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就数学教学而言，学生进入深度学习的程度决定着一节课教学质量的高低。那么，如何判断学生是否进入深度学习了呢？关键要看学生的思维程度如何，即教师在推进课堂教学过程中，能否引发学生不断地思考富有思辨性和挑战性的问题，不断唤醒学生的数学直觉和高阶思维，能够洞察、理解和深化对事物本质属性的建构。本文以“乘法的初步认识”教学为例，说明教师在数学课堂教学中促进学生深度学习的具体做法。
一、激活经验，深度进入学习状态
学生的数学经验包括生活常识性认知经验和学理性数学经验。如果教师能够有序地激活和利用学生已有的数学经验，学生就容易主动参与学习活动，并在学习活动中逐渐进入深度学习状态。因此，教师需要根据每一节课的学习内容，恰当地选择数学素材，利用素材激活学生已有的数学经验，引导学生进入深度学习状态。在“乘法的初步认识”中，乘法是特殊加法形式的简洁表达式，其认知基础是加法，因此，教师在教学时要激活学生的加法认知经验，在操作活动中引导学生进入深度学习状态。
首先，请学生用算式表示下列图中事物的总数量，只写算式，不用计算结果。
（1）实物图——月饼
有的学生写加法算式2+2+2，有的学生写乘法算式2×3或3×2。
（2）基本图形——三角形
一部分学生列出的算式是3+3+3+3，一部分学生列出的算式是4×3或3×4。
（3）抽象图形——条形线段图
有的学生写的算式是6+6，有的学生写的算式是6×2或2×6。
（4）图形数字——扑克牌点数
有学生列出的算式是5×6或6×5，有学生列出的算式是5+5+5+5+5+5。
从学生列出的算式可知，他们能够用不同的方法计算事物的总数量。教学伊始，教师以情境导入教学，通过低起点高参与的方式调动学生学习的积极性。在该教学环节中，教师呈现实物、图形、线段、点数四种不同的素材，让学生列出算式，将学习重心放在算式所表示的意义上，这是一种从“图”到“式”的理解过程，符合学生的认知规律。从加法算式过渡到乘法算式，教师要先激活学生已有的数学经验，让学生初步感知加法與乘法的关系，再慢慢理解乘法算式的意义，促使学生逐渐进入深度学习状态。
二、问题驱动，深度洞察意义本质
我们在教学时经常思考一个问题：如何在课堂单位时间里给予学生更多的思维空间，促进学生的深度学习？笔者认为，问题驱动是促进学生深度学习的关键要素之一，因为好的问题能够激活学生的思维，引发思维走向深入，从而洞察事物的本质属性。一般来说，教师可以用头脑风暴性问题、对比性问题、总结性问题等促使学生进行深度思考。
教学“乘法的初步认识”时，教师可以这样做：首先，直面问题，洞察意义属性。教师板书学生列出的算式（如图1），观察发现，大多数学生能够想到用加法算式计算，有部分学生想到用乘法算式计算，这时可以提问学生：乘法算式2×3中的“2”表示的意义能够从加法算式或图中看出来（如图2），但是“3”表示什么呢？
有的学生认为，“3”表示加法算式2+2+2中有3个2;有的学生认为，“3”是把月饼图中的每2个月饼看成1份，一共有这样的3份。月饼图中没有出现“3”，但是学生通过观察、思考发现，图中有3个2，加法算式中也有3个2，从而明白“3”所表示的意义。其次，合作交流，表达意义本质。当学生知道了乘法算式2×3中“2”和“3”分别代表什么意义之后，教师可以要求学生之间互相说一说余下3组图中乘法算式中的两个乘数分别表示什么，让学生在交流讨论中深入理解乘法的意义。
加法是学生学习乘法的基础，当学生用加法算式和乘法算式解决求和问题时，教师利用问题驱动的方式引发学生的思考，这其实就是一个对比性问题。学生通过思考问题，思维指向加法算式与情境图，直觉洞察“3”所表示的含义，而这个洞察与思考的过程就是学生深度学习的过程。
