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【摘要】本文阐明数学空间形式中的“形感”概念，阐述“从简单到复杂”“从特殊到一般，再从一般到特殊”的图形的两条变化规律，讲解“完整形”和“残缺形”及其发展关系，即从图形发生和发展的两条主线以及“完整形”和“残缺形”两个形来展开论述，揭示图形之间的变化规律，加深对几何图形的认识，并以例助讲将“残缺形”补成“完整形”的方法。
【关键词】几何 图形规律 形感
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）21-0136-02
《初中数学课程标准（2011年版）》对数学的定义是：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”数量关系和空间形式，就是我们常常简称为“数”与“形”的两个对象。几何的研究对象是“形”，即常说的图形。本文从图形发生和发展的两条主线以及“完整形”和“残缺形”两个形来展开论述，以揭示图形之间的变化规律，加深对几何图形的认识。
一、关于图形的一个基本概念“形感”
数量关系和空间形式我们常常以“数”和“形”简称之。对于“数”，课标里有与之相应的“数感”，认为“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估算等方面的感悟，建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”。对于“形”呢？为什么没有“形感”一词呢？笔者认为，“形感”在初中几何里，是至关重要的一种能力，也可以说是对形的一种感觉。什么是“形感”呢？笔者模仿“数感”给它下一个定义：“形感，主要是指关于图形、图形关系以及图形中的数量关系等方面的感悟，建立形感有助于学生理解图形，理解和表述图形中的数量关系”。举例如下：
1.数量关系
正确的形感：线段a大于线段b 角1大于角2
2.位置关系
正确的形感：两线垂直 两线不垂直 两线平行 两线不平行
在图形的研究过程中，我们常常遇见两种情况。一是看起来不像，但事实上它就是;二是看起来很像，但事实上它却不是。这两种情况往往都跟“形感”有紧密的联系。在解题过程中，我们也往往有这样的解题经验，看着题目提供的图，实在是没有解题的思路，怎么看都不像，于是，自己根据题目的已知条件重新画一个图，一下子就找到思路了，这也跟“形感”有紧密联系。
我们知道，数学活动的过程常有这样几个环节：观察、猜想、论证、下结论。在从观察得出猜想的过程中，“形感”往往起到关键的作用。
综合以上观点，正确“形感”的建立至关重要。那么怎么建立呢？
二、帮助学生建立“形感”
明白了“形感”的概念，那么如何帮助学生建立正确的“形感”呢？结合笔者多年的教学经验，从下面两点来谈一谈。
（一）利用图形网络深刻揭示关于图形的两条变化规律
1.“从简单到复杂”规律
图形的发生和发展，有其自己特有的规律，其中的一条就是“从简单到复杂”。我们不妨回顾几个基本图形的学习过程，举例如下：
直线系列：从一条线，到两条线再到三条线。知识从一条线中的直线有两个延伸方向，到相交线的对顶角和邻补角，再到“三线八角”。
射线系列：从一条射线，到有公共顶点的两条射线（角），再到有公共顶点的三条射线（角的大小比较）。
“从简单到复杂”的规律，我们亦可以认为是基本图形的叠加，生成新的基本图形，新的基本图形再叠加，从而生成新的复杂的图形。因此，笔者认为，所有的复杂图形都是由简单的基本图形组成。基于这样的认识，我们在突破与图形相关的难题的时候，首要的思路就是将复杂的图形进行基本图形的拆解。
2.“从特殊到一般，再从一般到特殊”规律
我们还是可以以直线和射线这两个基本图形举例展开说明如下：
直线系列：两直线相交的一般情形生成对顶角和邻补角，特殊情形为相交的四个角中，有一个是直角的情形。此时，生成垂直的概念，进而生成点到直线的距离的概念。三条直线相交的一般情形，特殊化后得到两平行线被第三线所截的特殊图形，进而生成了平行线的判定和性质等知识。
射线系列：三条有公共顶点的射线组成一般状态的三个角，把中间的射线特殊化后可以得到角的平分线，把一般的角特殊化后得到平角，再加上平分线就得到两直线垂直。
“从特殊到一般，再从一般到特殊”的规律，我们可以认为是一个图形发生变化的两个方向，捋顺一般性和特殊性有利于加深我们对图形的认识。
上述两条发生、发展的图形规律随处可见，每一个图形都不是单一的，有来处，当然也有去处。在平时授课的过程中，利用网络结构图，将图形的上述两条变化规律呈现清楚，明白知识的发生、发展方向将有助于学生“形感”的建立和提升。
以三角形中的三条重要线段为例，建立图形网络如下：
