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摘要： 对双振子局域共振轴纵向振动的带隙行为进行了研究，采用传递矩阵法推导得到了双振子局域共振轴纵振能带结构关系的解析表达式，对双振子局域共振轴的带隙进行了计算。结果表明在振子总质量相同的情形下，双振子局域共振轴相比于单振子而言能够拓宽带隙宽度。此外，针对振子间距比对双振子局域共振带隙特性的影响进行了分析。研究发现：尽管原胞的晶格常数保持不变，然而振子间距比会对各带隙的宽度产生影响，带隙极大宽度发生条件为振子间距比θ=0.5或θ=1（θ=0）时；在一些情形下，适当的间距比可以使得局域共振带隙之间产生带隙融合现象，进而形成一个超宽带隙；对于双振子局域共振轴，布拉格带隙边界频率不完全取决于晶格常数，而且还同振子间距比相关。关键词： 减振； 声子晶体； 局域共振； 双振子； 带隙
中图分类号： TB532文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04057007
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.007
引言
声子晶体作为一种人工合成的周期性复合材料，这一概念自提出以来就成为众多研究者的关注对象[13]。声子晶体中最引人注目的为其带隙特性，即弹性波在一定频段范围内不能传播，该频率范围内的频段也称为禁带。这一特性的存在也使得声子晶体在减振降噪领域受到极大关注。
长期以来，声子晶体的研究都基于布拉格散射机理进行的，由于其带隙频率主要同晶格常数以及基体的波数有关，若要获得低频带隙，则需要声子晶体的结构尺寸庞大，这就使得声子晶体在低频范围内的减振降噪受到一定限制。刘正猷等于2000年提出的局域共振带隙机理[3]，则为声子晶体在低频的应用打开新的方向。他们构造了三维声子晶体，其原胞是由包裹着铅的橡胶球放入环氧树脂基体中组成的，进而形成了局域共振带隙。通过试验表明该局域共振带隙频率能够低于同样尺寸下布拉格散射带隙频率两个数量级，进而打破了布拉格散射的限制。
对于局域共振声子晶体的构造一般是通过在基体材料上布置一系列周期振子的方式，这一方法也已拓展到的工程结构振动控制领域，例如杆、梁、板等工程结构[412]。通过在这样结构上安置一系列局域振子能够使得结构获得低频局域共振带隙。然而，一直以来，对于局域共振型声子晶体研究基本上都是针对原胞中仅含单个振子的情形进行的，而对于晶格中存在双振子的局域共振声子晶体的带隙现象则受到较少关注。轴类结构作为工程中常用的功率传动构件，广泛应用于船舶、车辆、航空等领域，所以对于轴类构件的减振降噪也成为众多研究者的关注目标之一。其中轴系的纵向振动作为动力工程中常见现象广泛地存在于旋转轴系中，并对轴的寿命、稳定性以及机器运转的可靠性等产生不良的影响，因此轴系的纵向振动控制问题得到广泛的重視，故双振子局域共振声子晶体在轴系纵振控制方面的应用研究具有较大的工程价值和一定的理论意义。
本文结合传递矩阵法和Bloch定理推导了无限周期结构下双振子局域共振轴纵向振动能带结构的解析表达式，分析了双振子局域共振轴的带隙特性，并将其同单振子局域共振轴进行了比较。最后，针对振子间距比对双振子局域共振轴的带隙特性的影响进行了分析。
1双振子局域共振轴建模方法〖2〗1.1无限周期结构双振子局域共振轴图1（a）为具有无限周期结构的双振子局域共振轴，图1（b）所示为双振子局域共振轴的周期单元，称作原胞。双振子局域共振轴由无限长度的均匀质量的等截面轴和并联在上面的振子单元组成，其中轴的截面积为A，单个周期长度（晶格常数）为L。振子1位于原胞的最左端，其由质量单元m1和刚度单元k1组成，振子2与振子1的间距为L1，其由质量单元m2和刚度单元k2组成。对于一维双振子局域共振型声子晶体能带结构的推导，可以先将包含双振子的原胞结构分离为2个单振子原胞结构单独考虑，再结合接触界面的连续条件得到整个原胞的状态矢量关系，并引入周期边界条件，进而获得双振子的局域共振带隙的能带结构关系。
图1双振子局域共振轴示意图
Fig.1Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators
第4期赵帅，等： 间距比对双振子局域共振轴纵振带隙的影响振 动 工 程 学 报第30卷先考虑附加单个振子的轴单元，如图2所示。轴的截面积为A，长度为L。振子由质量单元m和刚度单元k组成。对于不含有振子的轴单元，一般可通过求解单元两端状态向量的关系得到轴单元的传递矩阵。而对于一端含有单个振子的轴单元，可以通过将振子对轴的影响效果等效为作用在轴上的外力，进而可以推导出并联单振子轴单元的等效传递矩阵关系，从而可以简化后续的局域共振轴能带结构关系的计算。
图2附加单振子轴单元的状态矢量
Fig.2State vectors of a LR shaft with single array of resonators
对于不含有局域振子的轴的纵向自由振动，设ux（x）为x处的纵向位移，其振动微分方程为E2ux（x，t）x2=ρ2ux（x，t）t2（1）式中ρ，E分别为轴的密度和杨氏模量。轴的纵向质点振动位移可以表示为ux（x，t）=Ux（x）·e-iωt，其中ω为角频率，Ux（x）为轴的纵波质点纵向振动位移幅值。Ux（x）可以表示为Ux（x）=Psin（βx）+Qcos（βx）（2）式中β为轴的纵波波数，β=ω/c，c=E/ρ。
当轴单元中附加振子后，轴产生纵向振动时，振子质量产生的惯性力会传递给轴，该作用反力可以表示成f=DXA（3）式中D=-mω2kk-mω2为振子的动刚度，反映了单位基础简谐位移引起的对接力。m和k分别为振子的质量和刚度；XA为对接点的纵向位移。
