一、建立“情景设置——信息表征——方法归纳——经验提升”的模式
1.感受现实情景，联系已有经验
教师可根据教学内容向学生呈现背景熟悉、问题陌生的两个情景，这两个情景分别包含目标函数求最大值或最小值，决策变量是整数或非整数，约束条件“不少于”“不多于”等信息。
例1.某房地产公司建造居民小区，若建一栋普通的住宅楼需投入资金300万元，并占地200m2，可获利润70万元；若建一栋别墅需投入资金200万元，并占地300 m2，可获利润60万元。该公司现有资金9 000万元，拍得土地11 000m2。问：应怎样投资，才能获利最多？请尝试用数学语言表达研究的问题。
例2.某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg。做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元。问：这个点心店每天做甲、乙两种馒头各多少，才能获利最多？
针对上述两个情景，教师引导学生自主探究，即要求学生读题、审题，教师启发、指点，使学生回归生活，并从自身的经历和经验中寻找解决问题的方法。
2.通过数学建模，获得信息经验
数学建模的关键在于：理解相应的背景，并对背景中的关系进行恰当的表征，即运用数学方法研究问题，也就是，进行数据整理和重新组织，这个过程正如荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说的“数学化”。数学建模的过程有两个。其一，学生根据已有的生活经验与知识经验，对问题背景进行整体感知，聚焦要解决的问题。其二，学生展示问题解决过程，并在讨论交流中修正和完善认知结构。
3.体会概念形成，获得归纳思维
数学概念的形成过程既是学生生活常识的精致化过程，又是学生思维开拓的过程，它一般遵循由特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，因此，源于生活的数学概念一般采用归纳的思维方式进行加工，正如弗赖登塔尔指出的，在实际生活中，许多概念并不是通过定义学到的，而是接触了大量实例，经反复观察、对比体会后归纳出来的。有了前面的背景材料和问题解决过程，“线性规划”的概念就有了参考的经验现象和归纳的基础，概念的形成就水到渠成。在之后的巩固练习中，教师可通过正反例比较帮助学生补充、修改和完善概念表象，以理解形成的概念。
4.构建解决模式，提升活动经验
例3.某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员。在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t的任务。已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元。每天应派出A型和B型卡车各多少辆，才能使公司总成本最低？
教师可通过上述例题帮助学生积累“做数学”的丰富经验，既获得知识，又找到解决问题的策略。由于认识活动是一个“意义赋予”的过程，因此，只有借助已有的经验和概念进行自我构建，才能获得对崭新概念的完整理解，所以，在教学中，教师要为学生设置情景，并注重师生或生生之间的讨论与合作，以归纳“线性规划”问题构建解决模式的三个步骤。
二、建立“信息搜集——自主构建——规范操作——模式检验”的模式
1.通过自主阅读，获得初始经验
学生往往带着对世界的看法走进课堂，而教学又必须在学生的最近发展区进行，所以，经验自然成为数学教学的逻辑起点。由于中职生个体间的差异较大，而教师确立的起点难免或高或低，有时甚至远离学生的认知经验，因此，起点的确立须考虑两个问题。其一，学生在课前必须弥合水平的差异，即通过问题的指引阅读教材，获取信息，以初步整理信息，从而获得初始经验。其二，课前的教材阅读，其重点应放在对陈述性知识的了解和发现问题方面，也就是说，要求学生通过阅读，将已有经验、知识与崭新知识相联系，并聚焦问题（什么叫做“线性规划”问题，一个“线性规划”问题的数学模型有哪些共同特征），这样，学生便能根据个人生活经验和已有知识进行初步的自主构建，从而为课堂生成做准备。
2.通过问题导引，自主构建概念
本课涉及的主要是陈述性知识。例如，“线性规划”问题的定义，记号“max”和“min”，“线性规划”问题分类，目标函数、决策变量和约束条件，“线性规划”问题的数学模型特征，“线性规划”数学模型的一般形式，等等。在传统数学教学中，上述陈述性知识总是由教师讲解，结果学生只机械地记住了这些知识，却没有对它们形成个性化的理解。而在富有创见的数学教学中，即使是陈述性知识或常规性概念，也要通过适当的活动，让学生自主构建概念。针对“线性规划问题的有关概念”这一内容，教师可采用让学生整理、举例、阐释、辨析和比较等方式，这样，学生不仅能获得知识，更能习得获取知识的经验和方法。
