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［摘要］在“强拟凸域上边界摄动的B-M型积分的稳定性”【11】中，讨论了摄动函数r对全纯函数B-M公式边界摄动的影响。本文我们将视角扩大，介绍了含1-形式的BD算子和含函数的BαD算子、含有任意次数的微分形式的BD算子和BαD，并进一步讨论摄动函数r对连续函数Martinelli-Bochner 公式积分边界摄动的影响，得到连续函数Martinelli-Bochner 公式的积分边界受到摄动以后，Martinelli-Bochner 公式是相对稳定的。
［关键词］强拟凸域Martinelli-Bochner 公式边界摄动稳定性算子
［中图分类号］O174［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）06-0141-03
一、预备知识
（一）复流形上的相关预备知识
定义1令D∈Cn是一个开集，
（1）D中的一个连续多次调和函数是一个连续函数ρ：D→R1，使得下列条件满足：任意的ν，ω∈Cn，函数ζ→ρ（ν+ζω）在C1上是次调和的。D上连续多次调和函数的集合，记为P0（D）.
（2）一个C2函数ρ：D→R1称为强多次调和的，如果对任意的z，ω∈Cn，ω≠0，函数ζ→ρ（z+ζω）在C1上是强次调和的。
定义2一个开集D?奂Cn称为是拟凸的，如果函数-lndist（z，αD）在D是多次调和的。Cn称为是拟凸的。
命题1：令D?哿Cn是一个开集，如果在αD的某个邻域θ，存在一个连续多次调和ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝，则D是拟凸的。
定义3令D?奂?奂Cn是一个开集。D称为是强拟凸的，如果在αD的边界的某个邻域θ存在一个强多次调和C2函数ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝.
定义4设X是一n维复流形。如果D?奂?奂X是强拟凸开集，D的边界αD称为逐块C2的，如果存在开集V1，V2，…，VN包含于X，及C2函数ρk:Vk→R，k=1，2，…，N，使得下列条件满足：
（1）αD?哿V1∪V2∪…∪VN，
（2）z∈（V1∪V2∪…∪VN）且z∈D?圳1≤k≤N，z∈Vk，ρk（z）＜0，
（3）任意指标集1≤k1＜…＜k1≤N，有dρ■∧dρ■∧…∧dρ■≠0，
z∈V■∩V■∩…∩V■.
定义5设D?奂?奂Cn是具有逐块C2-边界的强拟凸开集。对X选择下列定向：如果z1，z2，…，zn是X中的局部全纯坐标，且zj是相应的实坐标，使得zj=zj+izj+n，则形式dx■∧dx2∧…∧dxn定义了X的一个定向。
设Sk:={z∈αD∩Vk:ρk（z）=0}，k=1，2，…，N，其中Vk和ρk如逐块C2-边界的定义中所示。对任意的整数集K=（k1，k2，…，kl），1≤k1，…，kl≤kN，当k1，k2，…，kl两两不同时，定义：SK：=Sk■∩…∩Sk■，其它的则定义：SK：=?覫。我们选择SK的一个定向，使得αD＝■■■SK及αSK＝■■■S■，其中αD与αSk的定向分别由D和SK的定向诱导K=（k1，k2，…，kl），Kj:=（k1，k2，…，kl，j）。
定义6设θ为αD的邻域，使得θ?奂?奂X，记P■■（θ）为θ上的强多次调和C2-函数类，如果Φ∈θ是z某邻域的强多次调和C2-函数，可找到函数，rj∈C■■（Vj），■■■rj=1，则定义：
||Φ（z）||）2：｜Φ（z）｜+■■■（z）［■■■|■|+■■■|■|］.
