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因式分解，也可以叫做分解因式，是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识。在中学阶段，应该扎扎实实地进行因式分解教学研究。
一、因式分解的意义
1.有关多项式因式分解的基本概念
定义1：设f（x）是数域P上的多项式。若存在数域P上的多项式g（x）、φ（x），使f（x）=g（x）φ（x），则g（x）和φ（x）都称为f（x）的因式。
设f（x）是数域P上的多项式，C为P的任一不为零的数。因为f（x）=c■f（x），所以C与■f（x）也都是f（x）的因式。为了与其它因式相区别，把这种非零的数以及与f（x）只相差一个非零常数因子的多项式称为f（x）的当然因式，f（x）的其它因式称为f（x）的非当然因式。
定义2：设f（x）是数域P上的多项式。若f（x）没有非当然因式，则称f（x）在P上既约（不可约），否则称为在P上可约。
关于既约多项式，在高等代数中证明过如下因式分解及唯一性定理：
定理1：数域P上的任一个n次（n≥1）多项式f（x），都可以表示成P上的一些既约多项式的乘积的形式：f（x）=P1（x）P2（x）…Pk（x），其中P1（x）、P2（x）、…、Pk（x）都是P上的既约多项式。而且，除常数因子与因式次序外，这种形式是唯一的。
上述定理为多项式因式分解的可能性提供了理论根据。
定义3：在给定的数域P上，把一个多项式表示成若干个既约多项式的乘积的形式，称为在P上的多项式的因式分解。
2.深刻理解因式分解的意义
定义3是多项式因式分解的严格定义，其含义主要有如下几点：
（1）因式分解是相对于某一数域P而言的。
（2）因式分解一定要表示成积的形式，它与整式乘法不同，是与之方向相反的恒等变形。
（3）分解指的是分解为非当然因式。
（4）分解所得的各个因式必须都是多项式，不能是分式，也不能是无理式或其它。
（5）分解所得的各个因式，在指定的数域P上都是既约的。
（6）在不计非零常数因子及因式次序的意义下，分解式是唯一的。
以上这些概念，在中学不适宜全部引进，但作为中学数学教师应该全部掌握，以便于深入浅出地去进行教学。
3.中学时因式分解概念教学的处理办法
既然因式分解的严格定义（定义3）对因式分解的意义阐述得比较明确，为什么在中学课本中不采用呢？其原因在于：
（1）中学课本把单项式与多项式用对立的观点处理。
（2）开始讲因式分解时仅仅是在有理数域上，故可约与否的相对性无从谈起。
（3）在有理数域上（或实数域上）证明一个多项式为不可约多项式，是学生力不能及的。
（4）中学讲授因式分解的目的偏重在方法，而不在理论。
在中学课本中，一方面以“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式因式分解”来代替上述的严格定义，另一方面又加了注意点：“分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。”这样做的最大好处在于通俗易懂，便于中学生接受，但也存在着一个缺点，就是某些含义不够明确，例如4x2-1=4（x2-■）式子是不是因式分解？显然，它符合中学课本中因式分解的定义，但这样的分解对我们研究问题帮助不大，这正如在算术中把一个合数分解为1与这个合数本身的乘积一样（如4=1×4），我们需要的并不是这样的分解。又如4x2-16=（2x+4）（2x-4）=2（x+2）（2x-4）=4（x+2）（x-2）=16（■x+1）（■x-1）=…
这些非当然因子之间仅相差一个“非零常数因子”，因此在精准到“非零常数因子”的意义下，上述各个结果都一样。对于整系数多项式，如果这些系数有公因数的话，那么一般是先提取它们的最大公因数，然后进行分解。至于到底在哪个数域上分解因式，当然是按照题目指定的要求去做。如果没有指明这一点，则应根据学生接触到的数的概念到了哪个阶段而定。
二、因式分解在教材中的地位、作用
1.多项式因式分解在全部中学代数课程中占着重要的地位，它是今后进一步学习的必备基础知识。在初中阶段，归纳起来有以下几点：
（1）它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；
（2）利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算合理、简便；
（3）因式分解与解方程（组）密切相关。不仅二次方程有时用十字相乘法分解因式去解要比用求根公式去解来得简便，而且有些高次方程或超越方程非要用因式分解法不可，如
解方程x3-48x+7=0.
