【摘要】计算机系统在处理数学问题时具有快速、高精度的优点，由于计算机为离散系统，如何将连续域内的数学问题离散化是提高计算机求解数学问题速度与精度的关键.本文针对阻容电路进行了基于Z变换的离散域数学建模，介绍了连续域数学问题的离散化求解方法.
　　【关键词】Z变换；脉冲传递函数；阻容电路
　　一、连续域内的阻容电路数学模型建立
　　阻容电路中电容对电压变化产生的作用使其在滤波、振荡等电路中得到广泛应用.通过数学分析可知阻容电路本质上是输入信号与输出信号之间的线性常系数.在电子制作中，阻容电路常作为无源滤波器使用，其原理为利用微分方程的幅频响应特性得到期望频率的信号.
　　阻容电路的常见形式如图1所示，加载于电路两端的输入信号经过阻容电路的处理得到电容两端的输出信号.
　　图 1
　　根据电容电流公式计算输入信号ui与输出信号uo之间的关系如公式1所示.
　　ui=i•R+uo=RCduodt+uo.(公式1)
　　通过求解公式1中的微分方程可得到ui的通解，然而这种方式难以描述阻容电路自身的特性.对线性常微分方程进行拉普拉斯变换，获得系统自身特性的方法称为传递函数，采用这种方法可以更准确地描述阻容电路自身特性.对公式1两端进行拉普拉斯变换得到阻容电路输入与输出之比G(s)，即阻容电路的传递函数.
　　G(s)=1RCs+1=Uo(s)Ui(s).(公式2)
　　其中Ui(s)为电压输入信号，Uo(s)为电压输出信号，称RC为响应时间.
　　二、基于Z变换的离散化数学模型建立
　　Z变换是离散域内输入输出系统分析、设计所需的重要数学工具，其作用等同于连续域内的拉普拉斯变换.连续信号ui(t)经过采样周期为T的理想开关后，变为相应的采样信号u*i(t)，这是一组加权理想脉冲序列.将公式1中的传递函数使用双线性变换法确定离散化的Z变换脉冲函数，得到：
　　u*i(t)=ui(0)δ(t)+ui(T)δ(t-T)+…(公式3)
　　根据拉普拉斯变换实位移定理，可得
　　U*i(s)=L［u*i(t)］
　　=ui(0)+ui(T)e-Ts+ui(2T)e-2Ts+…
　　=∑∞k=0ui(kT)e-kTs.(公式4)
　　
　　由于U*i(s)是s的超越函数，不便处理，引入复变量z=eTs进行代换，得到信号u*i(t)的Z变换幂级数形式，如下所示.
　　E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…
　　=∑∞k=0e(kT)z-k.(公式5)
　　通过Z变换，对阻容电路的传递函数进行处理，便可得到离散化的阻容电路数学模型，进而能够将这种数学模型用于计算机系统进行仿真.
　　连续域函数离散化的方法主要包括一阶差分近似法、脉冲响应不变法、阶跃响应不变法以及双线性变换法.由于双线性变换法稳定性较好且计算简单，因此本文选用双线性变换法进行离散化，其转换方法如公式6所示.
　　s=2T•z-1z+1.(公式6)
　　设阻容电路的离散域采样周期T为0.005 s，响应时间RC=0.2，并将公式6代入公式1中，得到如下所示的阻容电路离散化脉冲传递函数.
　　D(z)=Ui(Z)Ur(Z)=Z+1(400RC+1)Z-(400RC-1).(公式7)
　　离散化脉冲传递函数的动态过程需要通过差分方程描述，公式8为取向后差分时线性常系数差分方程的一般形式.
　　ui(k)+a1ui(k-1)+…+anui(k-n)=b0uo(k)+…+bmuo(k-m).(公式8)
　　如上所述，对公式7中的离散化脉冲传递函数采用向后差分计算差分方程可得到阻容电路的线性差分方程.
　　ui［k］=ur［k］+ur［k-1］+(400T-1)ui［k-1］400T+1.(公式9)
　　三、离散化数学模型求解结果与结论
　　基于公式9，在VC环境下进行编程，针对响应时间RC为0.2 s输入4 V的阻容电路，求解输出端实时电压值，可得到如图2所示电压输出曲线.
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