记：||Φ||2，θ，：supz∈θ||Φ（z）||2。对θ的邻域赋予范数||·||2，θ，所得的强多次调和C2-函数赋范空间记为m2（θ）。
定义7令D是Cn上的一个开集。如果文献【14】中定理1.1.5中的等价条件成立，那么D上的赋值函数称为是全纯的（或者解析的）。
（二）B-M型积分[14][15]与边界摄动的B-M型积分
B-M型积分：
?覫（?渍）（z）■?渍（ζ）K（ζ，z），z∈αD，
其中K（ζ，z）=■■为B-M核。?渍为αD某邻域θ的强多次调和函数。
ω′ζ（■-■）=■■■?渍（-1）j-1（■j-■j）d■1∧…∧［d■1］∧…∧d■n，ω（ζ）=dζ1∧…∧dζn，
［d■j］表示除去第j项。r（z）为αD某邻域θ上的强多次调和函数。αD（z∈αD）对边界加一个摄动r（z）（把称为摄动函数），得边界αDr，（z*=z+r（z）∈αDr，z∈αD），于是，上述B-M型积分就相应地变为：
?覫r（?渍）（z）■?渍（ζ*）K（ζ*，z）=■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
其中K（t+r（t），z）
=■■
ω′ζ（t■-■）=■■■?渍（-1）j-1（t■-■j）d（t■∧…∧［d（t■］∧…∧d（t■
二、历史结果[11]
全纯函数B-M公式及摄动函数r（z）对它的影响[11]
引理1（全纯函数Bochner-Martinelli公式）设函数?渍∈AC（D），其中D是Cn上的有界域，具有逐块光滑边界αD，那么下面的Bochner-Martinelli公式成立：
■?渍（ζ）K（ζ，z）=?渍（z），z∈D■?渍（ζ）K（ζ，z）=0，z■D
其中K（ζ，z）=■为B-M核。积分定向的选择是使形式（-i）ndζ∧dζ是正的。
定理1[11] 设函数?渍∈AC（D），其中D是Cn上的有界域αD，具有逐块光滑边界，θ是αD的一个邻域，r（t），是上的全纯C2函数，则
（1）当r∈D时，有■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）=0
（2）当r∈D时，存在一常数M，使得|■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）|≤M|?渍（z+r（z））|.
三、主要结果部分
（一）积分算子BαD和BD等相关准备知识
1.Cn的定向
如果xj=xj（ζ），j=1，…，2n，ζ∈Cn是的实坐标，使得ζj=xj（ζ）+ixj+n（ζ），则微分形式dx1∧…∧dx2n定义了Cn的定向。对开集D?哿Cn，我们用相同的定向。如果D?哿Cn是一个开集，M是C1光滑边界αD的相对开子集，则M的定向由D的定向诱导。
注：Cn的定向也可定义为dx1∧dx1+n∧…∧dxn∧dx2n=（-1）■dx1∧…∧dx2n，则我们得到积分公式里符号的相应地改变。
2.具有逐块C1边界的开集
令D?奂?奂Cn是一个开集。D的边界αD称为是逐块C1的，如果存在Cn上有限多的实值C1函数ρ1…，ρk，使得D={D∈Cn:ρj（z）＜0，j=1，…，k}，且，对任意的指标，且对所有的ρ∈αD有ρj■（z）=…=ρj■（z）=0.
注：对具有逐块C1边界的开集，容易找到一个具有C∞边界的开集序列Dm?奂?奂D，使得下列两个条件满足：
（1） 对任意的紧集K?奂?奂D，存在一个数，使得K?奂?奂Dm，对任意的m≥mk.
（2） 如果f和g分别是D上的双次数2n和2n-1的连续微分形式，则■f=lim■f和■g=lim■g.
（二）主要结果
连续函数的Martinelli-Bochner公式及边界摄动对它的影响
引理2[14]（连续函数Martinelli-Bochner公式）
令D?奂?奂Cn是具有逐块C1边界的开集，令f是D上的连续函数，使得α f也是在D上的连续，则D在中有：f=BαD f-BD α f。
其中BαD和BD是上面定义的连续算子。
定理2令D?奂?奂Cn是具有逐块C2边界的开集，令?渍是D上的连续函数，使得α?渍也在上连续，r是αD的邻域θ上的全纯函数，则存在常数M，使得：■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）≤M?渍（z+r（z））.
证明：
对固定的z∈D，令K（t+r（t），z）=■
■
由定理1【11】的证明可知K（t+r（t），z）是一闭形式，因此dK（t+r（t），z）=0 inDz .
