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摘要：数学分析习题课是教学过程中必不可少的一个重要环节，本文从逻辑性教学、指导性教学、问题驱动的教学三个方面讨论了数学分析习题课教学中应注意的一些问题，对数学分析习题课的教学方法进行了有益的探索。
关键词：数学分析；习题课；问题驱动的教学方法
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）23-0177-02
《数学分析》是高等院校数学系学生必修的一门数学专业基础课，一般也是大一学生上大学后开始接触的最基础的高等数学。通过本门课程的教学，要使学生获得数学思想、数学的逻辑性、严密性方面的严格训练；掌握近代数学的方法、技巧，特别是通过大量的训练，具体掌握微分、积分的思想和方法，使学生获得数学基础知识和基本能力的强化训练，为后续课程的学习乃至今后毕生的工作奠定坚实的基础。但由于一上来学生就开始学习语言，学生普遍反映比较难。而数学分析习题课既是课堂教学的延伸和应用，又为学习新知识打下基础，起着承上启下、融会贯通的桥梁作用。因而数学分析习题课的教学就是这门课不可或缺的重要环节，它是理论与实践、知识与能力、教与学的结合部，可以帮助学生掌握证明问题的技巧，培养从分析问题到解决问题的逻辑思维能力和推理论证能力，提高分析问题和解决问题的能力。
尽管数学分析习题课有着十分重要的地位和作用，但在教学过程中还是存在着某些偏颇，如习题课上某些老師只是讲解例题，呈现出“老师讲，学生记”的情境；也有的老师教学方法、教学手段单一，没有从学生的角度思考，只是一味地演算习题，对学生的思维能力、创新能力培养不够。笔者在此不做过多的讨论，仅仅从以下面三个方面来浅谈一下数学分析习题课中应该注意的地方。
一是关于数学分析的逻辑性教学。数学分析这门课有着严密的逻辑体系，逻辑也是这门课最大的一个特点。因此上习题课时，不管是理论证明题还是计算题，都要提供严格的逻辑推理过程。这一特点尤其体现在刚入学时学习的证明极限的ε-N语言。由于极限的定义本身是有四句话组成，不像学生以前学过的其他定义那么浅显，因而学生初学时往往不容易理解透彻，用定义证明极限时也容易丢三落四。习题课上就要详细解说这种逻辑语言的妙处，它与通常说的当n充分大时，a■会充分靠近极限a有什么区别。有了极限ε-N的语言，我们才能描述清楚a■与a靠近到什么程度，才能在以后的证明过程中有效地进行逻辑推理。如讲解例题：设■a■=0，证明■■=0。如果不用ε-N语言，那怎么来描述■很靠近0呢？正是因为有了ε-N语言，我们才可以分段进行估计，先是找到正整数K使得n>K时，有|a■|<ε。在这样的条件下我们才能继续进行估计，从而可以找到满足极限定义的N。如果没有了ε-N语言，是很难从逻辑上让人信服的说明结论成立。
二是关于数学分析的指导性教学。在习题课上如果老师只是简单地讲解一些习题，罗列一些结果，对学生而言，学到的技巧就很少，收获不大。“授人以鱼不如授人以渔”，只有把学生的积极性调动起来，把学生的兴趣培养起来，把对这门课的宏观认识建立起来，才有可能实现我们想要的教学目标。这需要我们平时多指导学生培养这方面的一些技巧、方法以及思想。数学分析的习题往往不是一种解法，我们可以从不同的角度展示这些证明或计算的技巧，指导他们从这样的证明过程中真正掌握属于自己的证明手段。在讲解习题：证明函数项级数■■在（0，π）上不一致收敛。我们首先要引导学生思考有那些证明不一致收敛的手段，哪些或哪一个可能在这儿会起到关键的作用。经过引导，学生可能会想到用Cauchy收敛原理来证明不一致收敛，但怎么证明呢？我们首先将不一致收敛的Cauchy收敛原理写在黑板上：存在ε■=？，对任意的正整数N，存在正整数n=？（n>N），存在正整数p=？，以及区间（0，π）中的点x■=？能使得■■≥ε■。这里带问号的都是需要我们去找的，因此我们要进行不等式的放缩以期达到我们的目的。然后指导学生取x■要很小使得相加的每一项都是正数，这样放缩时不需要带着绝对值符号；当然这需要取适当的n，p以及x■，使得相加之后的和不会很小。这样的不等式放缩技巧有很多，答案也不是唯一的，因而通过这样的推理指导过程，可以使得学生迅速掌握Cauchy收敛原理以及用Cauchy收敛原理证明的思路。
