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一、学会建立数学与生活的联系
数学产生于现实世界,是对现实世界的抽象概括,而现实世界包含着生活世界。以实践为取向的数学包括数学知识,也包括解决数学问题的方法、策略和能力。生活中的每一处都蕴含着数学,把生活问题转化为数学问题,就是生活中的数学模型。学习数学的最好方法就是把数学和生活结合在一起,利用生活的感受来学习数学,用数学的方法把生活中的数量关系表示出来。如何把数学课上得趣味横生,体现出数学味道来?教师教得有热情、学生学得有兴趣,是新课程提出的标准和目标,也是对数学教师提出的最大挑战。数学是生活中一道由已知此岸通往未知彼岸的桥梁。教材中呈现的是数学知识,生活中表现的是数学问题。把数学知识还原到生活中去,用数学方法解决生活中的问题。如果把数学知识比作钥匙,教师在教学过程中就不仅只是知识的传递者,负责把钥匙交给学生;更是开启学生思维、教给学生在生活中如何运用钥匙的启发者。
一次,笔者讲授什么是长度单位。在黑板上画一条线,拿一把格尺,要求学生量出线的长度。我提问用什么测量长度,学生回答是格尺。我用胶布把格尺上的刻度包住,要求学生在黑板上量出线的长度。学生着急了,去撕格尺上的胶布。我问这不是格尺吗?你在干什么?学生回答是看不到格尺上的厘米刻度了。我又问,用什么测量线的长度?是格尺吗?学生马上就明白了,抢着回答,是格尺上的刻度单位。如何用生活中简单的实例把数学上抽象的道理解释清楚,这需要用心揣摩、思量。数学不是枯燥无味的,对于小学生来讲,应该早一点培养他们学习数学、热爱数学的兴趣,学会利用数学知识解决生活中的问题。
例一:一年级(3)班有48个同学和3个老师一起去春游,买50瓶饮料够吗?教师给出的标准答案是48 3=5l(瓶),51-50=1(瓶);(注:由于是一年级学生,没有要求写出回答,列出算式即可)。生活中的数学题不一定是条件完全具备、完美无缺的,有时需要学生自己在思考中完善它。判断生活中的数学题是否准确,先是看题干内容是否符合生活中的具体情境,只要符合生活的逻辑,题就不会有问题。这是给学生留出思维空间,由其自己来完善。启发学生联系现实生活实际,独立思考、激发想象力,还要考虑到不同层次学生的认知发展水平和身心特点,以及大多数学生的思维特点,以此来培养他们发现问题、解决问题的能力。但对于小学一年级学生而言,还要考虑学生对数学问题的接受能力。这道题看似缺少一些限制条件,加上“如果每人喝一瓶水”,可能就没问题了。但若是这样,这道题也就失去了内在的意蕴。也许可能认为“学生和教师的用水量是不同的,或者有人不喝水”等这些条件都是符合现实生活的,从这个角度说此题有问题或不成立,这有悖于数学的有序逻辑思维。
这道题属于开放题,答案应该不是唯一的。如果学生能用语言将自己的思考结果表达出来,例如给出有两名学生喝一瓶水的信息,50瓶水够喝 ;或者有人自己带了水,50瓶水也够喝。这些答案虽偏离了出题者的假设,但都是正确的。有学者认为,在新课程改革的背景下,我们要给学生跳一跳就能够得到的目标,这样才能达到渐进的目的。教师在教学方面应从一元化的思维向多元化思维转变。对于出题者而言,在出题前应该想清楚答案的标准是什么,多元化并不代表没标准。
二、学会培养学生的数感
数感的培养是小学数学教学中重要的一项内容。有学者认为:数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础,是将数字与现实问题建立联系的桥梁。内隐的是对数字的敏感性、对数字的感觉,外显的是一种能力的体现。现实中,很多学生数感非常强烈。他们眼中的世界是一个量化的世界,走进房间时,首先在意识中建立一个空间的概念,能够估量出空间的大小,地面、墙壁的面积,各种事物的长度、宽度等等。我们经常会听到:这个学生不是学习数学的材料,怎么讲解也不懂,这是因为学生缺少数感的表现。数感的形成有先天的因素,但后天也可以培养,数学教育的职责即在于此。