三角形的高：
三角形的中线：
三角形的角平分线：
（二）关于“完整形”和“残缺形”的理解
1.“完整形”
从字面上来看，它就是指一个完整的图形。我们在课本的学习过程中，每一个定义或者定理都有相应的图形，这些图形通常都可以认为是完整形。
2.“残缺形”
数学源于生活，在生活中，有完整的物体，也有不完整的物体。图形也一样，有完整的图形，也有不完整的图形。笔者把那些不完整的图形称之为“残缺形”。在生活中，每当我们看到缺胳膊少腿的残疾人，善良的人都会想，如果我们能够帮把他缺失的补全，该有多好。对于图形也一样，每当笔者看到一个“残缺形”的图出现在面前时，就想把它补全。笔者认为，这是几何图形添加辅助线的一个核心思想。当然，能看出这是一个“残缺形”就需要有比较好的“形感”。
为了更清楚地说明这个问题，打个比方如下：
角平分线的“残缺形”和“完整形” 中垂线的“残缺形”和“完整形”
如果有一道题，题目中明确告诉你，有角平分线，角平分线上有点，这个点到角的一边的距离明确了，到另一边的距离却没有明确，那么要想用到其结论，就要标示这个点到另一边的距离，因此就要画出这个点到另一边的距离。这就是关于角平分线添加辅助线解题的一条思路，将残缺形补成了完整形。图形完整，结论跟着才完整。中垂线也一样，不再赘述。
但是，将“残缺形”补成“完整形”有多种补法，关键是看你发挥怎样的想象力。比如：
三角形中点残缺形 完整形1 完整形2 完整形3 完整形4
补成图1，得到面积相等;补成图2和图3得到中位线和相似三角形;补成图4，得到平行四边形，角和线段发生转移;等等。
3.将“残缺形”补成“完整形”一题多解举例
〖例〗如图1所示，已知AB∥CD，点E在两平行线的内部，∠ABE=40°，∠CDE=50°，求∠E。
〖解題思路〗题目的图中有两线平行，联想到平行线的性质，接着联想到两线平行的完整形如图2，两平行线必须有截线才完整，才有同位角、内错角和同旁内角这三种角。对比题目中的图形，两平行线间没有完整的截线，属于平行线的残缺形，于是将残缺形补成完整形即可。至少有以下八种补全图形的解法，但结果都是∠E=90°。
上述八种解法的共性都是将平行线的残缺形补成完整形。可见，有一定的形感才能很快地联想到一条直线和两条平行线相交的“完整”图形，联想到用平行线的同位角、内错角和同旁内角的关系，即平行线的性质定理，利用平行线的性质定理解题。
总而言之，关注图形发生、发展的两条主线有助于完善我们认图和识图的系统性，关注“残缺形”有助于完善我们认图和识图的完整性。建立正确的“形感”，有助于我们加深对图形的认识和理解。
（责编 卢建龙）
【关键词】几何 图形规律 形感
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）21-0136-02
《初中数学课程标准（2011年版）》对数学的定义是：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”数量关系和空间形式，就是我们常常简称为“数”与“形”的两个对象。几何的研究对象是“形”，即常说的图形。本文从图形发生和发展的两条主线以及“完整形”和“残缺形”两个形来展开论述，以揭示图形之间的变化规律，加深对几何图形的认识。
一、关于图形的一个基本概念“形感”
数量关系和空间形式我们常常以“数”和“形”简称之。对于“数”，课标里有与之相应的“数感”，认为“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估算等方面的感悟，建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”。对于“形”呢？为什么没有“形感”一词呢？笔者认为，“形感”在初中几何里，是至关重要的一种能力，也可以说是对形的一种感觉。什么是“形感”呢？笔者模仿“数感”给它下一个定义：“形感，主要是指关于图形、图形关系以及图形中的数量关系等方面的感悟，建立形感有助于学生理解图形，理解和表述图形中的数量关系”。举例如下：
1.数量关系
正确的形感：线段a大于线段b 角1大于角2
2.位置关系
正确的形感：两线垂直 两线不垂直 两线平行 两线不平行
在图形的研究过程中，我们常常遇见两种情况。一是看起来不像，但事实上它就是;二是看起来很像，但事实上它却不是。这两种情况往往都跟“形感”有紧密的联系。在解题过程中，我们也往往有这样的解题经验，看着题目提供的图，实在是没有解题的思路，怎么看都不像，于是，自己根据题目的已知条件重新画一个图，一下子就找到思路了，这也跟“形感”有紧密联系。
我们知道，数学活动的过程常有这样几个环节：观察、猜想、论证、下结论。在从观察得出猜想的过程中，“形感”往往起到关键的作用。