三是数学分析中关于问题驱动的教学方式。传统的数学分析教学过于注重形式表达，学生经常“知其然而不知所以然”，如果用重大的、有广泛应用的、引人入胜的数学问题，把冷漠的、机械的、枯燥的数学分析理论，能转变为生动的、易懂的、丰富多彩的科学思想和应用实践，这样使学生既能了解这门科學从哪里来，也能知晓它往哪里去，从内心深处产生学习的兴趣、学好的愿望和勤学的动力。实际上，数学分析这门课中很多定理或者结论都具有很强的物理背景或者几何含义，很多情况下也有着很现实的应用。比如物理中的速度位移问题，就与导数以及积分有着密切的联系；光在不同的介质中传播会出现折射现象就与函数的最值问题有关；还有物理中的力的做功问题，流体力学中的各种问题等，都与微积分有着割舍不断的关系。比如在讲解习题：f（x）在[a，b]上连续递增，证明：■xf（x）dx≥■■xf（x）dx。一种证明思路是考虑变上限积分：F（x）=■tf（t）dt-■■f（t）dt，通过对F（x）的单调性进行研究得到结果。我们可以引导学生考虑速度与位移之间的关系，进而思考积分与导数之间的关系，从而可以完成证明。
数学分析习题课教学中其实有很多值得注意的地方，如怎样能提高学生的兴趣，引导学生积极参与课堂讨论或研究环节；怎样培养学生的创新能力，提高学生的思维训练能力等。如何充分的发挥习题课环节的积极作用，并与课堂教学环节环环相扣，不断提高数学分析课程的教学质量，是值得老师在今后的教学实践中不断探索和思考的一个课题。
参考文献：
[1]魏立明.数学分析习题课的现状与思考[J].贺州学院学报，2010，26（1）：106-108. [2]李忠.歷史的回顾：我国数学分析课内容体系的变迁[J].数学通报，2008，（47）：1-5.
[3]唐玲艳，何艳丽，王红霞，宋松和.数学分析习题课教学的几点体会[J].高等数学研究，2012，（15）：91-94.
[4]向昭银，黄廷祝.研究型教学融人数学分析习题课的教学原则[J].大学数学，2012，（28）：151-154.
[5]李玲.对习题课在高等数学教学中的重要性和实施策略的一些认识[J].黑龙江科技信息，2016，（12）：45.
[6]莫海平，韩超，王焕许，王洪珂.数学分析精品课程建设的研究与实践[J].绥化学院学报，2009，（02）：183-185.
[7]张晓宁，朱开永.应重视高等数学习题课教学方法的研究[J].煤炭高等教育，1998，（02）：70-71.
[8]张德生.上好习题课是提高教学质量重要环节[J].安庆师范学院学报（自然科学版），1996，（01）：79-81.
[9]张茵仙.教师如何发挥习题在教学中的作用[J].山西财政税务专科学校学报，1999，（04）：53-54.
[10]马鸿晓.由一道数学行程问题引发的思考——浅谈数学习题的功能[J].教育教學论坛，2014，（36）：89-91.
[11]姚玉武，牛欣.关于数学分析教学的几点体会[J].合肥学院学报（自然科学版），2010，（04）：93-96.
[12]李福兴，莫庆美.数学分析教学德育渗透几个问题的思考[J].中国西部科技，2009，（26）：76-78.
A Brief Probe on "Mathematical Analysis" with Its Exercise Class
CHENG Ming-song，LI Zheng-xue
（School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian， Liaoning 116023，China）
Abstract：The exercise class of mathematical analysis plays an important role in teaching process.In this paper，we discuss three facts about mathematical analysis exercise class，which are logical teaching，instructional teaching and teaching with stimulated problems，hence we give a good search for the exercise class of mathematical analysis.
