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一、问题提出
在一年级第一学期的期末测试中，有一道图式应用题的错误率比较高，题目见下图。
统计发现，除了7班的一个学生用加法4 5=9列式外，其余错误的学生都列式为9-4 = 5，错误率达到23.6%。
为什么该题的错误那么一致，且错误率又那么高呢？对此，笔者从“教材、做错的学生、教师”三个方面入手进行了调查分析。
二、调查经过
（一）对教材的调查
1.调查形式
采用访谈及资料查阅的形式。
2.调查内容
（1）有关应用问题的分类及表征形式。
此试题属于半图半文式的表示部总关系的减法应用问题。
关于部总关系的应用问题，有两种常规的表达方式，一种是已知总数及拿去一部分，求剩余的，问题中带有“还有”“还剩”等典型的词语，这类应用题（下文简称此类型应用问题为“去掉模式”）一般在一上教材中出现（注：本文中提到的教材为2001年初审通过的人民教育出版社出版的小学数学教材，下文简称“旧人教版”），如“教室里有10个同学，走出去了6个，还剩几个？”另一种是把总数分成两部分，已知其中一部分，求另一部分，问题中不出现“还有”“还剩”等典型的词语，这类应用题一般在一下教材中出现，如“教室里有10个同学，6个是男孩，几个是女孩？”此试题属于去掉模式的变异形式。
（2）教材出题统计。
人教版数学一年级上册中出现的减法应用问题均为全图或半图半文应用问题，一共出现了29题，其中只有1题可以理解为静态的过程，即“一共有8只鸭子，河里有3只，岸上有几只？”（见图1）其余的均可理解为动态的过程，即在表达题意时很明显地可用上“跳走、拿去、摘了……”表示动态的词语，都属于“已知总数和去掉的一部分，求剩余的” “去掉模式”这一类型（如图2、图3）。
图1 图2 图3
但类似于 “已知总数和剩余的，求去掉部分”这一类型的题在教材中的出现率为0%。在配套的作业本中，这一类型的题的出现率也为0%。
（二）对学生的访谈
1.对学生进行再测试
因为典型错题是在第一学期期末测试中发现的，对学生的访谈需在第二学期开学初完成，中间相隔近30天。考虑到期间教师对期末试卷进行了讲评，或学生受家长及他人辅导，对了解学生当时解题时的真实想法有所影响，因此，在开学第一天，笔者又对全年级的365名学生进行了一次针对性的测试，试题如下：
测试结果：第2、3题的错误很不统一，主要是算错或数错，错误率分别为8.8%与3.6%。
第1、4题的错误率明显高于第2、3题，而且错误较为统一。如第1题，主要错误是列式为10-7=3，该错误率达到25.5% 。第4题，主要错误是列式为9-5=4，该错误率达到21.9%。
2.对学生进行访谈
那么，学生究竟是怎么思考的呢？笔者对期末测试与这次测试中第1、4题都错误的学生（共36名）进行了访谈，考虑到学生的答卷会影响学生的回答，教师出示的均为空白题。
访谈内容主要为图4至图7，有的学生只回答1幅图，有的学生根据需要回答2到4幅图。
图4
图5
图6
图7
教师提问以下几个问题：①这一题怎么做？②请说说这幅图的意思。③问题是什么？④为什么这样列式？⑤可不可以列式为9-4=5？为什么？视学生回答情况，教师可将问题的顺序进行适当的调整。
访谈过程如下：
（1） 是否自觉地先说图意。（注：共访谈错误学生36名，其中教师让2名学生直接先说图意，因此不计入表内）
Ⅰ：表示解答时能主动地先说图意。
Ⅱ：表示解答时就直接列式。
（2）题意表达情况统计。
A：表示题意表达完全正确。
B：表示题意表达基本正确，但不流利、不完整。
C：表示题意表达错误。
D：表示不会表达题意。
（3）对C类题意表达错误的学生进行再分类统计。
a：表示一开始理解为图1中的4只蝴蝶即飞走的只数或图2中的5个汉堡即吃了的个数。
b：表示其他。
c：表示没回答。
（4）列式正误人数统计。