解：x3+7x2-7x2-48x+7=0
x2（x+7）-（7x2+48x-7）=0
x2（x+7）-（x+7）（7x-1）=0
（x+7）（x2-7x+1）=0
∴x1=-7，x2，3=.
又如解方程5x-3+5x-2+5x-1=775.
解：5x-3（1+5+52）=775
5x-3=52
x-3=2
∴x=5.
从以上可以看到，如果没有因式分解知识，对于解这类方程是难以下手的。
（4）对于解不等式（组），常常需要先因式分解；
（6）应用因式分解的知识，可以将一多项式和差化积，在变形后便于取对数简化计算。
2.因式分解是集变形之大成，是以前所学知识的综合应用，对于巩固已学知识大有帮助。
因式分解过程中常用的数学知识点有：（1）五大基本运算定律；（2）指数律；（3）符号法则；（4）乘法公式。因式分解本身是重要的恒等变形之一，它是各种运算及代数式恒等变形的综合应用，几乎触及到恒等变形的大部分技能和技巧：如提取公因式、添括号、拆项、添项（包括配方法）等，所以因式分解不仅是初中数学的一个重点，也是一个难点。 3.因式分解对于发展学生的逻辑推理能力，以及培养学生的解题技巧、技能都有着独特的作用。为此，因式分解的教学目的是：（1）使学生明确多项式因式分解的意义；熟练掌握因式分解的几种基本方法。（2）培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、因式分解的基本问题和研究方向
（一）两个基本问题
多项式因式分解主要讨论两个基本问题，一个是怎样判断一个多项式是可约的；另一个是如果一个多项式是可约的，究竟如何去分解？
关于第一个问题，在高等代数里已经做了回答，现在简单回顾一下：
1.在复数域C上，只有一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都可以分解成一次因式的乘积。
2.在实数域R上，次数≥3的多项式总是可约的。这就是说，在实数范围内，既约多项式只有一次多项式和某些二次多项式。一个二次多项式ax2+bx+c（a≠0）既约的充要条件是判别式b2-4ac<0，但不存在次数≥3的既约多项式。
3.在有理数域Q上，情况比较复杂。除了一次式是既约的，次数高于1的多项式，都可能是既约的。例如，对于任意n，多项式xn+2在有理数域上总是既约的。
对于有理数域上的某一类多项式（有的还要适当变形），可以用艾森施坦因（Eisenstein）判别法，来判定这一类多项式在有理数域上不可约，其缺陷是应用范围不广。
对于二次或三次的有理数系数多项式，如果没有有理根，则在有理数域上显然不可约（用反证法可说明这一点）。因此这类问题可以通过试探所有可能的有理根的途径加以解决。
关于第二个问题，即所谓因式分解一般方法的问题，定理1（因式分解及唯一性定理）虽然有重要的理论价值，仅仅说明了因式分解的可能性，也就是还没有一个确定的方法，经过有限次的算术运算，把一个多项式分解成既约因式的乘积。现在仅就一元多项式分几种情况加以说明：
1.没有普遍的方法将多项式分解为复数域上既约多项式的乘积，其理由如下：
在复数域上，不可约多项式是一次式。由因式定理知，一次因式与求多项式的根是一回事，因此问题就等价地转化为寻求复数域上多项式求根的一般公式。我们知道二次多项式求根公式、三次和四次多项式也存在求根公式，至于五次及以上的多项式就不存在用系数的有限次代数运算表示的求根公式。例如，f（x）=x5-x-1，利用法国数学家伽罗华所建立的理论可以证明，不可能经过有限次代数运算将这个多项式的根表成系数的函数。因此，一般的五次多项式求根公式就更不成立了。
2.没有普遍适用的方法将实系数多项式分解成实数域上既约多项式的乘积。
例如，不可能经过有限次代数运算，将实数域上的多项式f（x）=x5-x-1分解成实数域上不可约多项式的乘积。由于有求根公式可将实数域上二次既约多项式分解成两个带复系数的一次因式的积。也就是可以经过有限次代数运算将f（x）分解成了带复系数的一次因式的积，这与上面的讨论相矛盾。由此，对于实数域的多项式不存在这样的普遍使用的方法：（1）它是由有限次代数运算构成的；（2）它可以将任意实系数多项式分解成实数域上既约多项式的乘积。