对于图2所示的轴单元，定义[X，N]T为轴的状态矢量，式中X，N分别为位移和力。则轴单元最右端（即x=L处）的状态矢量可表示为 Xi，i+1=[Psin（βL）+Qcos（βL）]e-iωt（4a）
Ni，i+1=EAβ[Pcos（βL）-Qsin（βL）]e-iωt（4b）
同理，考虑到振子在对接点处的作用反力，轴单元最左端（即x=0处）的状态矢量表达式可写为Xi-1，i=Qe-iωt（5a）
Ni-1，i=EAβ·Pe-iωt-D·Xi-1，i（5b）经过推导变换可以得到P=（Ni-1，i+D·Qe-iωt）/（EAβ·e-iωt）（6a）
Q=Xi-1，i/e-iωt（6b）将式（6）代入式（4）得到軸两端的状态向量的关系式
Xi，i+1=Ni-1，i+D·Xi-1，iEAβsin（βL）+
Xi-1，icos（βL）（7a）
Ni，i+1=Ni-1，icos（βL）+D·Xi-1，icos（βL）-
EAβXi-1，isin（βL）（7b）
将式（7）写成矩阵形式，可得到
X
Ni，i+1=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ
-EAβsinβL+DcosβLcosβLX
Ni-1，i=
HX
Ni-1，i（8）
式中H即为含有单振子轴单元的等效传递矩阵，表示为
H=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ
-EAβsinβL+DcosβLcosβL（9）
至此，得到了单振子轴单元两端的状态矢量关系，所以对于双振子局域共振轴的原胞而言，通过将周期单元分解成2个单振子轴单元，并根据接合面的连续关系，可得双振子原胞单元的传递矩阵可以为
T=H2H1=cosβL2+D2sinβL2EAβsinβL2EAβ
-EAβsinβL2+D2cosβL2cosβL2·
cosβL1+D1sinβL1EAβsinβL1EAβ
-EAβsinβL1+D1cosβL1cosβL1=t11t12
t21t22（10）
式中D1=-m1ω2k1k1-m1ω2和D2=-m2ω2k2k2-m2ω2为振子1和振子2的动刚度。
t11=cos（β（L1+L2））+D1sin（β（L1+L2））EAβ+
D2cos（βL1）sin（βL2）EAβ+D1D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；
t12=sin（β（L1+L2））EAβ+D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；
t21=-EAβsin（β（L1+L2））+D1cos（β（L1+L2））+D2cos（βL1）cos（βL2）+D1D2EAβsin（βL1）cos（βL2）；
t22=cos（β（L1+L2））+D2sin（βL2）cos（βL2）EAβ；
t11·t22-t12·t21=1。
对于双振子局域共振轴而言，其相邻原胞的状态矢量关系可以表示为X
Ni，i+1=TX
Ni-1，i（11）由于轴在x方向为无限周期结构，根据Bloch定理，可以得到X
Ni，i+1=eμX
Ni-1，i（12）式中μ称为波的传播系数，μ的实部定义为衰减系数，衰减系数表征波的幅值衰减程度；μ的虚部定义为相位系数，相位系数表征波在相邻周期单元运动的相位差。
结合式（11）和（12），得到（T-eμ·I）X
Ni-1，i=0（13）根据上式可知，eμ为矩阵T的特征值。故将矩阵T中的向量代入式（13）得到cosh（μ）=t11+t222（14）进而得到局域共振轴的能带关系为
cosh（μ）=cosβL+D12·sinβLEAβ+D22·sinβLEAβ+
D1D22·sinβL1sinβL2〖〗（EAβ）2（15）
1.2有限周期结构双振子局域共振轴
由于具有无限周期的局域共振轴是一种理想模型，所以有必要研究在工程中可实际存在的有限周期结构局域共振轴的振动特性。对于有限个周期的局域共振型轴，可以采用振动传输特性来分析轴的弹性波的传播特性。
对于N个周期的双振子局域共振轴而言，轴左右两端的状态矢量有如下关系XR
NR=TNXL
NL=T11T12
T21T22XL
NL（16）假定仅轴的左端受到一简谐力作用，根据传递矩阵可以计算得到轴两端的位移传递率为T=XR/XL=T11-T12T21/T22（17）2带隙计算
采用上节理论方法对双振子局域共振轴的带隙进行计算，其中原胞晶格常数为L=0.2 m，双振子间距L1=0.1 m。轴的截面积为A=5×10-5 m2，其弹性模量和密度分别为E=1.5×1010 Pa和ρ=1200 kg·m-3。振子1和振子2的质量和刚度参数分别选取为：m1=0.047915 kg，k1=1×107 N/m，m2=0.0112765 kg，k2=1×107 N/m。根据式（15）可以计算得到双振子局域共振轴的能带结构关系。
图3表示双振子局域共振轴的能带结构曲线图，图中呈现了衰减系数和相位系数，从图中可以看到双振子局域共振轴在1768～3025 Hz和3559～7176 Hz频段范围里存在2个带隙，各带隙的衰减系数最大值频率对应着振子1和振子2的固有频率。同时，对于不同周期个数下有限长度的双振子局域共振轴的振动传输特性也进行了计算，结果如图4所示，可以发现，尽管周期数不相同，但衰减的频段范围均是一致的，而且与无限周期计算的带隙范围吻合较好。同时可以观察到，随着周期数的增加，带隙频率范围内的衰减程度也会增加。 图3无限周期局域共振轴能带结构图