数感的培养是个渐进的过程,小学三年级以前,重在培养观察力或者说是洞察力。比如,在课堂上不允许使用橡皮和涂改液,目的是强迫学生在头脑中先运算,考虑清楚之后再落笔,而不是直接演算,演算不对再改、再擦。其次是数字概念的培养,培养学生用数字来表达和交流信息。比如,从按物点数到按群计数,从简单的数数到在头脑中建立数字序列和数学模型。笔者曾经做过一个实验,被试者是一名一年级小学生。把两个苹果放在桌子上,询问苹果的数量,回答是两个;再放入两个苹果,第二次询问苹果的数量,学生开始查数1、2、3、4,回答是四个;当学生的面,把两个苹果装入书包,在桌子上再放入两个苹果,第三次询问苹果的数量。此实验目的是强迫学生在数字2的基础上在头脑中进行累加。在实验中,可以根据需要更换装入书包的苹果数量。
例二:把6、7、8、9四个数填在○里,使每条线上的三个数相加的和等于20。这道题考查学生的哪方面能力呢?(见图)题干内容呈现了数的结构图,中间的数字是5,两条线上三个数字之和是20。根据已知条件,另外两个数字之和应为15。此思维过程就是考查学生对数字的敏感度,看学生能否在头脑中迅速建立起数字之间的关系。
三、学会培养学生的符号感
有位学生在回答“买多少饮料”问题时列出的答案是48 3=51(瓶),5l>50。可以看出学生在使用符号方面的敏感性,但为什么在大于号上加圈呢?调研发现,许多学生的数学课本和作业中都有这个圈。分析认为,学生以为这就是“大于号”的表达方式。数学教育是把静态的知识结论转化为动态的探索过程,在教材中,这个圈是用来填写数学符号,表示两个数字之间关系的工具。“圈”是静态的,但两个数字之间关系的建构却是动态的过程。这个问题的出现也许是学生对“圈”的认知和理解有误区;也许是教师在教学过程中忽略了对“圈”的生成性的解释。小学一年级的学生能够运用“大于号”,来表达对问题的理解,这是很难得的抽象思维过程,说明学生具有一定的符号感。
抽象地说,符号感是对数学符号含义、作用的理解,以及主动地使用符号的意识和习惯。一是理解各种数学符号的含义,表示什么意思,在什么时候使用以及怎样使用;二是理解数学符号的作用与价值,为什么使用符号,对于解决问题有哪些好处;三是无论在学习数学和应用数学时,还是在独立思考和与人交流时,能够经常地甚至创造性地使用符号。学生用51>50代替了51-50=1(瓶),用数字符号比较两个数字之间的关系,简单明了地说明了问题的实质。这就是在理解数学符号含义的基础上对符号的灵活运用。另外,学生答案中使用的逗号,表现了清晰、有序的思维过程,说明学生认为解题过程应该分两步,前面是计算的过程,后面是给出的结果。不要小看这个逗号,数学的思维过程是复杂的,学生在答题中容易产生混乱感,而这个逗号就是解决混乱感的武器。
数感与符号感是相辅相成的关系。在数学教学中,教师一方面要学会结合生活中的事例,从具体的问题情景中抽象出数量关系和变化规律,并用符号表示,使学生认识符号、会用符号;另一方面还要让学生体会到由于使用符号,能很清楚、很简洁地表达各种关系和规律。同时也要鼓励学生创造性地使用自己明白的一些符号。在使用自己的符号时,学生逐渐体会到符号的价值,感受到符号对自己思维的帮助,逐渐积累使用符号的经验。
四、学会评价学生
数学是简洁的、高度概括的逻辑思维过程。不同的人具有不同的思维方式,解决数学问题,有人可能列出五步,有人可能列出三步,但关键步骤要写出来。教师要鼓励学生运用跳跃式思维简洁地解决数学问题。有的教师依旧是要求学生列出所有的演算过程,按步骤给分,不全就扣分,这无疑是对学生能力的一种戕害。对于能够列出简洁的主要算式的学生应该表扬,对于有新意的解题方法,应该用加分方式给予鼓励。当然,前提是学生的演算过程和结果必须正确。
学生在学习成长的过程中,只要教师运用科学、正确的教学方法,就可以开发学生许多方面的潜能。正确的评价方式对于启发学生思考、鼓励学生迎难而上具有同样的激励作用。过去教师们常说,这个学生天生就笨,那个学生天生就聪明,其实这是一种错误的认识。在儿童成长时期,潜能没有很好地开发就有可能随着年龄的增长而消失殆尽。如果这是真实的,对于我们从事的教育教学工作,该是多么可悲的事情啊!