∵α?渍（t+r（t），z）∧ω（t+r（t））
=（■■dt1+…+■■dtn）∧（d（t1+r（t1））∧…∧d（tn+r（tn）））
（其中Qi=ti+αr（ti），1≤i≤n）
＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［dt1+αr（t1）］∧…∧［dtn+αr（tn）］
＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］dt1∧…∧［1+αr（tn）］dtn
＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］…∧［1+αr（tn）］dt1∧…∧dtn=0
d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=α［?渍（t+r（t））K（t+r（t），z］+α［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=0+α?渍（t+r（t））·K（t+r（t），z］+?渍（t+r（t）·αK（t+r（t），z］
α?渍（t+r（t））·K（t+r（t），z）+0，inD/z
于是，对任意充分小的ε＞0，由stokes公式得：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
■■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］-■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
■■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）………………(*)
其中Dε:{ζ∈D:|ζ-z|＞ε}，
下面只要证不等式的左边，当ε→0时，趋于M?渍（z+r（z））：
事实上：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
=?渍（z+r（z））■K（t+r（t），z）+■（?渍（t+r（t）-?渍（z+r（z）））K（t+r（t），z）
|■K（t+r（t），z）|M≤
■（?渍（t+r（t）-?渍（z+r（z）））K（t+r（t），z）
≤sup|ζ-z|=ε|?渍（t+r（t））-?渍（z+r（z））｜·｜■K（t+r（t），z）｜
由定理1【11】的证明可知，存在常数M＞0，使得
≤M·sup|ζ-z|=ε|?渍（t+r（t））-?渍（z+r（z））｜→0，当（ε→0）
（*）式的右边即所要证的不等式的左边，于是当ε→0时，有：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t））K（t+r（t），z）M?渍（z+r（z））
证毕。
推论1令D?奂?奂Cn是一开集，f∈AαD，r是αD某邻域上的全纯函数，则存在常数M＞0使得：■?渍（t+r（t））K（t+r（t），z）≤M?渍（z+r（z））.
证明：结合以上定理证明中的(*)式和定理2即可得证：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
=■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t））K（t+r（t），z）■（z+r（z））
证毕。
这与定理1的（2）是一致的。
［参考文献］
［1］Keldysh M V,Lavrendev M A.On the stability of solutions of Dirichlet problem ［J］.IZV AN SSSR Ser Mat,1937,1:551-595.
［2］Keldysh M V.On the solvability and stability of the Dirichlet problem［J］.Uspekhi Mat Nauk,1941,8:171-231.
［3］Hedberg L I.Approximation by harmonic functions and stability of the Dirichlet problem ［J］.Exposition Math,1993,11:193-259.
［4］王小林，龚亚方.一类奇异积分和Cauchy型积分关于积分曲线的稳定性［J］.数学学报，1999,42（2）：343-350.
［5］王传荣.边界摄动的奇异积分方程与边值问题［J］.宁夏大学学报（自然科学版），2006,27（20）：169-173.
［责任编辑：左芸］
［关键词］强拟凸域Martinelli-Bochner 公式边界摄动稳定性算子
［中图分类号］O174［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）06-0141-03
一、预备知识
（一）复流形上的相关预备知识
定义1令D∈Cn是一个开集，
（1）D中的一个连续多次调和函数是一个连续函数ρ：D→R1，使得下列条件满足：任意的ν，ω∈Cn，函数ζ→ρ（ν+ζω）在C1上是次调和的。D上连续多次调和函数的集合，记为P0（D）.
（2）一个C2函数ρ：D→R1称为强多次调和的，如果对任意的z，ω∈Cn，ω≠0，函数ζ→ρ（z+ζω）在C1上是强次调和的。
定义2一个开集D?奂Cn称为是拟凸的，如果函数-lndist（z，αD）在D是多次调和的。Cn称为是拟凸的。
命题1：令D?哿Cn是一个开集，如果在αD的某个邻域θ，存在一个连续多次调和ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝，则D是拟凸的。
定义3令D?奂?奂Cn是一个开集。D称为是强拟凸的，如果在αD的边界的某个邻域θ存在一个强多次调和C2函数ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝.
定义4设X是一n维复流形。如果D?奂?奂X是强拟凸开集，D的边界αD称为逐块C2的，如果存在开集V1，V2，…，VN包含于X，及C2函数ρk:Vk→R，k=1，2，…，N，使得下列条件满足：
（1）αD?哿V1∪V2∪…∪VN，
（2）z∈（V1∪V2∪…∪VN）且z∈D?圳1≤k≤N，z∈Vk，ρk（z）＜0，
（3）任意指标集1≤k1＜…＜k1≤N，有dρ■∧dρ■∧…∧dρ■≠0，
z∈V■∩V■∩…∩V■.