Fig.3Band structure of a LR shaft with double arrays of resonatorst
图4不同周期个数下双振子局域共振轴振动传输特性
Fig.4Vibration transmittances of finite LR shaft with different periods
对于实际工程中的双振子局域共振型轴，可以结合前述的双振子力学模型对局域共振轴的原胞结构进行一定的简化，进而可以根据理论计算得到局域共振型的传输特性。
为了验证本文局域共振轴能带结构的理论计算结果，本文设计了一种双振子局域共振型轴，并且采用了有限元软件对具有8个周期单元的双振子局域共振轴进行仿真建模。其中振子由圆柱形金属块和柔软的橡胶材料组成，如图5所示，金属块提供振子所需的质量，橡胶材料则提供刚度。振子1和振子2的径向尺寸相同，即弹性层的内外半径分别为R1和R2，金属层的外半径则为R3，而宽度分别为h1和h2。振子1和振子2的最外层金属材料分别为铅和铝，振子材料的具体参数如表1所示，其中ρ，E和G分别表示密度、弹性模量和剪切模量。
当纵向波在轴内传播时，金属块会产生轴向位移，圆柱形橡胶层将产生剪切变形，此时振子可以简化为一质量弹簧系统，橡胶层的纵向刚度可以近似表示为[13]k=2πGh/（lnR2-lnR1）（18）结合式（18）和本节理论计算采用的振子参数，可以设计得到振子的结构参数，如表2所示。采用上述結构参数进行有限元建模，仿真结果如图6所示，图中可以发现理论计算结果同软件有限元仿真结果吻合良好，从而验证了上述理论方法的正确性。图6中还对双振子局域共振轴和单振子局域共振轴的传输特性进行了比较，其中双振子的总质量和单振子的质量保持相同，从图中可以看到双振子局域共振轴相比单振子局域共振轴而言，拥有更宽的带隙。
图5双振子局域共振轴结构示意图
Fig.5Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators表1材料参数
Tab.1Parameters of materials
材料ρ/（kg·m-3）E/PaG/Pa有机玻璃12001.5×10105.68×109铅116004.08×10101.49×1010铝27307.76×10102.87×1010橡胶13006.0×1072.0×107
表2振子结构参数
Tab.2Structures parameters of resonators
R1/mR2/mR3/mh1/mh2/m0.0040.005140.00960.020.02
图6不同振子个数下局域共振轴的振动传输特性
Fig.6Vibration transmittances of finite LR shaft with different arrays3带隙特性研究
对于单振子局域共振型声子晶体而言，当晶格常数固定时，振子在原胞中的位置对局域共振带隙不会产生影响。而对于双振子局域共振轴而言，通过式（15）可知，尽管晶格常数保持不变，然而其能带结构关系函数变量中含有振子1和振子2的间距，所以有必要研究振子间的距离对带隙特性的影响。研究时，可将式（15）变换为
cosh（μ）=cosβL+D12EAβsinβL+D22EAβsinβL+
D1D22（EAβ）2sinθβLsin（（1-θ）βL）（19）
式中θ=L1/L为振子间距比，0≤θ≤1。
图7双振子局域共振轴带隙三维曲面图（k1=2×107 N/m）
Fig.73D surface view of the bandgap behavior of a LR shaft （k1=2×107 N/m）
在研究振子间距比这一无量纲参数对带隙特性的影响时，轴的几何参数和材料参数同前述理论计算保持一致。图7所示为根据式（19）所绘制的双振子局域共振轴带隙衰减系数的三维曲面图，其中振子1的质量和刚度参数分别为m1=0.096 kg，k1=2×107 N/m，而振子2的质量和刚度参数为m2=0.024 kg，k2=2×107 N/m。为了更好地观察带隙特性，可以将三维曲面图在fθ平面（0≤f≤20000 Hz，0≤θ≤1）进行投影，进而得到了二维平面投影图，其中图中的颜色区域是由该衰减的衰减系数所确定的。该二维图中可以清楚地呈现振子间距比对带隙特性行为的影响，包括带隙位置、带隙宽度以及衰减程度等。图8表示的为不同的振子1刚度参数下振子位置对带隙特性的影响，其中振子1和振子2的其他参数同图7所用一致。
图8振子间距比对局域共振轴带隙特性的影响
Fig.8Effects of the spacing ration on the bandgap behavior of a LR shaft
从图8（a），（b）中可以观察到在所示的频率区域内存在两种类型的带隙，即局域共振型带隙和布拉格散射型带隙。可以看到各带隙的宽度均会随着振子间距的变化而改变，并且注意到：对于第一个带隙而言，带隙宽度随着振子间距比的增加逐渐减小；而对于第二带隙而言，带隙宽度会随着振子间距比增加逐渐变大；当振子的间距比为θ=0.5，即振子2位于原胞的中间位置时，此第一带隙的宽度最小，而第二带隙的宽度最大；对于第三带隙，其现象与第一带隙类似。上述现象表明，对于双振子局域共振轴而言，尽管原胞晶格常数固定不变，但原胞中振子的分布会对带隙的宽度产生影响，通过选择适当的间距比可以获得更宽的带隙。 通過图8（a），（b）还可以看到，第一带隙和第二带隙之间存在着一个通带，通带的宽度也会随着振子间距比的变化产生变化。值得关注的是，在图8（b）中，如果振子间距比选择适当，带隙中会出现一个有趣现象。对于图8（b），其振子1的刚度为k1=3.24×107 N/m，可以发现当振子间距比θ=0.5时，此时第一带隙和第二带隙之间的通带宽度变为零，进而第一和第二带隙融合在一起，形成了一个更宽的带隙。