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每年的高考题中都有一道较有难度的圆锥曲线题,由于切入点较难找,并且如果选不到好的途径会带来大的运算量,给考生带来一定困难。在解决圆锥曲线问题时有一种方法叫“设而不求法”,它给解这一类题提供了较好的切入点和较少的运算量,不失为一种好方法,那么是什么原因导致设了未知数之后却不必要求出来呢?分析一下计算的过程,发现所求的问题与所设的未知数之间可以通过计算建立联系,没有必要求未知数而得到了问题的答案,也就是“设”为基础,而“不求”是关键、是技巧,正是由于这个原因,笔者把“设而不求”归结为三类:
1设点的坐标
(2004北京)抛物线的方程为y2=4x,过P(1,2)作两条倾斜角互补的直线PA、PB交抛物线于A、B点,求A、B的纵坐标之和及直线AB的斜率。
解:设A(x1,y1),B(x2,y2)
①略,y1+y2=-4
②由题意得:y12=4x1,y22=4x2,故y12-y22=4(x1-x2)
即 -=-1∴直线AB的斜率为-1
点评:此法的关键是通过两个函数式的相减运算,得到了斜率的形式,在双曲线和椭圆中还可得到中点的坐标形式,达到设而不求的目的。
练习(2002年河南、江苏卷)设A、B为双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点,求直线AB的方程。
2设焦半径的长度
(2000年全国)过抛物线y=ax2(a>0)焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,求+。
解:如图,l为准线,交y轴于F’,作PP’⊥l,QQ’⊥l,交于P’、Q’,设|PF|= |PP’|=m,|QF|= |QQ’|=n,连接PQ’交y轴于点A。
通过比例关系易求得|FA|= ,|AF’|=
而|FA|+|AF’|=|FF’|==2 即+=4a
点评:在设了焦半径的长度之后,可以利用第一定义或第二定义进行转化和联系,从而去寻求已知与未知之间的关系,达到设而不求的目的。
练习(1994年全国)设F1和F2为双曲线 -y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=900,求三角形F1PF2的面积。
3设参数
(2004年辽宁)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足=(+),若l绕着点M旋转时,求动点P的轨迹方程。
解:设P(x,y)为轨迹上任一点,直线AB斜率为k, A(x1,y1),B(x2,y2)。
①若k不存在,易得P(0,0)
②若k存在,y=kx+1,联立椭圆方程得
(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x==-y==
利用基本不等式求得-≤x≤
消去参数k得方程为4x2+y2-y=0(-≤x≤)
点评:分析之后发现直线AB的斜率为问题的根源,故设出斜率让问题的解决得到延伸,经过运算把所求的用k来表示,最后消去参数,达到设而不求的目的。但要注意参数的范围(一般由联立方程的△产生)对自变量范围的影响。
练习(2004年福建卷) P是抛物线C:y=x2上的一点,直线l过点P 并与抛物线C在点P的切线垂直, l与抛物线C交于另一点Q.当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程。
在掌握以上的设而不求法之后,对题目加以分析,理清头绪、找出量与量之间的内在关系,从而达到解题思路清晰、运用运算技巧简化运算,得以顺利解决问题。
1设点的坐标
(2004北京)抛物线的方程为y2=4x,过P(1,2)作两条倾斜角互补的直线PA、PB交抛物线于A、B点,求A、B的纵坐标之和及直线AB的斜率。
解:设A(x1,y1),B(x2,y2)
①略,y1+y2=-4
②由题意得:y12=4x1,y22=4x2,故y12-y22=4(x1-x2)
即 -=-1∴直线AB的斜率为-1
点评:此法的关键是通过两个函数式的相减运算,得到了斜率的形式,在双曲线和椭圆中还可得到中点的坐标形式,达到设而不求的目的。
练习(2002年河南、江苏卷)设A、B为双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点,求直线AB的方程。
2设焦半径的长度
(2000年全国)过抛物线y=ax2(a>0)焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,求+。
解:如图,l为准线,交y轴于F’,作PP’⊥l,QQ’⊥l,交于P’、Q’,设|PF|= |PP’|=m,|QF|= |QQ’|=n,连接PQ’交y轴于点A。
通过比例关系易求得|FA|= ,|AF’|=
而|FA|+|AF’|=|FF’|==2 即+=4a
点评:在设了焦半径的长度之后,可以利用第一定义或第二定义进行转化和联系,从而去寻求已知与未知之间的关系,达到设而不求的目的。
练习(1994年全国)设F1和F2为双曲线 -y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=900,求三角形F1PF2的面积。
3设参数
(2004年辽宁)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足=(+),若l绕着点M旋转时,求动点P的轨迹方程。
解:设P(x,y)为轨迹上任一点,直线AB斜率为k, A(x1,y1),B(x2,y2)。
①若k不存在,易得P(0,0)
②若k存在,y=kx+1,联立椭圆方程得
(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x==-y==
利用基本不等式求得-≤x≤
消去参数k得方程为4x2+y2-y=0(-≤x≤)
点评:分析之后发现直线AB的斜率为问题的根源,故设出斜率让问题的解决得到延伸,经过运算把所求的用k来表示,最后消去参数,达到设而不求的目的。但要注意参数的范围(一般由联立方程的△产生)对自变量范围的影响。
练习(2004年福建卷) P是抛物线C:y=x2上的一点,直线l过点P 并与抛物线C在点P的切线垂直, l与抛物线C交于另一点Q.当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程。
在掌握以上的设而不求法之后,对题目加以分析,理清头绪、找出量与量之间的内在关系,从而达到解题思路清晰、运用运算技巧简化运算,得以顺利解决问题。