3.存在适用于将有理数域上多项式分解为有理数域上既约多项式的一般方法。
定理2：在有理数域Q上，任何n（n≥1）次多项式f（x）都能经过有限次算术运算分解成既约多项式的乘积。
通过对Kronecker定理的证明，可以得到因式分解的具体方法和步骤，可经过有限次有理运算，将有理数域中任意一个多项式分解为既约多项式的乘积。这种方法使用比较繁杂，不够实用，但具有极大的理论价值。
4.在一般数域P上，情况更加复杂。
（二）因式分解的其它一些特殊方法
1.待定系数法。
2.除法：（1）结合使用余数定理、因式定理，用综合除法；（2）一般除法：用于析出已知的高于一次的因式和其它一些特殊情况。
3.求根法：（1）利用有理根（含可能的有理根）；（2）利用实根（不论实根是通过什么途径获得的）；（3）利用复根（含利用共轭复根）。
4.可约性的判别法。
5.去除因式重数（或重根）。
6.运用行列式。
7.关于多元多项式的因式分解，可利用多项式的某种特性（如对称性）。例如，对称式、轮换式与交代式的因式分解。
8.运用有关定理和专项研究出的结论。例如，关于二元二次多项式因式分解的若干定理。
9.综合运用上述两种或两种以上的方法。
（三）因式分解的研究方向
因式分解的两个基本问题的结论自然决定了因式分解的研究方向：
1.可约性问题
（1）有理数域上可约性的进一步完善；
（2）可约的条件；
（3）多元多项式的情形。
2.分解的理论及方法
（1）某一类型或某一范围的特殊方法及理论的研究；
（2）有理数域上因式分解的一般方法及步骤的进一步探讨；
（3）一般数域P上，因式分解理论的进一步深化。
一、因式分解的意义
1.有关多项式因式分解的基本概念
定义1：设f（x）是数域P上的多项式。若存在数域P上的多项式g（x）、φ（x），使f（x）=g（x）φ（x），则g（x）和φ（x）都称为f（x）的因式。
设f（x）是数域P上的多项式，C为P的任一不为零的数。因为f（x）=c■f（x），所以C与■f（x）也都是f（x）的因式。为了与其它因式相区别，把这种非零的数以及与f（x）只相差一个非零常数因子的多项式称为f（x）的当然因式，f（x）的其它因式称为f（x）的非当然因式。
定义2：设f（x）是数域P上的多项式。若f（x）没有非当然因式，则称f（x）在P上既约（不可约），否则称为在P上可约。
关于既约多项式，在高等代数中证明过如下因式分解及唯一性定理：
定理1：数域P上的任一个n次（n≥1）多项式f（x），都可以表示成P上的一些既约多项式的乘积的形式：f（x）=P1（x）P2（x）…Pk（x），其中P1（x）、P2（x）、…、Pk（x）都是P上的既约多项式。而且，除常数因子与因式次序外，这种形式是唯一的。
上述定理为多项式因式分解的可能性提供了理论根据。
定义3：在给定的数域P上，把一个多项式表示成若干个既约多项式的乘积的形式，称为在P上的多项式的因式分解。
2.深刻理解因式分解的意义
定义3是多项式因式分解的严格定义，其含义主要有如下几点：
（1）因式分解是相对于某一数域P而言的。
（2）因式分解一定要表示成积的形式，它与整式乘法不同，是与之方向相反的恒等变形。
（3）分解指的是分解为非当然因式。
（4）分解所得的各个因式必须都是多项式，不能是分式，也不能是无理式或其它。
（5）分解所得的各个因式，在指定的数域P上都是既约的。
（6）在不计非零常数因子及因式次序的意义下，分解式是唯一的。
以上这些概念，在中学不适宜全部引进，但作为中学数学教师应该全部掌握，以便于深入浅出地去进行教学。
3.中学时因式分解概念教学的处理办法
既然因式分解的严格定义（定义3）对因式分解的意义阐述得比较明确，为什么在中学课本中不采用呢？其原因在于：
（1）中学课本把单项式与多项式用对立的观点处理。