三、沟通求联，深度感知意义本质
教学中有这样一个现象，学习单一性知识时，学生比较容易接受和储存知识，做练习的准确率也很高，但是将同一模块多个知识点进行混合叠加之后，学生记忆知识和做题的准确率就会降低，并且出现对类似“模块”问题无从入手的现象，难以做到利用“已知点”的策略去解决相似“模块链”的问题。数学学习是一个不断唤起学生已有知识经验，完善知识网络，优化认知结构，深化思维层级的过程。如果学生在数学学习过程中经常经历认知求联过程，就容易趋向数学学习的意义建构，而求联建构的过程就是学习思考力进入深度思考的过程。
在数学学习中实现沟通求联，需要将数与形相结合，在沟通中感知数学意义本质。在“乘法的初步认识”一课中，当学生理解了乘数所表示的意义之后，教师可以请学生说一说“图—式—数”之间的关系，将数与形结合起来感知乘法的意义（如图3）。
将图形与算式相结合，学生会发现，无论是实物图还是加法算式，相应的乘法算式都可以表示成几个相同加数的和，都可以写成“几个几”的形式。加法算式与乘法算式之间存在什么样的联系呢？对此，学生们认为，乘法算式里的其中一个乘数就是加法算式中的加数，而另一个乘数就是加法算式中有几个这样的加数。也就是说，乘法算式中的两个乘数：一个乘数表示的意义能够直接看出来，另一个乘数需要通过数一数的方式得出来，因此，可以将其写成：□×□，即看出来的数×数出来的数（如图4）。
教师引导学生进行观察、比较、分析、讨论，将乘法算式的意义与加法算式、实物图联系起来，有利于学生理解乘法算式的本质意义。学生在指一指、说一说等数学活动中，实现了从“图”到“式”的转换，从“式”到“意义属性”的理解，顺利地沟通了三者之间的联系，并在操作中体会到乘法的意义本质，即“基本量×算子”，其中，“基本量”是指实物数量或图形中事物的数量，“算子”是指能够数出有几个这样的基本量。 四、实践运用，深度理解意义本质
英国数学教育家理查德·斯根普认为：“对某个事物或意义本质的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中。”理解建立在感知的基础之上，通过数学思维加工，把新知同化到已有的认知结构中，或者通过实践运用改组扩大原有的认知结构，把新知概括进去而逐步达到认识事物的本质和规律的一种高阶思维活动。在这个高阶思维认知活动中，教师有必要让学生通过实践运用，实现对数学意义本质的理解。
教学“乘法的初步认识”时，为提高实践运用的效度，教师可以通过让学生做练习的方式深入理解其意义本质。首先，巩固训练，强化意义理解。先给学生出示题目①7+7+7+7+7，②4+4+4+4，③9+9+9+9+9+9，要求学生将加法算式改写成乘法算式。其次，拓展提升，深化意义理解。学生写出乘法算式后，教师进行适当拓展。比如：6个9相加可以用6×9或9×6表示，如果再增加一个9，要如何表示？以此类推。最后，让学生观察乘法算式，说一说有什么发现？通过观察，有的学生发现，几个9相加可以写成9×□;有的学生发现，加法算式越来越长，乘法算式还是两个数相乘;有的学生发现，乘法算式中“9”固定不变，另一个乘数则会发生变化……总结概括可知：乘法是加法的简便运算，无论几个9相加，都可以写成9×□，表示几个9相乘。
在“乘法的初步认识”教学中，教师利用数字“9”这一素材，在加法算式中不斷增加“9”的个数，学生便能写出相应的乘法算式，这是加法与乘法的整体呈现过程，对此，学生能够直观感知，并且体会到乘法的简便性以及数学“变与不变”的辩证关系，即基本量“9”不变，变的是算子中“9”的个数，再一次强化了乘法的基本模型：基本量×算子。随着“9”的个数不断增加，学生对乘法意义的建构将会层层深入，深度学习的目的也就达成了。