通过进一步观察还可以发现，在新形成的融合带隙中，原本由振子1存在所形成的尖锐衰减峰消失，使得在新的带隙范围内仅出现振子2的衰减峰值。为了更清晰地观察该现象，对具有8个周期单元的有限局域共振轴的传输特性进行了计算，结果如图9所示，其同无限周期结构的带隙计算结果保持一致。值得指出的是，此处观察到带隙融合现象不同于局域共振带隙和布拉格散射带隙之间的带隙耦合现象，因为局域共振带隙和布拉格带隙之间的耦合现象是在振子固有频率同布拉格散射带隙边界频率相同的条件下产生的，而注意到该局域共振轴的布拉格散射带隙的最低频率带隙边界f=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz，高于振子1和振子2的固有频率。
同时，值得关注的另一个特征为：对于图8中的布拉格散射型带隙而言，并没有出现一条由布拉格边界所确定的垂直边界。换句话说，布拉格带隙边界不仅取决于晶格常数，而且同振子间距比有关。从图中可以观察到，仅在间距比为某些特殊值的情形下，带隙中才出现布拉格带隙边界。如图8中虚线箭头所标示的，布拉格带隙最低频率的边界fB1=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz仅存在于间距比为θ=0和θ=1的情形下，而另一布拉格带隙边界频率fB2=c/L=17678 Hz则仅存在于θ=0，θ=0.5以及θ=1的情形下。
图9有限周期局域共振轴的振动传输特性 （k1=
3.24×107 N/m）
Fig.9Vibration transmittances of finite LR shaft （k1=3.24×107 N/m）4结论
本文针对双振子局域共振轴的纵向振动带隙特性进行了研究，采用了传递矩阵法得到该声子晶体能带结构关系的解析式，对振子间距比对带隙特性的影响进行了研究，主要结论归纳如下：
（1）对于附加多个振子的局域共振型声子晶体，可以将原胞结构进行分解，通过获得包含单个振子单元的等效传递矩阵，进而再根据接合面的连续关系获得周期单元的整体传递矩阵，从而可以简化能带结构关系的推导。
（2）理论计算结果表明双振子局域共振轴能够获得良好的带隙特性，而且相比较于单振子而言，在振子总质量相同的前提下能够拓宽带隙的宽度，可应用于轴系宽频减振中。
（3）在晶格常数固定的情况下，振子间距会对双振子局域共振轴的各个带隙的宽度产生影响，通过合理设计振子间距能够获得更宽的带隙宽度。而且，在一些条件下，局域共振轴能带结构中存在带隙融合现象，进而可形成一个宽频带的整体带隙。此外，对于双振子局域共振轴，尽管晶格常数保持不变，其布拉格带隙边界频率会随着振子间距比的改变而变化。这些特点同常见的单振子局域共振声子晶体有很大的不同，可为声子晶体的减振应用提供更宽广的空间。
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Effects of spacing ratio on the elastic wave band gaps in longitudinal
vibration of locally resonant shaft with double resonators
ZHAO Shuai， CHEN Qian， YAO Bing
（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics
and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： The longitudinal vibration band gap property of locally resonant （LR） shaft with double resonators is studied using the transfer matrix method. The band structure of the LR shaft is calculated. It is found that a LR shaft with double resonators can have a broader band gaps than that with single resonator. Furthermore， the effect of the spacing ration on the band gaps is studied. It is shown that the spacing ratio can have an influence on the width of band gap and the width of band gap turns to the maximum only as or θ=0.5 or θ=1（θ=0）. Furthermore， for some LR shafts， a phenomenon of band gap mergence can be observed as the spacing ratio is properly set， giving rise to a superwide gap. In addition， it is found that Bragg scattering gap edge frequencies of LR shaft with double arrays of resonators may not only depend on the lattice constant， but also the spacing ration.Key words： vibration attenuation； phononic crystals； locally resonant； double resonators； band gap作者简介： 赵帅（1990—），男，博士研究生。电话： 15850513289； Email： szhaodetec@nuaa.edu.cn