数学产生于现实世界,是对现实世界的抽象概括,而现实世界包含着生活世界。以实践为取向的数学包括数学知识,也包括解决数学问题的方法、策略和能力。生活中的每一处都蕴含着数学,把生活问题转化为数学问题,就是生活中的数学模型。学习数学的最好方法就是把数学和生活结合在一起,利用生活的感受来学习数学,用数学的方法把生活中的数量关系表示出来。如何把数学课上得趣味横生,体现出数学味道来?教师教得有热情、学生学得有兴趣,是新课程提出的标准和目标,也是对数学教师提出的最大挑战。数学是生活中一道由已知此岸通往未知彼岸的桥梁。教材中呈现的是数学知识,生活中表现的是数学问题。把数学知识还原到生活中去,用数学方法解决生活中的问题。如果把数学知识比作钥匙,教师在教学过程中就不仅只是知识的传递者,负责把钥匙交给学生;更是开启学生思维、教给学生在生活中如何运用钥匙的启发者。
一次,笔者讲授什么是长度单位。在黑板上画一条线,拿一把格尺,要求学生量出线的长度。我提问用什么测量长度,学生回答是格尺。我用胶布把格尺上的刻度包住,要求学生在黑板上量出线的长度。学生着急了,去撕格尺上的胶布。我问这不是格尺吗?你在干什么?学生回答是看不到格尺上的厘米刻度了。我又问,用什么测量线的长度?是格尺吗?学生马上就明白了,抢着回答,是格尺上的刻度单位。如何用生活中简单的实例把数学上抽象的道理解释清楚,这需要用心揣摩、思量。数学不是枯燥无味的,对于小学生来讲,应该早一点培养他们学习数学、热爱数学的兴趣,学会利用数学知识解决生活中的问题。
例一:一年级(3)班有48个同学和3个老师一起去春游,买50瓶饮料够吗?教师给出的标准答案是48 3=5l(瓶),51-50=1(瓶);(注:由于是一年级学生,没有要求写出回答,列出算式即可)。生活中的数学题不一定是条件完全具备、完美无缺的,有时需要学生自己在思考中完善它。判断生活中的数学题是否准确,先是看题干内容是否符合生活中的具体情境,只要符合生活的逻辑,题就不会有问题。这是给学生留出思维空间,由其自己来完善。启发学生联系现实生活实际,独立思考、激发想象力,还要考虑到不同层次学生的认知发展水平和身心特点,以及大多数学生的思维特点,以此来培养他们发现问题、解决问题的能力。但对于小学一年级学生而言,还要考虑学生对数学问题的接受能力。这道题看似缺少一些限制条件,加上“如果每人喝一瓶水”,可能就没问题了。但若是这样,这道题也就失去了内在的意蕴。也许可能认为“学生和教师的用水量是不同的,或者有人不喝水”等这些条件都是符合现实生活的,从这个角度说此题有问题或不成立,这有悖于数学的有序逻辑思维。
这道题属于开放题,答案应该不是唯一的。如果学生能用语言将自己的思考结果表达出来,例如给出有两名学生喝一瓶水的信息,50瓶水够喝 ;或者有人自己带了水,50瓶水也够喝。这些答案虽偏离了出题者的假设,但都是正确的。有学者认为,在新课程改革的背景下,我们要给学生跳一跳就能够得到的目标,这样才能达到渐进的目的。教师在教学方面应从一元化的思维向多元化思维转变。对于出题者而言,在出题前应该想清楚答案的标准是什么,多元化并不代表没标准。
二、学会培养学生的数感
数感的培养是小学数学教学中重要的一项内容。有学者认为:数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础,是将数字与现实问题建立联系的桥梁。内隐的是对数字的敏感性、对数字的感觉,外显的是一种能力的体现。现实中,很多学生数感非常强烈。他们眼中的世界是一个量化的世界,走进房间时,首先在意识中建立一个空间的概念,能够估量出空间的大小,地面、墙壁的面积,各种事物的长度、宽度等等。我们经常会听到:这个学生不是学习数学的材料,怎么讲解也不懂,这是因为学生缺少数感的表现。数感的形成有先天的因素,但后天也可以培养,数学教育的职责即在于此。