五、变式跟进，深度内化数学模型
马登变异理论提出学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识。因此，教师应当通过变异维度的扩展引导学生认识对象的多个方面。变式练习就是通过一定的练习变式构成一个变异学习空间。在教学中，教师要善于引导学生辨别学习对象的关键方面，寻找问题解决的本质要素，深化对意义本质的理解，建构数学模型，一般可以通过适当的变式练习，为学生的思维提供“支架”，而这个“支架”就是引导学生思维走向深入的阶梯。
以深入内化乘法算式4×5数学模型为例，教师可以先出示题目：你能用喜欢的方式表示4×5的意思吗？然后请学生在作业本上画一画、写一写。
首先，让学生选一选：下列A、B、C中哪些选项能用4×5来表示？
对于基础性习题A，可以让学生口头回答;对于变式题目B，可以要求学生表示成4个5或5个4，方法可以多样化;对于移多补少的题目C，需要把不同的加数变成相同的加数。
数学练习对于巩固所学知识很有必要。通过变式训练，学生可以更好地理解概念的本质属性，完善数学模型。比如，乘法算式4×5不仅可以表示成5个4相加，还可以表示成4个5相加。题目C的变式会引起学生的认知冲突，即加数不相同时可以用乘法算式表示吗？此时，学生就会在辨析过程中理解乘法的意义本质，通过移多补少的方式把它转化为相同的加数，即求几个相同加数的和，然后转化为乘法算式。将不可能转化为可能，体现了数学辩证统一的关系，同时也说明学习是一个不断螺旋上升的过程。这样的练习有助于提升学生的思维品质，深入理解数学模型。
数学教学如何实现学生的深度学习？关键在于学生思考的深度。教学中，教师要让学生不断地接受富有理性问题的思辨与挑战，从深度进入学习状态开始，利用关联、实践运用等方法，逐步引导学生进入深度思考，深化对数学意义本质属性的建构，实现深度学习的目的。
（责编 欧孔群）
一、激活经验，深度进入学习状态
学生的数学经验包括生活常识性认知经验和学理性数学经验。如果教师能够有序地激活和利用学生已有的数学经验，学生就容易主动参与学习活动，并在学习活动中逐渐进入深度学习状态。因此，教师需要根据每一节课的学习内容，恰当地选择数学素材，利用素材激活学生已有的数学经验，引导学生进入深度学习状态。在“乘法的初步认识”中，乘法是特殊加法形式的简洁表达式，其认知基础是加法，因此，教师在教学时要激活学生的加法认知经验，在操作活动中引导学生进入深度学习状态。
首先，请学生用算式表示下列图中事物的总数量，只写算式，不用计算结果。
（1）实物图——月饼
有的学生写加法算式2+2+2，有的学生写乘法算式2×3或3×2。
（2）基本图形——三角形
一部分学生列出的算式是3+3+3+3，一部分学生列出的算式是4×3或3×4。
（3）抽象图形——条形线段图
有的学生写的算式是6+6，有的学生写的算式是6×2或2×6。
（4）图形数字——扑克牌点数
有学生列出的算式是5×6或6×5，有学生列出的算式是5+5+5+5+5+5。
从学生列出的算式可知，他们能够用不同的方法计算事物的总数量。教学伊始，教师以情境导入教学，通过低起点高参与的方式调动学生学习的积极性。在该教学环节中，教师呈现实物、图形、线段、点数四种不同的素材，让学生列出算式，将学习重心放在算式所表示的意义上，这是一种从“图”到“式”的理解过程，符合学生的认知规律。从加法算式过渡到乘法算式，教师要先激活学生已有的数学经验，让学生初步感知加法與乘法的关系，再慢慢理解乘法算式的意义，促使学生逐渐进入深度学习状态。