综合以上观点，正确“形感”的建立至关重要。那么怎么建立呢？
二、帮助学生建立“形感”
明白了“形感”的概念，那么如何帮助学生建立正确的“形感”呢？结合笔者多年的教学经验，从下面两点来谈一谈。
（一）利用图形网络深刻揭示关于图形的两条变化规律
1.“从简单到复杂”规律
图形的发生和发展，有其自己特有的规律，其中的一条就是“从简单到复杂”。我们不妨回顾几个基本图形的学习过程，举例如下：
直线系列：从一条线，到两条线再到三条线。知识从一条线中的直线有两个延伸方向，到相交线的对顶角和邻补角，再到“三线八角”。
射线系列：从一条射线，到有公共顶点的两条射线（角），再到有公共顶点的三条射线（角的大小比较）。
“从简单到复杂”的规律，我们亦可以认为是基本图形的叠加，生成新的基本图形，新的基本图形再叠加，从而生成新的复杂的图形。因此，笔者认为，所有的复杂图形都是由简单的基本图形组成。基于这样的认识，我们在突破与图形相关的难题的时候，首要的思路就是将复杂的图形进行基本图形的拆解。
2.“从特殊到一般，再从一般到特殊”规律
我们还是可以以直线和射线这两个基本图形举例展开说明如下：
直线系列：两直线相交的一般情形生成对顶角和邻补角，特殊情形为相交的四个角中，有一个是直角的情形。此时，生成垂直的概念，进而生成点到直线的距离的概念。三条直线相交的一般情形，特殊化后得到两平行线被第三线所截的特殊图形，进而生成了平行线的判定和性质等知识。
射线系列：三条有公共顶点的射线组成一般状态的三个角，把中间的射线特殊化后可以得到角的平分线，把一般的角特殊化后得到平角，再加上平分线就得到两直线垂直。
“从特殊到一般，再从一般到特殊”的规律，我们可以认为是一个图形发生变化的两个方向，捋顺一般性和特殊性有利于加深我们对图形的认识。
上述两条发生、发展的图形规律随处可见，每一个图形都不是单一的，有来处，当然也有去处。在平时授课的过程中，利用网络结构图，将图形的上述两条变化规律呈现清楚，明白知识的发生、发展方向将有助于学生“形感”的建立和提升。
以三角形中的三条重要线段为例，建立图形网络如下：
三角形的高：
三角形的中线：
三角形的角平分线：
（二）关于“完整形”和“残缺形”的理解
1.“完整形”
从字面上来看，它就是指一个完整的图形。我们在课本的学习过程中，每一个定义或者定理都有相应的图形，这些图形通常都可以认为是完整形。
2.“残缺形”
数学源于生活，在生活中，有完整的物体，也有不完整的物体。图形也一样，有完整的图形，也有不完整的图形。笔者把那些不完整的图形称之为“残缺形”。在生活中，每当我们看到缺胳膊少腿的残疾人，善良的人都会想，如果我们能够帮把他缺失的补全，该有多好。对于图形也一样，每当笔者看到一个“残缺形”的图出现在面前时，就想把它补全。笔者认为，这是几何图形添加辅助线的一个核心思想。当然，能看出这是一个“残缺形”就需要有比较好的“形感”。
为了更清楚地说明这个问题，打个比方如下：
角平分线的“残缺形”和“完整形” 中垂线的“残缺形”和“完整形”
如果有一道题，题目中明确告诉你，有角平分线，角平分线上有点，这个点到角的一边的距离明确了，到另一边的距离却没有明确，那么要想用到其结论，就要标示这个点到另一边的距离，因此就要画出这个点到另一边的距离。这就是关于角平分线添加辅助线解题的一条思路，将残缺形补成了完整形。图形完整，结论跟着才完整。中垂线也一样，不再赘述。
但是，将“残缺形”补成“完整形”有多种补法，关键是看你发挥怎样的想象力。比如：
三角形中点残缺形 完整形1 完整形2 完整形3 完整形4
补成图1，得到面积相等;补成图2和图3得到中位线和相似三角形;补成图4，得到平行四边形，角和线段发生转移;等等。
3.将“残缺形”补成“完整形”一题多解举例
〖例〗如图1所示，已知AB∥CD，点E在两平行线的内部，∠ABE=40°，∠CDE=50°，求∠E。
〖解題思路〗题目的图中有两线平行，联想到平行线的性质，接着联想到两线平行的完整形如图2，两平行线必须有截线才完整，才有同位角、内错角和同旁内角这三种角。对比题目中的图形，两平行线间没有完整的截线，属于平行线的残缺形，于是将残缺形补成完整形即可。至少有以下八种补全图形的解法，但结果都是∠E=90°。
上述八种解法的共性都是将平行线的残缺形补成完整形。可见，有一定的形感才能很快地联想到一条直线和两条平行线相交的“完整”图形，联想到用平行线的同位角、内错角和同旁内角的关系，即平行线的性质定理，利用平行线的性质定理解题。
总而言之，关注图形发生、发展的两条主线有助于完善我们认图和识图的系统性，关注“残缺形”有助于完善我们认图和识图的完整性。建立正确的“形感”，有助于我们加深对图形的认识和理解。
（责编 卢建龙）