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摘 要：针对可修和不可修系统，本文研究其可靠性指标，在可修复系统建模的基础上探讨了不可修复系统的建模和指标计算，定义并求解了不可修复系统的可靠性函数、失效概率密度函数、失效率和平均失效时间。通过对其系统可靠性指标的计算分析，可以进一步提高系统性能，为优化系统做出决策依据。最后运用龙格库塔方法展示了具体系统的指标求解过程。
关键词：可修复系统；不可修复系统；可靠性指标
中图分类号：O213.2 文献标识码：A 文章编号：
引言
可修复系统，顾名思义就是通过维修之后，能恢复功能继续工作的系统。对于可修复系统，主要是维修的速度，以及从发生故障到恢复到正常所用时间是考虑的重点，尽量要求它可靠的不停的工作，即使偶尔故障，停机时间也很短。而不可修复系统是指系统或组成单元一旦发生故障，不再修复。而不再修复的原因有多种，例如技术上达不到或经济方面的考虑。对于可不修复系统，要在设计初期考虑其可靠性，使之不发生故障或者有很低的几率发生故障。
本文首先介绍了可修复系统和不可修复系统的概念，其次基于连续时间的Markov对其进行建模，然后进行可靠性指标分析，最后给出具体数值算例，展示指标求解过程。
一、可修复系统建模
可修复系统，即当元件失效时，可以对其元件进行修复使其正常运行。通常有以下几条假设[3]：
1、开始时，所有元件都是新的，并且只有一个修理工人来修理损坏的元件。失效元件在被修复之后，就和新的一样。在同一时间内，不会有两个或以上的元件同时失效。当系统失效时，没有失效的元件将不会再失效；
2、只要元件失效，那么修理工人就必须第一时间来修理损坏的元件。在失效元件修理期间，其他元件也有可能失效；
3、对于系统处于工作时的失效元件，维修工人遵循先失效的元件有优先修理权；
4、系统失效时，修理工人优先修理关键元件；
5、元件工作时间和维修时间服从均值分别为和的指数分布。
下面基于系统签名档的方法进行建模分析，根据前人对可修复系统的建模，在时刻的系统状态可定义为：
其中，表示让系统仍然处于工作状态的失效元件数的最大值，表示让系统处于失效状态的失效元件数的最小值。基于上面提到的假设条件下，是连续时间的时齐的马尔科夫过程，其转移状态集合为。令为工作状态集合，为失效状态集合。
过程的转移概率定义为：
⑴
令表示系统处于状态时的所有情况数，即系统中包含有个失效元件（个工作）的路集数。所以有
⑵
其中是系统Signature向量的第个分量，表示个元件的寿命按从小到大排列后，在所有可能的排序中第个元件失效导致系统失效的概率。
通过推导可得该马尔科夫过程的状态转移概率矩阵：
⑶
当时，有
⑷
当时，有
⑸
对且，定义转移速率矩阵：
⑹
其中[4].
通过状态转移概率矩阵，进而可求得可靠性函数、失效概率密度函数、失效率和平均失效时间。
图1 桥系统
二、不可修复系统建模
为了将可修复系统转化为不可修复系统，本文考虑把可修复系统的失效状态集合看成个吸收态，即一旦系统进入该集合中的状态，系统便一直处于该状态，不再变化。于是，我们将得到一个新的连续时间的时齐的马尔科夫过程。
此时，，定义，且令
那么Kolmogorov向前方程可简写成：
⑺
其中是转移速率矩阵的前行列的子矩阵。
三、数值算例
如图1所示，考虑桥系统，其系统签名档为，状态集合，其中工作状态集合，失效状态集合，令、，根据式子（1）—（6），可得到当该桥系统可修复时的转移速率矩阵：
，
令失效状态集合F为吸收态，此时得到矩阵
.
那么Kolmogorov向前方程可写成：
.