二、问题驱动，深度洞察意义本质
我们在教学时经常思考一个问题：如何在课堂单位时间里给予学生更多的思维空间，促进学生的深度学习？笔者认为，问题驱动是促进学生深度学习的关键要素之一，因为好的问题能够激活学生的思维，引发思维走向深入，从而洞察事物的本质属性。一般来说，教师可以用头脑风暴性问题、对比性问题、总结性问题等促使学生进行深度思考。
教学“乘法的初步认识”时，教师可以这样做：首先，直面问题，洞察意义属性。教师板书学生列出的算式（如图1），观察发现，大多数学生能够想到用加法算式计算，有部分学生想到用乘法算式计算，这时可以提问学生：乘法算式2×3中的“2”表示的意义能够从加法算式或图中看出来（如图2），但是“3”表示什么呢？
有的学生认为，“3”表示加法算式2+2+2中有3个2;有的学生认为，“3”是把月饼图中的每2个月饼看成1份，一共有这样的3份。月饼图中没有出现“3”，但是学生通过观察、思考发现，图中有3个2，加法算式中也有3个2，从而明白“3”所表示的意义。其次，合作交流，表达意义本质。当学生知道了乘法算式2×3中“2”和“3”分别代表什么意义之后，教师可以要求学生之间互相说一说余下3组图中乘法算式中的两个乘数分别表示什么，让学生在交流讨论中深入理解乘法的意义。
加法是学生学习乘法的基础，当学生用加法算式和乘法算式解决求和问题时，教师利用问题驱动的方式引发学生的思考，这其实就是一个对比性问题。学生通过思考问题，思维指向加法算式与情境图，直觉洞察“3”所表示的含义，而这个洞察与思考的过程就是学生深度学习的过程。
三、沟通求联，深度感知意义本质
教学中有这样一个现象，学习单一性知识时，学生比较容易接受和储存知识，做练习的准确率也很高，但是将同一模块多个知识点进行混合叠加之后，学生记忆知识和做题的准确率就会降低，并且出现对类似“模块”问题无从入手的现象，难以做到利用“已知点”的策略去解决相似“模块链”的问题。数学学习是一个不断唤起学生已有知识经验，完善知识网络，优化认知结构，深化思维层级的过程。如果学生在数学学习过程中经常经历认知求联过程，就容易趋向数学学习的意义建构，而求联建构的过程就是学习思考力进入深度思考的过程。
在数学学习中实现沟通求联，需要将数与形相结合，在沟通中感知数学意义本质。在“乘法的初步认识”一课中，当学生理解了乘数所表示的意义之后，教师可以请学生说一说“图—式—数”之间的关系，将数与形结合起来感知乘法的意义（如图3）。
将图形与算式相结合，学生会发现，无论是实物图还是加法算式，相应的乘法算式都可以表示成几个相同加数的和，都可以写成“几个几”的形式。加法算式与乘法算式之间存在什么样的联系呢？对此，学生们认为，乘法算式里的其中一个乘数就是加法算式中的加数，而另一个乘数就是加法算式中有几个这样的加数。也就是说，乘法算式中的两个乘数：一个乘数表示的意义能够直接看出来，另一个乘数需要通过数一数的方式得出来，因此，可以将其写成：□×□，即看出来的数×数出来的数（如图4）。
教师引导学生进行观察、比较、分析、讨论，将乘法算式的意义与加法算式、实物图联系起来，有利于学生理解乘法算式的本质意义。学生在指一指、说一说等数学活动中，实现了从“图”到“式”的转换，从“式”到“意义属性”的理解，顺利地沟通了三者之间的联系，并在操作中体会到乘法的意义本质，即“基本量×算子”，其中，“基本量”是指实物数量或图形中事物的数量，“算子”是指能够数出有几个这样的基本量。 四、实践运用，深度理解意义本质