Key words：mathematical analysis；exercise class；teaching with stimulated problems
关键词：数学分析；习题课；问题驱动的教学方法
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）23-0177-02
《数学分析》是高等院校数学系学生必修的一门数学专业基础课，一般也是大一学生上大学后开始接触的最基础的高等数学。通过本门课程的教学，要使学生获得数学思想、数学的逻辑性、严密性方面的严格训练；掌握近代数学的方法、技巧，特别是通过大量的训练，具体掌握微分、积分的思想和方法，使学生获得数学基础知识和基本能力的强化训练，为后续课程的学习乃至今后毕生的工作奠定坚实的基础。但由于一上来学生就开始学习语言，学生普遍反映比较难。而数学分析习题课既是课堂教学的延伸和应用，又为学习新知识打下基础，起着承上启下、融会贯通的桥梁作用。因而数学分析习题课的教学就是这门课不可或缺的重要环节，它是理论与实践、知识与能力、教与学的结合部，可以帮助学生掌握证明问题的技巧，培养从分析问题到解决问题的逻辑思维能力和推理论证能力，提高分析问题和解决问题的能力。
尽管数学分析习题课有着十分重要的地位和作用，但在教学过程中还是存在着某些偏颇，如习题课上某些老師只是讲解例题，呈现出“老师讲，学生记”的情境；也有的老师教学方法、教学手段单一，没有从学生的角度思考，只是一味地演算习题，对学生的思维能力、创新能力培养不够。笔者在此不做过多的讨论，仅仅从以下面三个方面来浅谈一下数学分析习题课中应该注意的地方。
一是关于数学分析的逻辑性教学。数学分析这门课有着严密的逻辑体系，逻辑也是这门课最大的一个特点。因此上习题课时，不管是理论证明题还是计算题，都要提供严格的逻辑推理过程。这一特点尤其体现在刚入学时学习的证明极限的ε-N语言。由于极限的定义本身是有四句话组成，不像学生以前学过的其他定义那么浅显，因而学生初学时往往不容易理解透彻，用定义证明极限时也容易丢三落四。习题课上就要详细解说这种逻辑语言的妙处，它与通常说的当n充分大时，a■会充分靠近极限a有什么区别。有了极限ε-N的语言，我们才能描述清楚a■与a靠近到什么程度，才能在以后的证明过程中有效地进行逻辑推理。如讲解例题：设■a■=0，证明■■=0。如果不用ε-N语言，那怎么来描述■很靠近0呢？正是因为有了ε-N语言，我们才可以分段进行估计，先是找到正整数K使得n>K时，有|a■|<ε。在这样的条件下我们才能继续进行估计，从而可以找到满足极限定义的N。如果没有了ε-N语言，是很难从逻辑上让人信服的说明结论成立。
二是关于数学分析的指导性教学。在习题课上如果老师只是简单地讲解一些习题，罗列一些结果，对学生而言，学到的技巧就很少，收获不大。“授人以鱼不如授人以渔”，只有把学生的积极性调动起来，把学生的兴趣培养起来，把对这门课的宏观认识建立起来，才有可能实现我们想要的教学目标。这需要我们平时多指导学生培养这方面的一些技巧、方法以及思想。数学分析的习题往往不是一种解法，我们可以从不同的角度展示这些证明或计算的技巧，指导他们从这样的证明过程中真正掌握属于自己的证明手段。在讲解习题：证明函数项级数■■在（0，π）上不一致收敛。我们首先要引导学生思考有那些证明不一致收敛的手段，哪些或哪一个可能在这儿会起到关键的作用。经过引导，学生可能会想到用Cauchy收敛原理来证明不一致收敛，但怎么证明呢？我们首先将不一致收敛的Cauchy收敛原理写在黑板上：存在ε■=？，对任意的正整数N，存在正整数n=？（n>N），存在正整数p=？，以及区间（0，π）中的点x■=？能使得■■≥ε■。这里带问号的都是需要我们去找的，因此我们要进行不等式的放缩以期达到我们的目的。然后指导学生取x■要很小使得相加的每一项都是正数，这样放缩时不需要带着绝对值符号；当然这需要取适当的n，p以及x■，使得相加之后的和不会很小。这样的不等式放缩技巧有很多，答案也不是唯一的，因而通过这样的推理指导过程，可以使得学生迅速掌握Cauchy收敛原理以及用Cauchy收敛原理证明的思路。