中图分类号： TB532文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04057007
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.007
引言
声子晶体作为一种人工合成的周期性复合材料，这一概念自提出以来就成为众多研究者的关注对象[13]。声子晶体中最引人注目的为其带隙特性，即弹性波在一定频段范围内不能传播，该频率范围内的频段也称为禁带。这一特性的存在也使得声子晶体在减振降噪领域受到极大关注。
长期以来，声子晶体的研究都基于布拉格散射机理进行的，由于其带隙频率主要同晶格常数以及基体的波数有关，若要获得低频带隙，则需要声子晶体的结构尺寸庞大，这就使得声子晶体在低频范围内的减振降噪受到一定限制。刘正猷等于2000年提出的局域共振带隙机理[3]，则为声子晶体在低频的应用打开新的方向。他们构造了三维声子晶体，其原胞是由包裹着铅的橡胶球放入环氧树脂基体中组成的，进而形成了局域共振带隙。通过试验表明该局域共振带隙频率能够低于同样尺寸下布拉格散射带隙频率两个数量级，进而打破了布拉格散射的限制。
对于局域共振声子晶体的构造一般是通过在基体材料上布置一系列周期振子的方式，这一方法也已拓展到的工程结构振动控制领域，例如杆、梁、板等工程结构[412]。通过在这样结构上安置一系列局域振子能够使得结构获得低频局域共振带隙。然而，一直以来，对于局域共振型声子晶体研究基本上都是针对原胞中仅含单个振子的情形进行的，而对于晶格中存在双振子的局域共振声子晶体的带隙现象则受到较少关注。轴类结构作为工程中常用的功率传动构件，广泛应用于船舶、车辆、航空等领域，所以对于轴类构件的减振降噪也成为众多研究者的关注目标之一。其中轴系的纵向振动作为动力工程中常见现象广泛地存在于旋转轴系中，并对轴的寿命、稳定性以及机器运转的可靠性等产生不良的影响，因此轴系的纵向振动控制问题得到广泛的重視，故双振子局域共振声子晶体在轴系纵振控制方面的应用研究具有较大的工程价值和一定的理论意义。
本文结合传递矩阵法和Bloch定理推导了无限周期结构下双振子局域共振轴纵向振动能带结构的解析表达式，分析了双振子局域共振轴的带隙特性，并将其同单振子局域共振轴进行了比较。最后，针对振子间距比对双振子局域共振轴的带隙特性的影响进行了分析。
1双振子局域共振轴建模方法〖2〗1.1无限周期结构双振子局域共振轴图1（a）为具有无限周期结构的双振子局域共振轴，图1（b）所示为双振子局域共振轴的周期单元，称作原胞。双振子局域共振轴由无限长度的均匀质量的等截面轴和并联在上面的振子单元组成，其中轴的截面积为A，单个周期长度（晶格常数）为L。振子1位于原胞的最左端，其由质量单元m1和刚度单元k1组成，振子2与振子1的间距为L1，其由质量单元m2和刚度单元k2组成。对于一维双振子局域共振型声子晶体能带结构的推导，可以先将包含双振子的原胞结构分离为2个单振子原胞结构单独考虑，再结合接触界面的连续条件得到整个原胞的状态矢量关系，并引入周期边界条件，进而获得双振子的局域共振带隙的能带结构关系。
图1双振子局域共振轴示意图
Fig.1Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators
第4期赵帅，等： 间距比对双振子局域共振轴纵振带隙的影响振 动 工 程 学 报第30卷先考虑附加单个振子的轴单元，如图2所示。轴的截面积为A，长度为L。振子由质量单元m和刚度单元k组成。对于不含有振子的轴单元，一般可通过求解单元两端状态向量的关系得到轴单元的传递矩阵。而对于一端含有单个振子的轴单元，可以通过将振子对轴的影响效果等效为作用在轴上的外力，进而可以推导出并联单振子轴单元的等效传递矩阵关系，从而可以简化后续的局域共振轴能带结构关系的计算。
图2附加单振子轴单元的状态矢量
Fig.2State vectors of a LR shaft with single array of resonators
对于不含有局域振子的轴的纵向自由振动，设ux（x）为x处的纵向位移，其振动微分方程为E2ux（x，t）x2=ρ2ux（x，t）t2（1）式中ρ，E分别为轴的密度和杨氏模量。轴的纵向质点振动位移可以表示为ux（x，t）=Ux（x）·e-iωt，其中ω为角频率，Ux（x）为轴的纵波质点纵向振动位移幅值。Ux（x）可以表示为Ux（x）=Psin（βx）+Qcos（βx）（2）式中β为轴的纵波波数，β=ω/c，c=E/ρ。
当轴单元中附加振子后，轴产生纵向振动时，振子质量产生的惯性力会传递给轴，该作用反力可以表示成f=DXA（3）式中D=-mω2kk-mω2为振子的动刚度，反映了单位基础简谐位移引起的对接力。m和k分别为振子的质量和刚度；XA为对接点的纵向位移。
对于图2所示的轴单元，定义[X，N]T为轴的状态矢量，式中X，N分别为位移和力。则轴单元最右端（即x=L处）的状态矢量可表示为 Xi，i+1=[Psin（βL）+Qcos（βL）]e-iωt（4a）
Ni，i+1=EAβ[Pcos（βL）-Qsin（βL）]e-iωt（4b）