3.规范思维操作，获得解决经验
由于数学认知的核心是思维，因此，只有调动学生的思维，数学知识才能转化为学生的知识。要做到这一点，最根本的一条就是：充分暴露数学思维活动的过程，把数学知识的教学变成数学活动的教学。针对“线性规划问题的有关概念”这一内容，其核心在于：培养学生的信息处理能力，使他们学会数据整理和分析、规划和统筹，即引导他们分析有关量间的局部关系，用表格描述数据关系，并讨论相关问题（例如，要解决的问题是什么，“利润”的含义是什么，买进的原料是不是要恰好用完，应从何处入手思考解决方案，等等），以使学生切身体验，并获得真正的理解。当然，在这一过程中，学生获得的经验可能是片面的、零碎的和肤浅的，所以，需要进一步归纳问题的解决过程，规范思维操作，也就是从实际优化问题中抽象、识别“线性规划”模型，设决策变量，写目标函数，并列表描述数据，从而找出约束条件，以规划写法，这样，便形成“抽象——识别——规划”这一思维模式。 4.探究与反思，检验思维模式
探究与反思问题的过程是检验思维模式的必要步骤。由于学生的初始经验尚不牢固，因此，他们对建立“线性规划”模型的思维方式还没有形成应有的解题思路，并对问题分析方法的有效性存在疑虑，所以，只有通过独立探究与解题反思，才能促使学生关注思维模式的细节，从而形成有效的活动经验，并在实践中获得检验。
例4：某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员。在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t的任务。已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元。每天应派出A型和B型卡车各多少辆，才能使公司总成本最低？
针对上述例题，教师可提出相关问题（从哪入手，什么是总成本，目标函数是什么，约束条件是什么，有没有考虑周全），并采用表格表征信息，以将问题的解决过程独立而完整地表达出来。然后，教师修改题目（派出每辆卡车每天可得利润为A型120元，B型200元，求每天应派出A型和B型卡车各多少辆，才能使公司利润最大），并要求学生解答。教学完成后，反思：确立教学的关键，即“抽象、识别、规划”的思维操作过程，明确“线性规划”问题建模的三个步骤（设决策变量、定目标函数和列约束条件），建立“熟悉背景、表征信息”这一问题解决的通用策略。
三、促使学生获得数学活动经验的教学策略
美国组织行为学教授库伯认为，学习“始于经验，然后回归于经验”，学习是“改造或者转化经验、创造知识”的过程。可见，有效教学必以学生的已有经验为基础，并以经验形成为宗旨。回顾上述两种教学方案，我们发现，促使学生获取数学活动经验的教学方法有其共同的教学规律。
1.构建有利于形成数学思维模式的教学路径
通过参与具体活动，直接领悟、创造活动经验，然后对所经历的活动回顾、反思，内化为合乎逻辑的、抽象的经验，并将之在新情景中进行证实和运用，重新领悟和创造新的经验，即形成“情景——问题——活动——归纳——思维模式——实践应用”的教学方式，其中，“情景”是逻辑起点，“问题”是导向，“活动”是载体，“归纳”是思维方式（是对活动的回顾与反思，是对本质一致的不同情景的类别划分），“思维模式”是最后形成的经验，“实践应用”是对经验有效性的检验和强化。
2.优化有利于积淀数学活动经验的数学过程
要优化有利于积淀数学活动经验的教学过程，就要做到四点。其一，优化情景设计，使之成为积累数学活动经验的载体，以利于学生的理解、参与，促使学生调动内部与外部的资源处理情景问题，并对行动过程和结果进行反思，最终从情景中获得解决同类问题的思维模式。其二，优化行为操作、语言操作、表象操作和思维操作，即以灵活的方式引领学生对同一数学对象进行多元化的数学操作活动，从而形成个体对数学对象的个性化理解。其三，优化经验获得过程，做到有序性与提升性相融，即从初始经验到崭新经验的生成，是不断积累、积淀和创新的过程，只有经历活动，并对活动进行及时回顾、观察、反思和提炼，并在新的情景中验证和应用，才能获得完整的、条理化的经验。其四，优化“对话”过程，即让学生成为学习责任的承担者，一定要让他们自己动手参与、探索、倾听和质疑。
本文系江苏省教育科学规划2013年度重点研究课题：中职数学基本活动经验及教学实践研究（课题编号：B-a/2013/03/009）和江苏省职业教育教学改革研究课题： 中职数学课堂教学生活化实践研究（课题编号：ZYB37）研究成果之一。
（作者单位：江苏省苏州市太湖旅游中等专业学校）
（责任编辑：梁金）