此方程可以用Laplace变换去求解，但是本文用另一个相对简单的方法——龙格库塔方法来求解。此方法通过得到每一个离散时刻t时的目标函数值，刻画出目标函数值的曲线，从而直观地看到每一函数的变化趋势。最终结论如下：
13）可靠性随时间变化曲线图
从圖2中可看出随时间变化，桥系统的可靠性开始是迅速下降，随着使用时间推移，可靠性逐渐趋于0，也就是说当时间足够长之后，该系统处于工作状态且从未失效过的概率为0。
图2 可靠性随时间变化曲线图
（2）失效概率密度函数曲线图：
从图3中可看出随时间变化，桥系统的失效概率密度开始是迅速下降，随着使用时间推移，失效概率逐渐趋于0。
14）失效率随时间变化曲线图：
从图4中可以看到，在t<10时，失效速度由1.25迅速下降，直到速度降到最低值0.6；在t>10以后，失效速度有缓慢提升，但是幅度很小，基本平稳在0.62。
图3失效概率密度函数随时间变化曲线图
图4失效率随时间变化曲线图
（4）平均故障时间：
从图2中的曲线进行积分，可以算出该桥系统的故障时间MTTF为1.2877。
四、总结与展望
本文首先对不可修复系统进行了建模，然后对四个可靠性指标：可靠性函数、失效概率函数、失效率和平均故障时间，运用系统Signature进行求解，最后给出实例，展示这些指标的具体求解过程，有助于进一步探讨可修复系统和不可修复系统的系统可靠性。在今后的研究中，将尝试用不同的方法去研究系统可靠性，使得对其可靠性的分析更加全面客观。 参考文献
[1] 马瑞宏，贾旭杰，李玉杰：《面向危险、安全失效模式的安全保障系统Signature可靠性分析》，《运筹与管理》第26卷第6期，2017年6月。
[2] 李中平：《多态单调系统的Signature计算方法及其性质》，硕士学位论文，中央民族大学统计系，2016年，第8页。
[3] 马瑞宏：《安全保障系统的Signature计算及其可靠性与安全性研究》，硕士学位论文，中央民族大学统计系，2017年，第25页。
[4] Serkan Eryilmaz.Computing reliability indices of repairable systems via signature[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，（260）：229-235.
[5] Jean-Luc Marichal，Mathonet P，Waldhauser T.On signature-based expressions of signature reliability[J].Journal of Multivariate Analysis，2011，（102）：1410-1416.
[6] T.Elperin，I.Gertsbakh，M.Lomonosov.Estimation of network reliability using graph evolution models[J].IEEE Transactions on Reliability，1991，（44）：572-581.
[7] I.Gertsbakh，Y.Shpungin.Models of Network Reliability[M].CRC Press，Boca Raton，FL，2010.
[8] Jean-Luc Marichal，Mathonet P.Computing system signatures through reliability functions[J].Statistics and Probability Letters，2013，（83）：710-717.
（作者單位：中央民族大学 理学院）
关键词：可修复系统；不可修复系统；可靠性指标
中图分类号：O213.2 文献标识码：A 文章编号：
引言
可修复系统，顾名思义就是通过维修之后，能恢复功能继续工作的系统。对于可修复系统，主要是维修的速度，以及从发生故障到恢复到正常所用时间是考虑的重点，尽量要求它可靠的不停的工作，即使偶尔故障，停机时间也很短。而不可修复系统是指系统或组成单元一旦发生故障，不再修复。而不再修复的原因有多种，例如技术上达不到或经济方面的考虑。对于可不修复系统，要在设计初期考虑其可靠性，使之不发生故障或者有很低的几率发生故障。
本文首先介绍了可修复系统和不可修复系统的概念，其次基于连续时间的Markov对其进行建模，然后进行可靠性指标分析，最后给出具体数值算例，展示指标求解过程。
一、可修复系统建模
可修复系统，即当元件失效时，可以对其元件进行修复使其正常运行。通常有以下几条假设[3]：
1、开始时，所有元件都是新的，并且只有一个修理工人来修理损坏的元件。失效元件在被修复之后，就和新的一样。在同一时间内，不会有两个或以上的元件同时失效。当系统失效时，没有失效的元件将不会再失效；
2、只要元件失效，那么修理工人就必须第一时间来修理损坏的元件。在失效元件修理期间，其他元件也有可能失效；
3、对于系统处于工作时的失效元件，维修工人遵循先失效的元件有优先修理权；
4、系统失效时，修理工人优先修理关键元件；
5、元件工作时间和维修时间服从均值分别为和的指数分布。
下面基于系统签名档的方法进行建模分析，根据前人对可修复系统的建模，在时刻的系统状态可定义为：
其中，表示让系统仍然处于工作状态的失效元件数的最大值，表示让系统处于失效状态的失效元件数的最小值。基于上面提到的假设条件下，是连续时间的时齐的马尔科夫过程，其转移状态集合为。令为工作状态集合，为失效状态集合。
过程的转移概率定义为：
⑴
令表示系统处于状态时的所有情况数，即系统中包含有个失效元件（个工作）的路集数。所以有
⑵
其中是系统Signature向量的第个分量，表示个元件的寿命按从小到大排列后，在所有可能的排序中第个元件失效导致系统失效的概率。
通过推导可得该马尔科夫过程的状态转移概率矩阵：
⑶
当时，有
⑷
当时，有
⑸
对且，定义转移速率矩阵：
⑹
其中[4].