（5） 题意表达与列式是否正确的统计。
A1：题意表达正确列式正确的。
B1：题意表达正确列式错误的。
C1：题意表达错误列式正确的。
D1：题意表达错误列式错误的。
E1：不会表达题意，列式正确的。
（注：B1类的11名学生题意都理解正确，但算式中的减数都表示为吃了的数或飞走的数；C1类的17名学生都把题意理解成“一共有9只蝴蝶，飞走了4只，还剩几只”或“一共有9个汉堡，吃了5个还剩几个”）
（6）对30名学生确定减数的原因进行统计。（有6名学生访谈时没有涉及这个问题）
a1：表示减去的数为飞走的或吃了的。
b1：表示 9-5或9-4都可以。
c1：表示说不清理由的。
d1：表示理由正确，要减去已知的。
3.访谈结果
（1）只有44.1%的学生看到题后先主动表达题意，总的来说，学生主动表达题意的意识不够强。
（2）有50%的学生在表达题意时习惯套用“去掉模式”，即不区别图中的已知与未知部分，统一表达成“已知总数与去掉部分，求剩余部分”这样的格式。
（3）有80%的学生认为不管“去掉部分”是否已知，在列减法时，减数必须表示“去掉部分”。 （三）对教师的问卷调查
为了了解教师对该类应用问题的教学情况，特对全校数学教师进行了问卷调查。
1.需教师回答的问题
（1）关于下面的例题（一年级上册），您将如何引导学生思考解答？（写出主要的思考步骤即可）
（2）您还会出哪些相关的练习题？（至少出两题）
2.答卷统计
（1）从第1题的答卷情况看，有25位教师都要求学生先看图，说图意，占96.2%。主要可分三种情况：
第一种，教师提问：“14只是什么意思？在图中飞的2只是什么意思？要我们求什么？”共有9人，占34.6%。
第二种，教师引导：“从图中你知道了什么？问题是什么？用三句话连起来说说图意（即口头形成文字应用问题）。”共有7人，占26.9%。
第三种，教师引导：“请用三句话说出这幅图的意思。”共有2人，占7.7%。
第四种，教师引导：“请用三句话说出这幅图的意思。题中哪两个是条件，哪一个是问题？” 共有7人，占28%。
（2）从第2题的调查情况看，有24名教师编的都是求“已知总数和去掉部分，求剩余部分”或“已知总数与一部分，求另一部分”的题，只有2名教师编出了“已知总数和剩余部分，求去掉的”习题，仅占7.7%。
3.调查结果
（1）对于新教材的教学，教师往往由于缺少主流的教学方法的引导，各自为战，结果参差不齐，对于什么该教、教到何种程度，大家认识不一。
（2）整个教学设计 缺少检验的环节。调查发现，多数教师都存在着这样一种陈旧的观念：一年级解决问题不用写“答”，到二年级了，才要求学生在算式的得数后写上单位名称，才要求学生在计算后写上答案，如“答：吃了4个”。这样的认识是因为教师把写答看成了一种形式，并没有理解这种做法的真正意义。他们可能不知道在一年级不要求写“答”，是因为学生的书写能力达不到，而非不用检查。
（3）通过编习题可以发现，教师改编教材的能力较弱。因此，在调查中一些一年级的教师常常埋怨此题超出了教学范围，也就不足为怪了。
三、归因分析
综合以上教材、学生、教师三方面的调查，笔者认为，该题的主要错因是学生的思维受到了“去掉模式”的影响，教材编的题是“去掉模式”的，教师出的练习是“去掉模式”的，而学生的思维也是“去掉模式”的。众所周知，一年级学生的学习主要依赖于生活经验，该经验就是只有“去掉”、才有“剩下”，这是存在于他们脑海中的事情发生的经过，在他们上幼儿园甚至更早，大人就利用这个经验向他们渗透了减法的第一个意义。而此年龄段的学生的思维是以顺向思维为主的，在他们的记忆中，“总数-去掉的=剩余的”的数量关系是如此熟悉，以至于对它绝对信任。
四、干预策略
（一）确定教学方法，帮助学生掌握问题解决的方法建模
图8