数感的培养是个渐进的过程,小学三年级以前,重在培养观察力或者说是洞察力。比如,在课堂上不允许使用橡皮和涂改液,目的是强迫学生在头脑中先运算,考虑清楚之后再落笔,而不是直接演算,演算不对再改、再擦。其次是数字概念的培养,培养学生用数字来表达和交流信息。比如,从按物点数到按群计数,从简单的数数到在头脑中建立数字序列和数学模型。笔者曾经做过一个实验,被试者是一名一年级小学生。把两个苹果放在桌子上,询问苹果的数量,回答是两个;再放入两个苹果,第二次询问苹果的数量,学生开始查数1、2、3、4,回答是四个;当学生的面,把两个苹果装入书包,在桌子上再放入两个苹果,第三次询问苹果的数量。此实验目的是强迫学生在数字2的基础上在头脑中进行累加。在实验中,可以根据需要更换装入书包的苹果数量。
例二:把6、7、8、9四个数填在○里,使每条线上的三个数相加的和等于20。这道题考查学生的哪方面能力呢?(见图)题干内容呈现了数的结构图,中间的数字是5,两条线上三个数字之和是20。根据已知条件,另外两个数字之和应为15。此思维过程就是考查学生对数字的敏感度,看学生能否在头脑中迅速建立起数字之间的关系。
三、学会培养学生的符号感
有位学生在回答“买多少饮料”问题时列出的答案是48 3=51(瓶),5l>50。可以看出学生在使用符号方面的敏感性,但为什么在大于号上加圈呢?调研发现,许多学生的数学课本和作业中都有这个圈。分析认为,学生以为这就是“大于号”的表达方式。数学教育是把静态的知识结论转化为动态的探索过程,在教材中,这个圈是用来填写数学符号,表示两个数字之间关系的工具。“圈”是静态的,但两个数字之间关系的建构却是动态的过程。这个问题的出现也许是学生对“圈”的认知和理解有误区;也许是教师在教学过程中忽略了对“圈”的生成性的解释。小学一年级的学生能够运用“大于号”,来表达对问题的理解,这是很难得的抽象思维过程,说明学生具有一定的符号感。
抽象地说,符号感是对数学符号含义、作用的理解,以及主动地使用符号的意识和习惯。一是理解各种数学符号的含义,表示什么意思,在什么时候使用以及怎样使用;二是理解数学符号的作用与价值,为什么使用符号,对于解决问题有哪些好处;三是无论在学习数学和应用数学时,还是在独立思考和与人交流时,能够经常地甚至创造性地使用符号。学生用51>50代替了51-50=1(瓶),用数字符号比较两个数字之间的关系,简单明了地说明了问题的实质。这就是在理解数学符号含义的基础上对符号的灵活运用。另外,学生答案中使用的逗号,表现了清晰、有序的思维过程,说明学生认为解题过程应该分两步,前面是计算的过程,后面是给出的结果。不要小看这个逗号,数学的思维过程是复杂的,学生在答题中容易产生混乱感,而这个逗号就是解决混乱感的武器。
数感与符号感是相辅相成的关系。在数学教学中,教师一方面要学会结合生活中的事例,从具体的问题情景中抽象出数量关系和变化规律,并用符号表示,使学生认识符号、会用符号;另一方面还要让学生体会到由于使用符号,能很清楚、很简洁地表达各种关系和规律。同时也要鼓励学生创造性地使用自己明白的一些符号。在使用自己的符号时,学生逐渐体会到符号的价值,感受到符号对自己思维的帮助,逐渐积累使用符号的经验。
四、学会评价学生
数学是简洁的、高度概括的逻辑思维过程。不同的人具有不同的思维方式,解决数学问题,有人可能列出五步,有人可能列出三步,但关键步骤要写出来。教师要鼓励学生运用跳跃式思维简洁地解决数学问题。有的教师依旧是要求学生列出所有的演算过程,按步骤给分,不全就扣分,这无疑是对学生能力的一种戕害。对于能够列出简洁的主要算式的学生应该表扬,对于有新意的解题方法,应该用加分方式给予鼓励。当然,前提是学生的演算过程和结果必须正确。
学生在学习成长的过程中,只要教师运用科学、正确的教学方法,就可以开发学生许多方面的潜能。正确的评价方式对于启发学生思考、鼓励学生迎难而上具有同样的激励作用。过去教师们常说,这个学生天生就笨,那个学生天生就聪明,其实这是一种错误的认识。在儿童成长时期,潜能没有很好地开发就有可能随着年龄的增长而消失殆尽。如果这是真实的,对于我们从事的教育教学工作,该是多么可悲的事情啊!