定义5设D?奂?奂Cn是具有逐块C2-边界的强拟凸开集。对X选择下列定向：如果z1，z2，…，zn是X中的局部全纯坐标，且zj是相应的实坐标，使得zj=zj+izj+n，则形式dx■∧dx2∧…∧dxn定义了X的一个定向。
设Sk:={z∈αD∩Vk:ρk（z）=0}，k=1，2，…，N，其中Vk和ρk如逐块C2-边界的定义中所示。对任意的整数集K=（k1，k2，…，kl），1≤k1，…，kl≤kN，当k1，k2，…，kl两两不同时，定义：SK：=Sk■∩…∩Sk■，其它的则定义：SK：=?覫。我们选择SK的一个定向，使得αD＝■■■SK及αSK＝■■■S■，其中αD与αSk的定向分别由D和SK的定向诱导K=（k1，k2，…，kl），Kj:=（k1，k2，…，kl，j）。
定义6设θ为αD的邻域，使得θ?奂?奂X，记P■■（θ）为θ上的强多次调和C2-函数类，如果Φ∈θ是z某邻域的强多次调和C2-函数，可找到函数，rj∈C■■（Vj），■■■rj=1，则定义：
||Φ（z）||）2：｜Φ（z）｜+■■■（z）［■■■|■|+■■■|■|］.
记：||Φ||2，θ，：supz∈θ||Φ（z）||2。对θ的邻域赋予范数||·||2，θ，所得的强多次调和C2-函数赋范空间记为m2（θ）。
定义7令D是Cn上的一个开集。如果文献【14】中定理1.1.5中的等价条件成立，那么D上的赋值函数称为是全纯的（或者解析的）。
（二）B-M型积分[14][15]与边界摄动的B-M型积分
B-M型积分：
?覫（?渍）（z）■?渍（ζ）K（ζ，z），z∈αD，
其中K（ζ，z）=■■为B-M核。?渍为αD某邻域θ的强多次调和函数。
ω′ζ（■-■）=■■■?渍（-1）j-1（■j-■j）d■1∧…∧［d■1］∧…∧d■n，ω（ζ）=dζ1∧…∧dζn，
［d■j］表示除去第j项。r（z）为αD某邻域θ上的强多次调和函数。αD（z∈αD）对边界加一个摄动r（z）（把称为摄动函数），得边界αDr，（z*=z+r（z）∈αDr，z∈αD），于是，上述B-M型积分就相应地变为：
?覫r（?渍）（z）■?渍（ζ*）K（ζ*，z）=■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
其中K（t+r（t），z）
=■■
ω′ζ（t■-■）=■■■?渍（-1）j-1（t■-■j）d（t■∧…∧［d（t■］∧…∧d（t■
二、历史结果[11]
全纯函数B-M公式及摄动函数r（z）对它的影响[11]
引理1（全纯函数Bochner-Martinelli公式）设函数?渍∈AC（D），其中D是Cn上的有界域，具有逐块光滑边界αD，那么下面的Bochner-Martinelli公式成立：
■?渍（ζ）K（ζ，z）=?渍（z），z∈D■?渍（ζ）K（ζ，z）=0，z■D
其中K（ζ，z）=■为B-M核。积分定向的选择是使形式（-i）ndζ∧dζ是正的。
定理1[11] 设函数?渍∈AC（D），其中D是Cn上的有界域αD，具有逐块光滑边界，θ是αD的一个邻域，r（t），是上的全纯C2函数，则
（1）当r∈D时，有■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）=0
（2）当r∈D时，存在一常数M，使得|■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）|≤M|?渍（z+r（z））|.
三、主要结果部分
（一）积分算子BαD和BD等相关准备知识
1.Cn的定向
如果xj=xj（ζ），j=1，…，2n，ζ∈Cn是的实坐标，使得ζj=xj（ζ）+ixj+n（ζ），则微分形式dx1∧…∧dx2n定义了Cn的定向。对开集D?哿Cn，我们用相同的定向。如果D?哿Cn是一个开集，M是C1光滑边界αD的相对开子集，则M的定向由D的定向诱导。
注：Cn的定向也可定义为dx1∧dx1+n∧…∧dxn∧dx2n=（-1）■dx1∧…∧dx2n，则我们得到积分公式里符号的相应地改变。
2.具有逐块C1边界的开集
令D?奂?奂Cn是一个开集。D的边界αD称为是逐块C1的，如果存在Cn上有限多的实值C1函数ρ1…，ρk，使得D={D∈Cn:ρj（z）＜0，j=1，…，k}，且，对任意的指标，且对所有的ρ∈αD有ρj■（z）=…=ρj■（z）=0.