通过状态转移概率矩阵，进而可求得可靠性函数、失效概率密度函数、失效率和平均失效时间。
图1 桥系统
二、不可修复系统建模
为了将可修复系统转化为不可修复系统，本文考虑把可修复系统的失效状态集合看成个吸收态，即一旦系统进入该集合中的状态，系统便一直处于该状态，不再变化。于是，我们将得到一个新的连续时间的时齐的马尔科夫过程。
此时，，定义，且令
那么Kolmogorov向前方程可简写成：
⑺
其中是转移速率矩阵的前行列的子矩阵。
三、数值算例
如图1所示，考虑桥系统，其系统签名档为，状态集合，其中工作状态集合，失效状态集合，令、，根据式子（1）—（6），可得到当该桥系统可修复时的转移速率矩阵：
，
令失效状态集合F为吸收态，此时得到矩阵
.
那么Kolmogorov向前方程可写成：
.
此方程可以用Laplace变换去求解，但是本文用另一个相对简单的方法——龙格库塔方法来求解。此方法通过得到每一个离散时刻t时的目标函数值，刻画出目标函数值的曲线，从而直观地看到每一函数的变化趋势。最终结论如下：
13）可靠性随时间变化曲线图
从圖2中可看出随时间变化，桥系统的可靠性开始是迅速下降，随着使用时间推移，可靠性逐渐趋于0，也就是说当时间足够长之后，该系统处于工作状态且从未失效过的概率为0。
图2 可靠性随时间变化曲线图
（2）失效概率密度函数曲线图：
从图3中可看出随时间变化，桥系统的失效概率密度开始是迅速下降，随着使用时间推移，失效概率逐渐趋于0。
14）失效率随时间变化曲线图：
从图4中可以看到，在t<10时，失效速度由1.25迅速下降，直到速度降到最低值0.6；在t>10以后，失效速度有缓慢提升，但是幅度很小，基本平稳在0.62。
图3失效概率密度函数随时间变化曲线图
图4失效率随时间变化曲线图
（4）平均故障时间：
从图2中的曲线进行积分，可以算出该桥系统的故障时间MTTF为1.2877。
四、总结与展望
本文首先对不可修复系统进行了建模，然后对四个可靠性指标：可靠性函数、失效概率函数、失效率和平均故障时间，运用系统Signature进行求解，最后给出实例，展示这些指标的具体求解过程，有助于进一步探讨可修复系统和不可修复系统的系统可靠性。在今后的研究中，将尝试用不同的方法去研究系统可靠性，使得对其可靠性的分析更加全面客观。 参考文献
[1] 马瑞宏，贾旭杰，李玉杰：《面向危险、安全失效模式的安全保障系统Signature可靠性分析》，《运筹与管理》第26卷第6期，2017年6月。
[2] 李中平：《多态单调系统的Signature计算方法及其性质》，硕士学位论文，中央民族大学统计系，2016年，第8页。
[3] 马瑞宏：《安全保障系统的Signature计算及其可靠性与安全性研究》，硕士学位论文，中央民族大学统计系，2017年，第25页。
[4] Serkan Eryilmaz.Computing reliability indices of repairable systems via signature[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，（260）：229-235.
[5] Jean-Luc Marichal，Mathonet P，Waldhauser T.On signature-based expressions of signature reliability[J].Journal of Multivariate Analysis，2011，（102）：1410-1416.
[6] T.Elperin，I.Gertsbakh，M.Lomonosov.Estimation of network reliability using graph evolution models[J].IEEE Transactions on Reliability，1991，（44）：572-581.
[7] I.Gertsbakh，Y.Shpungin.Models of Network Reliability[M].CRC Press，Boca Raton，FL，2010.
[8] Jean-Luc Marichal，Mathonet P.Computing system signatures through reliability functions[J].Statistics and Probability Letters，2013，（83）：710-717.
（作者單位：中央民族大学 理学院）