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摘 要：本文利用2012年1月24日至2018年3月21日期间上证综合指数日收盘价的数据，对其收益率序列进行了统计描述，并对上证综合指数的对数价格建立GARCH模型，进行实证分析，得出上证指数的对数价格具有波动率聚集现象的结论。
关键词：GARCH模型 上证指数 波动率
中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2018）05（c）-177-02
我国股票市场经历了将近30年的演变，从无到有，从不规范到逐渐规范，可以说我国股票市场未来的发展前景是值得期待的。但是，在看到我国股票市场繁荣的一面的同时，也应该注意到它所蕴含的风险，正是由于这种风险的存在，才使我们开始关注股票价格的波动率。如今对股票价格波动率的研究已经越来越多，它的估计值是否准确直接关系到投资策略的正确与否。
在国外，人们对波动率研究的历史更加悠久。1982年Engle提出了自回归条件异方差（ARCH）模型，它反映了波动率的聚集現象；1986年Bollerslev在前者的基础上提出了广义ARCH（GARCH）模型，对原有的ARCH模型进行了改进，相比ARCH模型而言，GARCH用很少的参数就可以充分描述股票价格的波动率过程；1991年Nelson又进一步提出了指数GARCH模型，它弥补了前面两者的缺陷，使得波动率对股票价格的大幅上升和下降具有不同的反映，即描述了波动率的杠杆效应。
本文主要在GARCH模型的基础上对上证综合指数进行描述，旨在研究近年来我国股票市场的不确定性，并对此进行探讨。最后，本文会对全文内容进行总结并得出相应的结论。
1 模型简介 1.1 ARCH模型简介
GARCH模型相比ARCH模型具有如下的优点：（1）GARCH模型具有降阶的功能，它降低了ARCH模型的阶数，提高了模型整体的准确性；（2）GARCH模型比ARCH模型多了随时间进行演变的特征；（3）GARCH模型比ARCH模型更具有“波动率聚集”现象；（4） GARCH模型比ARCH模型多了延迟项来描述波动率的演变。
2 数据来源
本文考虑到2007年次贷危机发生后经济的恢复期需要3～5年，故选用2012年1月24日至2018年3月21日的上证综合指数日收盘价作为本次研究的指标，用Pt表示，共计1607个数据，数据来源于大智慧数据信息平台。本文试图通过对上证综合指数建立模型来对其波动率进行分析，旨在反应近年来我国股票市场的波动情况。
3 基于GARCH模型的上证指数波动率的实证分析
3.1 上证指数日收益率的基本分析
本文采用连续复合收益率来对上证指数的收益率进行定义，其中第t天的上证指数日收盘价记为Pt，上证指数的日收益率记为rt，则有rt=lnPt-lnPt-1。
从表1中可以发现所选样本序列的中位数大于其均值，说明其右偏；峰度K=11.25545，说明收益率分布相比于正态分布更具有“尖峰”，这与大量的实证结论保持一致。另外，Jarque-Bera检验统计量的值也说明了上证指数的日收益率序列不服从正态分布。ADF检验统计量表明在即使1%的显著水平下，此收益率序列都是平稳的。
3.2 模型建立
假设我国的股票市场是弱式有效市场，即投资者无法使用当前或者历史的价格对股票的价格作出预测。本文中股票价格的对数序列采用随机游走模型来描述，其形式为：LnPt=βLnPt-1+at，其中εt为随机误差项。
利用Eviews7.2建立随机游走模型得到方程：Ln Pt= 1.000030LnPt-1，从中可以发现LnPt-1的系数接近于1，所以LnPt-1服从随机游走过程。
从图1中可以看出，残差序列具有波动率聚集现象，说明残差序列可能具有异方差性。对at进行ARCH效应的检验得F检验统计量的值为111.6972，P值为0.0000，具体如表2所示。并且残差平方序列的ACF显著不为0，Q统计量在各阶的相伴概率（P值）为0.000，故{a2t}具有自相关性，继而认为残差序列之间不独立。所以可以拒绝残差序列具有同方差的假定，认为时间序列{at}具有异方差性，适合建立波动率方程，即LnPt具有ARCH效应。综上所诉，有理由认为GARCH模型来描述上证指数的波动率是合理的。
3.3 模型检验
3.3.1 方差方程系数检验