注：对具有逐块C1边界的开集，容易找到一个具有C∞边界的开集序列Dm?奂?奂D，使得下列两个条件满足：
（1） 对任意的紧集K?奂?奂D，存在一个数，使得K?奂?奂Dm，对任意的m≥mk.
（2） 如果f和g分别是D上的双次数2n和2n-1的连续微分形式，则■f=lim■f和■g=lim■g.
（二）主要结果
连续函数的Martinelli-Bochner公式及边界摄动对它的影响
引理2[14]（连续函数Martinelli-Bochner公式）
令D?奂?奂Cn是具有逐块C1边界的开集，令f是D上的连续函数，使得α f也是在D上的连续，则D在中有：f=BαD f-BD α f。
其中BαD和BD是上面定义的连续算子。
定理2令D?奂?奂Cn是具有逐块C2边界的开集，令?渍是D上的连续函数，使得α?渍也在上连续，r是αD的邻域θ上的全纯函数，则存在常数M，使得：■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）≤M?渍（z+r（z））.
证明：
对固定的z∈D，令K（t+r（t），z）=■
■
由定理1【11】的证明可知K（t+r（t），z）是一闭形式，因此dK（t+r（t），z）=0 inDz .
∵α?渍（t+r（t），z）∧ω（t+r（t））
=（■■dt1+…+■■dtn）∧（d（t1+r（t1））∧…∧d（tn+r（tn）））
（其中Qi=ti+αr（ti），1≤i≤n）
＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［dt1+αr（t1）］∧…∧［dtn+αr（tn）］
＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］dt1∧…∧［1+αr（tn）］dtn
＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］…∧［1+αr（tn）］dt1∧…∧dtn=0
d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=α［?渍（t+r（t））K（t+r（t），z］+α［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=0+α?渍（t+r（t））·K（t+r（t），z］+?渍（t+r（t）·αK（t+r（t），z］
α?渍（t+r（t））·K（t+r（t），z）+0，inD/z
于是，对任意充分小的ε＞0，由stokes公式得：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
■■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
=■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］-■d［?渍（t+r（t）K（t+r（t），z］
■■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）………………(*)
其中Dε:{ζ∈D:|ζ-z|＞ε}，
下面只要证不等式的左边，当ε→0时，趋于M?渍（z+r（z））：
事实上：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
=?渍（z+r（z））■K（t+r（t），z）+■（?渍（t+r（t）-?渍（z+r（z）））K（t+r（t），z）
|■K（t+r（t），z）|M≤
■（?渍（t+r（t）-?渍（z+r（z）））K（t+r（t），z）
≤sup|ζ-z|=ε|?渍（t+r（t））-?渍（z+r（z））｜·｜■K（t+r（t），z）｜
由定理1【11】的证明可知，存在常数M＞0，使得
≤M·sup|ζ-z|=ε|?渍（t+r（t））-?渍（z+r（z））｜→0，当（ε→0）
（*）式的右边即所要证的不等式的左边，于是当ε→0时，有：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t））K（t+r（t），z）M?渍（z+r（z））
证毕。
推论1令D?奂?奂Cn是一开集，f∈AαD，r是αD某邻域上的全纯函数，则存在常数M＞0使得：■?渍（t+r（t））K（t+r（t），z）≤M?渍（z+r（z））.
证明：结合以上定理证明中的(*)式和定理2即可得证：
■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）
=■?渍（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?渍（t+r（t））K（t+r（t），z）■（z+r（z））
证毕。
这与定理1的（2）是一致的。
［参考文献］
［1］Keldysh M V,Lavrendev M A.On the stability of solutions of Dirichlet problem ［J］.IZV AN SSSR Ser Mat,1937,1:551-595.
［2］Keldysh M V.On the solvability and stability of the Dirichlet problem［J］.Uspekhi Mat Nauk,1941,8:171-231.
［3］Hedberg L I.Approximation by harmonic functions and stability of the Dirichlet problem ［J］.Exposition Math,1993,11:193-259.
［4］王小林，龚亚方.一类奇异积分和Cauchy型积分关于积分曲线的稳定性［J］.数学学报，1999,42（2）：343-350.
［5］王传荣.边界摄动的奇异积分方程与边值问题［J］.宁夏大学学报（自然科学版），2006,27（20）：169-173.
［责任编辑：左芸］