同理，考虑到振子在对接点处的作用反力，轴单元最左端（即x=0处）的状态矢量表达式可写为Xi-1，i=Qe-iωt（5a）
Ni-1，i=EAβ·Pe-iωt-D·Xi-1，i（5b）经过推导变换可以得到P=（Ni-1，i+D·Qe-iωt）/（EAβ·e-iωt）（6a）
Q=Xi-1，i/e-iωt（6b）将式（6）代入式（4）得到軸两端的状态向量的关系式
Xi，i+1=Ni-1，i+D·Xi-1，iEAβsin（βL）+
Xi-1，icos（βL）（7a）
Ni，i+1=Ni-1，icos（βL）+D·Xi-1，icos（βL）-
EAβXi-1，isin（βL）（7b）
将式（7）写成矩阵形式，可得到
X
Ni，i+1=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ
-EAβsinβL+DcosβLcosβLX
Ni-1，i=
HX
Ni-1，i（8）
式中H即为含有单振子轴单元的等效传递矩阵，表示为
H=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ
-EAβsinβL+DcosβLcosβL（9）
至此，得到了单振子轴单元两端的状态矢量关系，所以对于双振子局域共振轴的原胞而言，通过将周期单元分解成2个单振子轴单元，并根据接合面的连续关系，可得双振子原胞单元的传递矩阵可以为
T=H2H1=cosβL2+D2sinβL2EAβsinβL2EAβ
-EAβsinβL2+D2cosβL2cosβL2·
cosβL1+D1sinβL1EAβsinβL1EAβ
-EAβsinβL1+D1cosβL1cosβL1=t11t12
t21t22（10）
式中D1=-m1ω2k1k1-m1ω2和D2=-m2ω2k2k2-m2ω2为振子1和振子2的动刚度。
t11=cos（β（L1+L2））+D1sin（β（L1+L2））EAβ+
D2cos（βL1）sin（βL2）EAβ+D1D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；
t12=sin（β（L1+L2））EAβ+D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；
t21=-EAβsin（β（L1+L2））+D1cos（β（L1+L2））+D2cos（βL1）cos（βL2）+D1D2EAβsin（βL1）cos（βL2）；
t22=cos（β（L1+L2））+D2sin（βL2）cos（βL2）EAβ；
t11·t22-t12·t21=1。
对于双振子局域共振轴而言，其相邻原胞的状态矢量关系可以表示为X
Ni，i+1=TX
Ni-1，i（11）由于轴在x方向为无限周期结构，根据Bloch定理，可以得到X
Ni，i+1=eμX
Ni-1，i（12）式中μ称为波的传播系数，μ的实部定义为衰减系数，衰减系数表征波的幅值衰减程度；μ的虚部定义为相位系数，相位系数表征波在相邻周期单元运动的相位差。
结合式（11）和（12），得到（T-eμ·I）X
Ni-1，i=0（13）根据上式可知，eμ为矩阵T的特征值。故将矩阵T中的向量代入式（13）得到cosh（μ）=t11+t222（14）进而得到局域共振轴的能带关系为
cosh（μ）=cosβL+D12·sinβLEAβ+D22·sinβLEAβ+
D1D22·sinβL1sinβL2〖〗（EAβ）2（15）
1.2有限周期结构双振子局域共振轴
由于具有无限周期的局域共振轴是一种理想模型，所以有必要研究在工程中可实际存在的有限周期结构局域共振轴的振动特性。对于有限个周期的局域共振型轴，可以采用振动传输特性来分析轴的弹性波的传播特性。
对于N个周期的双振子局域共振轴而言，轴左右两端的状态矢量有如下关系XR
NR=TNXL
NL=T11T12
T21T22XL
NL（16）假定仅轴的左端受到一简谐力作用，根据传递矩阵可以计算得到轴两端的位移传递率为T=XR/XL=T11-T12T21/T22（17）2带隙计算
采用上节理论方法对双振子局域共振轴的带隙进行计算，其中原胞晶格常数为L=0.2 m，双振子间距L1=0.1 m。轴的截面积为A=5×10-5 m2，其弹性模量和密度分别为E=1.5×1010 Pa和ρ=1200 kg·m-3。振子1和振子2的质量和刚度参数分别选取为：m1=0.047915 kg，k1=1×107 N/m，m2=0.0112765 kg，k2=1×107 N/m。根据式（15）可以计算得到双振子局域共振轴的能带结构关系。
图3表示双振子局域共振轴的能带结构曲线图，图中呈现了衰减系数和相位系数，从图中可以看到双振子局域共振轴在1768～3025 Hz和3559～7176 Hz频段范围里存在2个带隙，各带隙的衰减系数最大值频率对应着振子1和振子2的固有频率。同时，对于不同周期个数下有限长度的双振子局域共振轴的振动传输特性也进行了计算，结果如图4所示，可以发现，尽管周期数不相同，但衰减的频段范围均是一致的，而且与无限周期计算的带隙范围吻合较好。同时可以观察到，随着周期数的增加，带隙频率范围内的衰减程度也会增加。 图3无限周期局域共振轴能带结构图
Fig.3Band structure of a LR shaft with double arrays of resonatorst
图4不同周期个数下双振子局域共振轴振动传输特性
Fig.4Vibration transmittances of finite LR shaft with different periods
对于实际工程中的双振子局域共振型轴，可以结合前述的双振子力学模型对局域共振轴的原胞结构进行一定的简化，进而可以根据理论计算得到局域共振型的传输特性。