对于如何引导学生看图、说图、理解题意，教师可是“八仙过海，各显神通”。缺少了主流的教学方法，这给学生的解题方法的建模带来了一定的困难。而人教版教材（2012年版）对问题解决这一类知识提出了比较规范的要求。如图8，在步骤方面，通过“你知道了什么”“怎样解答”“解答正确吗”加以引导；在图意表达上，教材用类似“左边□只，右边□只，一共有几只”等语句填空的形式来帮助学生形成 “两个条件和一个问题”的规范的基本表达形式；在方法上，用类似“求一共有几只，要把两部分合起来，怎样计算”的语言加以提示。使学生对集合圈的图式有个整体的感知，将两部分合起来是加法的运算意义，告之学生基本的数量关系。教材这样对解决问题的步骤、图意表达及方法有了较明确的提示，使教师教有所依、学生学有所依。
（二）借助情境，促进学生自主建构问题模型
从对学生访谈得到的数据中可以看到：由于学生的思维尚处在“前运算阶段”，对于问题情境有特别的敏感性与依存性，所以展示合适的且丰富的问题情境，有利于学生对问题的解决。但同时发现，仅是通过对具体情境的感知，不利于学生对问题数量关系的识别，需要通过教学进行对比分析，才能帮助学生认清问题的实质。这从更深层次上看，教师在提供问题情境、帮助学生理解问题本质的同时，更应帮助学生摒弃具体描述（如那个量是指“剩下的”之类），从更一般意思上理解总数与部分数之间的关系，即促进学生自主建构问题模型。
（三）增强学生主动反思的能力
在对教师的调查中，笔者发现，教师在解题步骤设计中缺少检验的环节。有些学生会看图，会表达图意，会列式，但却无法做到图—文—式之间的一一对应。对此，笔者认为，可以用口答进行弥补。刚开始，笔者是用师生分角色方法进行互答。在列式解答后，笔者问：吃了几个？生答：吃了4个。然后让学生检查算式中的4是否为得数，以增强图—文—式之间的联系。如果这是笔者的一点不成熟的做法，那么庆幸的是人教版教材（2012年版）在解题步骤的最后一步中有了更明确的提示：我的答案正确吗？这个提示对教师来说，不仅培养了学生的检验习惯，更是唤起学生对整个思考过程的回忆，包括“还有没有其他的方法？在这些解题的过程中，最大的困难是什么？错了后，我是如何改正的？为什么这么改？……”看似简单的一句话，却能引导学生进行反思。
（四）增强教师改编教材的能力
笔者认为，改编教材应遵循为同一教学目标服务的原则，不能随意拔高教学目标。编制不同的练习题，是以增强学生的学习兴趣、提高他们的思维灵活性为目的的。通过调查可以发现，学生之所以严重受“去掉模式”的影响，是因为这类题“换汤不换药”，重复、机械的练习过多而导致的。通过翻阅2012年版第一册教材，对于类似图9的应用问题较旧教材有了增加，但笔者很遗憾地发现，类似于图10的应用问题，教材中还是没有出现，因此，需要教师在教学中灵活地进行补充，做到一题多改，多练不如精练，以增强习题间的变异性与对比性。
图9
图10
图11
很高兴地看到，在调查问卷中，有一位教师直接在例题上改变问题，把问号移到别的地方，进行了对比练习，如图11。
当然，对于不同的学生，他们的接受能力是不同的，有的学生的逆向思维能力比较差，要求他们将互逆的量之间进行相互转换，更是难上加难。因此，教师在教学中需要反思，更需要静心等待。
（浙江省诸暨市实验小学教育集团 311811）
在一年级第一学期的期末测试中，有一道图式应用题的错误率比较高，题目见下图。
统计发现，除了7班的一个学生用加法4 5=9列式外，其余错误的学生都列式为9-4 = 5，错误率达到23.6%。
为什么该题的错误那么一致，且错误率又那么高呢？对此，笔者从“教材、做错的学生、教师”三个方面入手进行了调查分析。
二、调查经过
（一）对教材的调查
1.调查形式
采用访谈及资料查阅的形式。
2.调查内容
（1）有关应用问题的分类及表征形式。
此试题属于半图半文式的表示部总关系的减法应用问题。