三是数学分析中关于问题驱动的教学方式。传统的数学分析教学过于注重形式表达，学生经常“知其然而不知所以然”，如果用重大的、有广泛应用的、引人入胜的数学问题，把冷漠的、机械的、枯燥的数学分析理论，能转变为生动的、易懂的、丰富多彩的科学思想和应用实践，这样使学生既能了解这门科學从哪里来，也能知晓它往哪里去，从内心深处产生学习的兴趣、学好的愿望和勤学的动力。实际上，数学分析这门课中很多定理或者结论都具有很强的物理背景或者几何含义，很多情况下也有着很现实的应用。比如物理中的速度位移问题，就与导数以及积分有着密切的联系；光在不同的介质中传播会出现折射现象就与函数的最值问题有关；还有物理中的力的做功问题，流体力学中的各种问题等，都与微积分有着割舍不断的关系。比如在讲解习题：f（x）在[a，b]上连续递增，证明：■xf（x）dx≥■■xf（x）dx。一种证明思路是考虑变上限积分：F（x）=■tf（t）dt-■■f（t）dt，通过对F（x）的单调性进行研究得到结果。我们可以引导学生考虑速度与位移之间的关系，进而思考积分与导数之间的关系，从而可以完成证明。
数学分析习题课教学中其实有很多值得注意的地方，如怎样能提高学生的兴趣，引导学生积极参与课堂讨论或研究环节；怎样培养学生的创新能力，提高学生的思维训练能力等。如何充分的发挥习题课环节的积极作用，并与课堂教学环节环环相扣，不断提高数学分析课程的教学质量，是值得老师在今后的教学实践中不断探索和思考的一个课题。
参考文献：
[1]魏立明.数学分析习题课的现状与思考[J].贺州学院学报，2010，26（1）：106-108. [2]李忠.歷史的回顾：我国数学分析课内容体系的变迁[J].数学通报，2008，（47）：1-5.
[3]唐玲艳，何艳丽，王红霞，宋松和.数学分析习题课教学的几点体会[J].高等数学研究，2012，（15）：91-94.
[4]向昭银，黄廷祝.研究型教学融人数学分析习题课的教学原则[J].大学数学，2012，（28）：151-154.
[5]李玲.对习题课在高等数学教学中的重要性和实施策略的一些认识[J].黑龙江科技信息，2016，（12）：45.
[6]莫海平，韩超，王焕许，王洪珂.数学分析精品课程建设的研究与实践[J].绥化学院学报，2009，（02）：183-185.
[7]张晓宁，朱开永.应重视高等数学习题课教学方法的研究[J].煤炭高等教育，1998，（02）：70-71.
[8]张德生.上好习题课是提高教学质量重要环节[J].安庆师范学院学报（自然科学版），1996，（01）：79-81.
[9]张茵仙.教师如何发挥习题在教学中的作用[J].山西财政税务专科学校学报，1999，（04）：53-54.
[10]马鸿晓.由一道数学行程问题引发的思考——浅谈数学习题的功能[J].教育教學论坛，2014，（36）：89-91.
[11]姚玉武，牛欣.关于数学分析教学的几点体会[J].合肥学院学报（自然科学版），2010，（04）：93-96.
[12]李福兴，莫庆美.数学分析教学德育渗透几个问题的思考[J].中国西部科技，2009，（26）：76-78.
A Brief Probe on "Mathematical Analysis" with Its Exercise Class
CHENG Ming-song，LI Zheng-xue
（School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian， Liaoning 116023，China）
Abstract：The exercise class of mathematical analysis plays an important role in teaching process.In this paper，we discuss three facts about mathematical analysis exercise class，which are logical teaching，instructional teaching and teaching with stimulated problems，hence we give a good search for the exercise class of mathematical analysis.
Key words：mathematical analysis；exercise class；teaching with stimulated problems