（2）开始讲因式分解时仅仅是在有理数域上，故可约与否的相对性无从谈起。
（3）在有理数域上（或实数域上）证明一个多项式为不可约多项式，是学生力不能及的。
（4）中学讲授因式分解的目的偏重在方法，而不在理论。
在中学课本中，一方面以“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式因式分解”来代替上述的严格定义，另一方面又加了注意点：“分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。”这样做的最大好处在于通俗易懂，便于中学生接受，但也存在着一个缺点，就是某些含义不够明确，例如4x2-1=4（x2-■）式子是不是因式分解？显然，它符合中学课本中因式分解的定义，但这样的分解对我们研究问题帮助不大，这正如在算术中把一个合数分解为1与这个合数本身的乘积一样（如4=1×4），我们需要的并不是这样的分解。又如4x2-16=（2x+4）（2x-4）=2（x+2）（2x-4）=4（x+2）（x-2）=16（■x+1）（■x-1）=…
这些非当然因子之间仅相差一个“非零常数因子”，因此在精准到“非零常数因子”的意义下，上述各个结果都一样。对于整系数多项式，如果这些系数有公因数的话，那么一般是先提取它们的最大公因数，然后进行分解。至于到底在哪个数域上分解因式，当然是按照题目指定的要求去做。如果没有指明这一点，则应根据学生接触到的数的概念到了哪个阶段而定。
二、因式分解在教材中的地位、作用
1.多项式因式分解在全部中学代数课程中占着重要的地位，它是今后进一步学习的必备基础知识。在初中阶段，归纳起来有以下几点：
（1）它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；
（2）利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算合理、简便；
（3）因式分解与解方程（组）密切相关。不仅二次方程有时用十字相乘法分解因式去解要比用求根公式去解来得简便，而且有些高次方程或超越方程非要用因式分解法不可，如
解方程x3-48x+7=0.
解：x3+7x2-7x2-48x+7=0
x2（x+7）-（7x2+48x-7）=0
x2（x+7）-（x+7）（7x-1）=0
（x+7）（x2-7x+1）=0
∴x1=-7，x2，3=.
又如解方程5x-3+5x-2+5x-1=775.
解：5x-3（1+5+52）=775
5x-3=52
x-3=2
∴x=5.
从以上可以看到，如果没有因式分解知识，对于解这类方程是难以下手的。
（4）对于解不等式（组），常常需要先因式分解；
（6）应用因式分解的知识，可以将一多项式和差化积，在变形后便于取对数简化计算。
2.因式分解是集变形之大成，是以前所学知识的综合应用，对于巩固已学知识大有帮助。
因式分解过程中常用的数学知识点有：（1）五大基本运算定律；（2）指数律；（3）符号法则；（4）乘法公式。因式分解本身是重要的恒等变形之一，它是各种运算及代数式恒等变形的综合应用，几乎触及到恒等变形的大部分技能和技巧：如提取公因式、添括号、拆项、添项（包括配方法）等，所以因式分解不仅是初中数学的一个重点，也是一个难点。 3.因式分解对于发展学生的逻辑推理能力，以及培养学生的解题技巧、技能都有着独特的作用。为此，因式分解的教学目的是：（1）使学生明确多项式因式分解的意义；熟练掌握因式分解的几种基本方法。（2）培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、因式分解的基本问题和研究方向
（一）两个基本问题
多项式因式分解主要讨论两个基本问题，一个是怎样判断一个多项式是可约的；另一个是如果一个多项式是可约的，究竟如何去分解？
关于第一个问题，在高等代数里已经做了回答，现在简单回顾一下：
1.在复数域C上，只有一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都可以分解成一次因式的乘积。