从上面的结果可知：a0=6.42×10-7>0，a1=0.066882≥0，β1=0.931943≥0，a1+β1=0.998825<1，故方程参数满足约束条件，认为{at}服从GARCH（1，1）模型。
3.3.2 模型标准化残差检验
对上述GARCH（1，1）模型而言，其标准化残差为：εt=at/σt。利用Eviews7.2检验时间序列{εt}的Ljung-Box统计量为Q（12）=17.466（P值=0.133），Q（24）=26.389（P值=0.334），时间序列{εt2}的Ljing-Box统计量为Q（12）=15.897（P值=0.196），Q（24）=22.949（P值=0.523），因此可以认为GARCH（1，1）模型能充分拟合上证指数对数价格序列与波动率序列的线性相依性，故这样拟合的GARCH（1，1）模型是充分的。
4 结语
本文首先对上证综合指数的收益率序列进行了统计描述，得出上证综合指数收益率序列平稳，且该收益率序列具有尖峰厚尾性的结论。接着对上证指数的对数价格序列建立了随机游走模型，并对其残差序列进行了ARCH效应分析，之后在随机游走模型的基础上建立了GARCH模型，且结果表明该模型拟合度良好。最后，本文对建立的模型进行检验，得出对上证指数对数价格序列建立GARCH（1，1）模型是合适的结论。
现将本文的结论总结如下：（1）我国股票的收益率序列具有尖峰厚尾性；（2）我国股票市场目前属于弱式有效市场，股票价格具有不可预测性；（3）上证指数的对数价格的波动率具有聚集现象，可以认为我国股票市场上呈现出“强 者越强，弱者越弱”的现象。
参考文献
[1] 成城.基于GARCH模型的上证指数波动率特征分析[D].山东大学，2014.
[2] 陈潇，杨恩.中美股市杠杆效应与波动溢出效应——基于GARCH模型的实证分析[J].财经科学，2011（4）.
[3] 单瞳.基于GARCH模型的我国股票价格波动性研究——以上证综指为例[D].东北大学，2015.
[4] 孙映宏，曹显兵.基于GARCH模型的中美汇率实证分析[J].数学的实践与认识，2012（20）.
[5] 何树红，张秋月，张文.基于GARCH模型的股指期货协整跨期套利实证研究[J].数学的实践与认识，2013（20）.
[6] 唐俊波，杨四香，何树红.基于GARCH模型的上证指数实证分析[J].重庆工商大学学报，2012（10）.
关键词：GARCH模型 上证指数 波动率
中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2018）05（c）-177-02
我国股票市场经历了将近30年的演变，从无到有，从不规范到逐渐规范，可以说我国股票市场未来的发展前景是值得期待的。但是，在看到我国股票市场繁荣的一面的同时，也应该注意到它所蕴含的风险，正是由于这种风险的存在，才使我们开始关注股票价格的波动率。如今对股票价格波动率的研究已经越来越多，它的估计值是否准确直接关系到投资策略的正确与否。
在国外，人们对波动率研究的历史更加悠久。1982年Engle提出了自回归条件异方差（ARCH）模型，它反映了波动率的聚集現象；1986年Bollerslev在前者的基础上提出了广义ARCH（GARCH）模型，对原有的ARCH模型进行了改进，相比ARCH模型而言，GARCH用很少的参数就可以充分描述股票价格的波动率过程；1991年Nelson又进一步提出了指数GARCH模型，它弥补了前面两者的缺陷，使得波动率对股票价格的大幅上升和下降具有不同的反映，即描述了波动率的杠杆效应。
本文主要在GARCH模型的基础上对上证综合指数进行描述，旨在研究近年来我国股票市场的不确定性，并对此进行探讨。最后，本文会对全文内容进行总结并得出相应的结论。
1 模型简介 1.1 ARCH模型简介
GARCH模型相比ARCH模型具有如下的优点：（1）GARCH模型具有降阶的功能，它降低了ARCH模型的阶数，提高了模型整体的准确性；（2）GARCH模型比ARCH模型多了随时间进行演变的特征；（3）GARCH模型比ARCH模型更具有“波动率聚集”现象；（4） GARCH模型比ARCH模型多了延迟项来描述波动率的演变。
2 数据来源