为了验证本文局域共振轴能带结构的理论计算结果，本文设计了一种双振子局域共振型轴，并且采用了有限元软件对具有8个周期单元的双振子局域共振轴进行仿真建模。其中振子由圆柱形金属块和柔软的橡胶材料组成，如图5所示，金属块提供振子所需的质量，橡胶材料则提供刚度。振子1和振子2的径向尺寸相同，即弹性层的内外半径分别为R1和R2，金属层的外半径则为R3，而宽度分别为h1和h2。振子1和振子2的最外层金属材料分别为铅和铝，振子材料的具体参数如表1所示，其中ρ，E和G分别表示密度、弹性模量和剪切模量。
当纵向波在轴内传播时，金属块会产生轴向位移，圆柱形橡胶层将产生剪切变形，此时振子可以简化为一质量弹簧系统，橡胶层的纵向刚度可以近似表示为[13]k=2πGh/（lnR2-lnR1）（18）结合式（18）和本节理论计算采用的振子参数，可以设计得到振子的结构参数，如表2所示。采用上述結构参数进行有限元建模，仿真结果如图6所示，图中可以发现理论计算结果同软件有限元仿真结果吻合良好，从而验证了上述理论方法的正确性。图6中还对双振子局域共振轴和单振子局域共振轴的传输特性进行了比较，其中双振子的总质量和单振子的质量保持相同，从图中可以看到双振子局域共振轴相比单振子局域共振轴而言，拥有更宽的带隙。
图5双振子局域共振轴结构示意图
Fig.5Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators表1材料参数
Tab.1Parameters of materials
材料ρ/（kg·m-3）E/PaG/Pa有机玻璃12001.5×10105.68×109铅116004.08×10101.49×1010铝27307.76×10102.87×1010橡胶13006.0×1072.0×107
表2振子结构参数
Tab.2Structures parameters of resonators
R1/mR2/mR3/mh1/mh2/m0.0040.005140.00960.020.02
图6不同振子个数下局域共振轴的振动传输特性
Fig.6Vibration transmittances of finite LR shaft with different arrays3带隙特性研究
对于单振子局域共振型声子晶体而言，当晶格常数固定时，振子在原胞中的位置对局域共振带隙不会产生影响。而对于双振子局域共振轴而言，通过式（15）可知，尽管晶格常数保持不变，然而其能带结构关系函数变量中含有振子1和振子2的间距，所以有必要研究振子间的距离对带隙特性的影响。研究时，可将式（15）变换为
cosh（μ）=cosβL+D12EAβsinβL+D22EAβsinβL+
D1D22（EAβ）2sinθβLsin（（1-θ）βL）（19）
式中θ=L1/L为振子间距比，0≤θ≤1。
图7双振子局域共振轴带隙三维曲面图（k1=2×107 N/m）
Fig.73D surface view of the bandgap behavior of a LR shaft （k1=2×107 N/m）
在研究振子间距比这一无量纲参数对带隙特性的影响时，轴的几何参数和材料参数同前述理论计算保持一致。图7所示为根据式（19）所绘制的双振子局域共振轴带隙衰减系数的三维曲面图，其中振子1的质量和刚度参数分别为m1=0.096 kg，k1=2×107 N/m，而振子2的质量和刚度参数为m2=0.024 kg，k2=2×107 N/m。为了更好地观察带隙特性，可以将三维曲面图在fθ平面（0≤f≤20000 Hz，0≤θ≤1）进行投影，进而得到了二维平面投影图，其中图中的颜色区域是由该衰减的衰减系数所确定的。该二维图中可以清楚地呈现振子间距比对带隙特性行为的影响，包括带隙位置、带隙宽度以及衰减程度等。图8表示的为不同的振子1刚度参数下振子位置对带隙特性的影响，其中振子1和振子2的其他参数同图7所用一致。
图8振子间距比对局域共振轴带隙特性的影响
Fig.8Effects of the spacing ration on the bandgap behavior of a LR shaft
从图8（a），（b）中可以观察到在所示的频率区域内存在两种类型的带隙，即局域共振型带隙和布拉格散射型带隙。可以看到各带隙的宽度均会随着振子间距的变化而改变，并且注意到：对于第一个带隙而言，带隙宽度随着振子间距比的增加逐渐减小；而对于第二带隙而言，带隙宽度会随着振子间距比增加逐渐变大；当振子的间距比为θ=0.5，即振子2位于原胞的中间位置时，此第一带隙的宽度最小，而第二带隙的宽度最大；对于第三带隙，其现象与第一带隙类似。上述现象表明，对于双振子局域共振轴而言，尽管原胞晶格常数固定不变，但原胞中振子的分布会对带隙的宽度产生影响，通过选择适当的间距比可以获得更宽的带隙。 通過图8（a），（b）还可以看到，第一带隙和第二带隙之间存在着一个通带，通带的宽度也会随着振子间距比的变化产生变化。值得关注的是，在图8（b）中，如果振子间距比选择适当，带隙中会出现一个有趣现象。对于图8（b），其振子1的刚度为k1=3.24×107 N/m，可以发现当振子间距比θ=0.5时，此时第一带隙和第二带隙之间的通带宽度变为零，进而第一和第二带隙融合在一起，形成了一个更宽的带隙。通过进一步观察还可以发现，在新形成的融合带隙中，原本由振子1存在所形成的尖锐衰减峰消失，使得在新的带隙范围内仅出现振子2的衰减峰值。为了更清晰地观察该现象，对具有8个周期单元的有限局域共振轴的传输特性进行了计算，结果如图9所示，其同无限周期结构的带隙计算结果保持一致。值得指出的是，此处观察到带隙融合现象不同于局域共振带隙和布拉格散射带隙之间的带隙耦合现象，因为局域共振带隙和布拉格带隙之间的耦合现象是在振子固有频率同布拉格散射带隙边界频率相同的条件下产生的，而注意到该局域共振轴的布拉格散射带隙的最低频率带隙边界f=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz，高于振子1和振子2的固有频率。