2.在实数域R上，次数≥3的多项式总是可约的。这就是说，在实数范围内，既约多项式只有一次多项式和某些二次多项式。一个二次多项式ax2+bx+c（a≠0）既约的充要条件是判别式b2-4ac<0，但不存在次数≥3的既约多项式。
3.在有理数域Q上，情况比较复杂。除了一次式是既约的，次数高于1的多项式，都可能是既约的。例如，对于任意n，多项式xn+2在有理数域上总是既约的。
对于有理数域上的某一类多项式（有的还要适当变形），可以用艾森施坦因（Eisenstein）判别法，来判定这一类多项式在有理数域上不可约，其缺陷是应用范围不广。
对于二次或三次的有理数系数多项式，如果没有有理根，则在有理数域上显然不可约（用反证法可说明这一点）。因此这类问题可以通过试探所有可能的有理根的途径加以解决。
关于第二个问题，即所谓因式分解一般方法的问题，定理1（因式分解及唯一性定理）虽然有重要的理论价值，仅仅说明了因式分解的可能性，也就是还没有一个确定的方法，经过有限次的算术运算，把一个多项式分解成既约因式的乘积。现在仅就一元多项式分几种情况加以说明：
1.没有普遍的方法将多项式分解为复数域上既约多项式的乘积，其理由如下：
在复数域上，不可约多项式是一次式。由因式定理知，一次因式与求多项式的根是一回事，因此问题就等价地转化为寻求复数域上多项式求根的一般公式。我们知道二次多项式求根公式、三次和四次多项式也存在求根公式，至于五次及以上的多项式就不存在用系数的有限次代数运算表示的求根公式。例如，f（x）=x5-x-1，利用法国数学家伽罗华所建立的理论可以证明，不可能经过有限次代数运算将这个多项式的根表成系数的函数。因此，一般的五次多项式求根公式就更不成立了。
2.没有普遍适用的方法将实系数多项式分解成实数域上既约多项式的乘积。
例如，不可能经过有限次代数运算，将实数域上的多项式f（x）=x5-x-1分解成实数域上不可约多项式的乘积。由于有求根公式可将实数域上二次既约多项式分解成两个带复系数的一次因式的积。也就是可以经过有限次代数运算将f（x）分解成了带复系数的一次因式的积，这与上面的讨论相矛盾。由此，对于实数域的多项式不存在这样的普遍使用的方法：（1）它是由有限次代数运算构成的；（2）它可以将任意实系数多项式分解成实数域上既约多项式的乘积。
3.存在适用于将有理数域上多项式分解为有理数域上既约多项式的一般方法。
定理2：在有理数域Q上，任何n（n≥1）次多项式f（x）都能经过有限次算术运算分解成既约多项式的乘积。
通过对Kronecker定理的证明，可以得到因式分解的具体方法和步骤，可经过有限次有理运算，将有理数域中任意一个多项式分解为既约多项式的乘积。这种方法使用比较繁杂，不够实用，但具有极大的理论价值。
4.在一般数域P上，情况更加复杂。
（二）因式分解的其它一些特殊方法
1.待定系数法。
2.除法：（1）结合使用余数定理、因式定理，用综合除法；（2）一般除法：用于析出已知的高于一次的因式和其它一些特殊情况。
3.求根法：（1）利用有理根（含可能的有理根）；（2）利用实根（不论实根是通过什么途径获得的）；（3）利用复根（含利用共轭复根）。
4.可约性的判别法。
5.去除因式重数（或重根）。
6.运用行列式。
7.关于多元多项式的因式分解，可利用多项式的某种特性（如对称性）。例如，对称式、轮换式与交代式的因式分解。
8.运用有关定理和专项研究出的结论。例如，关于二元二次多项式因式分解的若干定理。
9.综合运用上述两种或两种以上的方法。
（三）因式分解的研究方向
因式分解的两个基本问题的结论自然决定了因式分解的研究方向：
1.可约性问题
（1）有理数域上可约性的进一步完善；
（2）可约的条件；
（3）多元多项式的情形。
2.分解的理论及方法
（1）某一类型或某一范围的特殊方法及理论的研究；
（2）有理数域上因式分解的一般方法及步骤的进一步探讨；
（3）一般数域P上，因式分解理论的进一步深化。