本文考虑到2007年次贷危机发生后经济的恢复期需要3～5年，故选用2012年1月24日至2018年3月21日的上证综合指数日收盘价作为本次研究的指标，用Pt表示，共计1607个数据，数据来源于大智慧数据信息平台。本文试图通过对上证综合指数建立模型来对其波动率进行分析，旨在反应近年来我国股票市场的波动情况。
3 基于GARCH模型的上证指数波动率的实证分析
3.1 上证指数日收益率的基本分析
本文采用连续复合收益率来对上证指数的收益率进行定义，其中第t天的上证指数日收盘价记为Pt，上证指数的日收益率记为rt，则有rt=lnPt-lnPt-1。
从表1中可以发现所选样本序列的中位数大于其均值，说明其右偏；峰度K=11.25545，说明收益率分布相比于正态分布更具有“尖峰”，这与大量的实证结论保持一致。另外，Jarque-Bera检验统计量的值也说明了上证指数的日收益率序列不服从正态分布。ADF检验统计量表明在即使1%的显著水平下，此收益率序列都是平稳的。
3.2 模型建立
假设我国的股票市场是弱式有效市场，即投资者无法使用当前或者历史的价格对股票的价格作出预测。本文中股票价格的对数序列采用随机游走模型来描述，其形式为：LnPt=βLnPt-1+at，其中εt为随机误差项。
利用Eviews7.2建立随机游走模型得到方程：Ln Pt= 1.000030LnPt-1，从中可以发现LnPt-1的系数接近于1，所以LnPt-1服从随机游走过程。
从图1中可以看出，残差序列具有波动率聚集现象，说明残差序列可能具有异方差性。对at进行ARCH效应的检验得F检验统计量的值为111.6972，P值为0.0000，具体如表2所示。并且残差平方序列的ACF显著不为0，Q统计量在各阶的相伴概率（P值）为0.000，故{a2t}具有自相关性，继而认为残差序列之间不独立。所以可以拒绝残差序列具有同方差的假定，认为时间序列{at}具有异方差性，适合建立波动率方程，即LnPt具有ARCH效应。综上所诉，有理由认为GARCH模型来描述上证指数的波动率是合理的。
3.3 模型检验
3.3.1 方差方程系数检验
从上面的结果可知：a0=6.42×10-7>0，a1=0.066882≥0，β1=0.931943≥0，a1+β1=0.998825<1，故方程参数满足约束条件，认为{at}服从GARCH（1，1）模型。
3.3.2 模型标准化残差检验
对上述GARCH（1，1）模型而言，其标准化残差为：εt=at/σt。利用Eviews7.2检验时间序列{εt}的Ljung-Box统计量为Q（12）=17.466（P值=0.133），Q（24）=26.389（P值=0.334），时间序列{εt2}的Ljing-Box统计量为Q（12）=15.897（P值=0.196），Q（24）=22.949（P值=0.523），因此可以认为GARCH（1，1）模型能充分拟合上证指数对数价格序列与波动率序列的线性相依性，故这样拟合的GARCH（1，1）模型是充分的。
4 结语
本文首先对上证综合指数的收益率序列进行了统计描述，得出上证综合指数收益率序列平稳，且该收益率序列具有尖峰厚尾性的结论。接着对上证指数的对数价格序列建立了随机游走模型，并对其残差序列进行了ARCH效应分析，之后在随机游走模型的基础上建立了GARCH模型，且结果表明该模型拟合度良好。最后，本文对建立的模型进行检验，得出对上证指数对数价格序列建立GARCH（1，1）模型是合适的结论。
现将本文的结论总结如下：（1）我国股票的收益率序列具有尖峰厚尾性；（2）我国股票市场目前属于弱式有效市场，股票价格具有不可预测性；（3）上证指数的对数价格的波动率具有聚集现象，可以认为我国股票市场上呈现出“强 者越强，弱者越弱”的现象。
参考文献
[1] 成城.基于GARCH模型的上证指数波动率特征分析[D].山东大学，2014.
[2] 陈潇，杨恩.中美股市杠杆效应与波动溢出效应——基于GARCH模型的实证分析[J].财经科学，2011（4）.
[3] 单瞳.基于GARCH模型的我国股票价格波动性研究——以上证综指为例[D].东北大学，2015.
[4] 孙映宏，曹显兵.基于GARCH模型的中美汇率实证分析[J].数学的实践与认识，2012（20）.
[5] 何树红，张秋月，张文.基于GARCH模型的股指期货协整跨期套利实证研究[J].数学的实践与认识，2013（20）.
[6] 唐俊波，杨四香，何树红.基于GARCH模型的上证指数实证分析[J].重庆工商大学学报，2012（10）.