同时，值得关注的另一个特征为：对于图8中的布拉格散射型带隙而言，并没有出现一条由布拉格边界所确定的垂直边界。换句话说，布拉格带隙边界不仅取决于晶格常数，而且同振子间距比有关。从图中可以观察到，仅在间距比为某些特殊值的情形下，带隙中才出现布拉格带隙边界。如图8中虚线箭头所标示的，布拉格带隙最低频率的边界fB1=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz仅存在于间距比为θ=0和θ=1的情形下，而另一布拉格带隙边界频率fB2=c/L=17678 Hz则仅存在于θ=0，θ=0.5以及θ=1的情形下。
图9有限周期局域共振轴的振动传输特性 （k1=
3.24×107 N/m）
Fig.9Vibration transmittances of finite LR shaft （k1=3.24×107 N/m）4结论
本文针对双振子局域共振轴的纵向振动带隙特性进行了研究，采用了传递矩阵法得到该声子晶体能带结构关系的解析式，对振子间距比对带隙特性的影响进行了研究，主要结论归纳如下：
（1）对于附加多个振子的局域共振型声子晶体，可以将原胞结构进行分解，通过获得包含单个振子单元的等效传递矩阵，进而再根据接合面的连续关系获得周期单元的整体传递矩阵，从而可以简化能带结构关系的推导。
（2）理论计算结果表明双振子局域共振轴能够获得良好的带隙特性，而且相比较于单振子而言，在振子总质量相同的前提下能够拓宽带隙的宽度，可应用于轴系宽频减振中。
（3）在晶格常数固定的情况下，振子间距会对双振子局域共振轴的各个带隙的宽度产生影响，通过合理设计振子间距能够获得更宽的带隙宽度。而且，在一些条件下，局域共振轴能带结构中存在带隙融合现象，进而可形成一个宽频带的整体带隙。此外，对于双振子局域共振轴，尽管晶格常数保持不变，其布拉格带隙边界频率会随着振子间距比的改变而变化。这些特点同常见的单振子局域共振声子晶体有很大的不同，可为声子晶体的减振应用提供更宽广的空间。
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Effects of spacing ratio on the elastic wave band gaps in longitudinal
vibration of locally resonant shaft with double resonators
ZHAO Shuai， CHEN Qian， YAO Bing
（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics
and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： The longitudinal vibration band gap property of locally resonant （LR） shaft with double resonators is studied using the transfer matrix method. The band structure of the LR shaft is calculated. It is found that a LR shaft with double resonators can have a broader band gaps than that with single resonator. Furthermore， the effect of the spacing ration on the band gaps is studied. It is shown that the spacing ratio can have an influence on the width of band gap and the width of band gap turns to the maximum only as or θ=0.5 or θ=1（θ=0）. Furthermore， for some LR shafts， a phenomenon of band gap mergence can be observed as the spacing ratio is properly set， giving rise to a superwide gap. In addition， it is found that Bragg scattering gap edge frequencies of LR shaft with double arrays of resonators may not only depend on the lattice constant， but also the spacing ration.Key words： vibration attenuation； phononic crystals； locally resonant； double resonators； band gap作者简介： 赵帅（1990—），男，博士研究生。电话： 15850513289； Email： szhaodetec@nuaa.edu.cn