英国数学教育家理查德·斯根普认为：“对某个事物或意义本质的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中。”理解建立在感知的基础之上，通过数学思维加工，把新知同化到已有的认知结构中，或者通过实践运用改组扩大原有的认知结构，把新知概括进去而逐步达到认识事物的本质和规律的一种高阶思维活动。在这个高阶思维认知活动中，教师有必要让学生通过实践运用，实现对数学意义本质的理解。
教学“乘法的初步认识”时，为提高实践运用的效度，教师可以通过让学生做练习的方式深入理解其意义本质。首先，巩固训练，强化意义理解。先给学生出示题目①7+7+7+7+7，②4+4+4+4，③9+9+9+9+9+9，要求学生将加法算式改写成乘法算式。其次，拓展提升，深化意义理解。学生写出乘法算式后，教师进行适当拓展。比如：6个9相加可以用6×9或9×6表示，如果再增加一个9，要如何表示？以此类推。最后，让学生观察乘法算式，说一说有什么发现？通过观察，有的学生发现，几个9相加可以写成9×□;有的学生发现，加法算式越来越长，乘法算式还是两个数相乘;有的学生发现，乘法算式中“9”固定不变，另一个乘数则会发生变化……总结概括可知：乘法是加法的简便运算，无论几个9相加，都可以写成9×□，表示几个9相乘。
在“乘法的初步认识”教学中，教师利用数字“9”这一素材，在加法算式中不斷增加“9”的个数，学生便能写出相应的乘法算式，这是加法与乘法的整体呈现过程，对此，学生能够直观感知，并且体会到乘法的简便性以及数学“变与不变”的辩证关系，即基本量“9”不变，变的是算子中“9”的个数，再一次强化了乘法的基本模型：基本量×算子。随着“9”的个数不断增加，学生对乘法意义的建构将会层层深入，深度学习的目的也就达成了。
五、变式跟进，深度内化数学模型
马登变异理论提出学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识。因此，教师应当通过变异维度的扩展引导学生认识对象的多个方面。变式练习就是通过一定的练习变式构成一个变异学习空间。在教学中，教师要善于引导学生辨别学习对象的关键方面，寻找问题解决的本质要素，深化对意义本质的理解，建构数学模型，一般可以通过适当的变式练习，为学生的思维提供“支架”，而这个“支架”就是引导学生思维走向深入的阶梯。
以深入内化乘法算式4×5数学模型为例，教师可以先出示题目：你能用喜欢的方式表示4×5的意思吗？然后请学生在作业本上画一画、写一写。
首先，让学生选一选：下列A、B、C中哪些选项能用4×5来表示？
对于基础性习题A，可以让学生口头回答;对于变式题目B，可以要求学生表示成4个5或5个4，方法可以多样化;对于移多补少的题目C，需要把不同的加数变成相同的加数。
数学练习对于巩固所学知识很有必要。通过变式训练，学生可以更好地理解概念的本质属性，完善数学模型。比如，乘法算式4×5不仅可以表示成5个4相加，还可以表示成4个5相加。题目C的变式会引起学生的认知冲突，即加数不相同时可以用乘法算式表示吗？此时，学生就会在辨析过程中理解乘法的意义本质，通过移多补少的方式把它转化为相同的加数，即求几个相同加数的和，然后转化为乘法算式。将不可能转化为可能，体现了数学辩证统一的关系，同时也说明学习是一个不断螺旋上升的过程。这样的练习有助于提升学生的思维品质，深入理解数学模型。
数学教学如何实现学生的深度学习？关键在于学生思考的深度。教学中，教师要让学生不断地接受富有理性问题的思辨与挑战，从深度进入学习状态开始，利用关联、实践运用等方法，逐步引导学生进入深度思考，深化对数学意义本质属性的建构，实现深度学习的目的。
（责编 欧孔群）