关于部总关系的应用问题，有两种常规的表达方式，一种是已知总数及拿去一部分，求剩余的，问题中带有“还有”“还剩”等典型的词语，这类应用题（下文简称此类型应用问题为“去掉模式”）一般在一上教材中出现（注：本文中提到的教材为2001年初审通过的人民教育出版社出版的小学数学教材，下文简称“旧人教版”），如“教室里有10个同学，走出去了6个，还剩几个？”另一种是把总数分成两部分，已知其中一部分，求另一部分，问题中不出现“还有”“还剩”等典型的词语，这类应用题一般在一下教材中出现，如“教室里有10个同学，6个是男孩，几个是女孩？”此试题属于去掉模式的变异形式。
（2）教材出题统计。
人教版数学一年级上册中出现的减法应用问题均为全图或半图半文应用问题，一共出现了29题，其中只有1题可以理解为静态的过程，即“一共有8只鸭子，河里有3只，岸上有几只？”（见图1）其余的均可理解为动态的过程，即在表达题意时很明显地可用上“跳走、拿去、摘了……”表示动态的词语，都属于“已知总数和去掉的一部分，求剩余的” “去掉模式”这一类型（如图2、图3）。
图1 图2 图3
但类似于 “已知总数和剩余的，求去掉部分”这一类型的题在教材中的出现率为0%。在配套的作业本中，这一类型的题的出现率也为0%。
（二）对学生的访谈
1.对学生进行再测试
因为典型错题是在第一学期期末测试中发现的，对学生的访谈需在第二学期开学初完成，中间相隔近30天。考虑到期间教师对期末试卷进行了讲评，或学生受家长及他人辅导，对了解学生当时解题时的真实想法有所影响，因此，在开学第一天，笔者又对全年级的365名学生进行了一次针对性的测试，试题如下：
测试结果：第2、3题的错误很不统一，主要是算错或数错，错误率分别为8.8%与3.6%。
第1、4题的错误率明显高于第2、3题，而且错误较为统一。如第1题，主要错误是列式为10-7=3，该错误率达到25.5% 。第4题，主要错误是列式为9-5=4，该错误率达到21.9%。
2.对学生进行访谈
那么，学生究竟是怎么思考的呢？笔者对期末测试与这次测试中第1、4题都错误的学生（共36名）进行了访谈，考虑到学生的答卷会影响学生的回答，教师出示的均为空白题。
访谈内容主要为图4至图7，有的学生只回答1幅图，有的学生根据需要回答2到4幅图。
图4
图5
图6
图7
教师提问以下几个问题：①这一题怎么做？②请说说这幅图的意思。③问题是什么？④为什么这样列式？⑤可不可以列式为9-4=5？为什么？视学生回答情况，教师可将问题的顺序进行适当的调整。
访谈过程如下：
（1） 是否自觉地先说图意。（注：共访谈错误学生36名，其中教师让2名学生直接先说图意，因此不计入表内）
Ⅰ：表示解答时能主动地先说图意。
Ⅱ：表示解答时就直接列式。
（2）题意表达情况统计。
A：表示题意表达完全正确。
B：表示题意表达基本正确，但不流利、不完整。
C：表示题意表达错误。
D：表示不会表达题意。
（3）对C类题意表达错误的学生进行再分类统计。
a：表示一开始理解为图1中的4只蝴蝶即飞走的只数或图2中的5个汉堡即吃了的个数。
b：表示其他。
c：表示没回答。
（4）列式正误人数统计。
（5） 题意表达与列式是否正确的统计。
A1：题意表达正确列式正确的。
B1：题意表达正确列式错误的。
C1：题意表达错误列式正确的。
D1：题意表达错误列式错误的。
E1：不会表达题意，列式正确的。
（注：B1类的11名学生题意都理解正确，但算式中的减数都表示为吃了的数或飞走的数；C1类的17名学生都把题意理解成“一共有9只蝴蝶，飞走了4只，还剩几只”或“一共有9个汉堡，吃了5个还剩几个”）
（6）对30名学生确定减数的原因进行统计。（有6名学生访谈时没有涉及这个问题）
a1：表示减去的数为飞走的或吃了的。
b1：表示 9-5或9-4都可以。
c1：表示说不清理由的。
d1：表示理由正确，要减去已知的。
3.访谈结果
（1）只有44.1%的学生看到题后先主动表达题意，总的来说，学生主动表达题意的意识不够强。
（2）有50%的学生在表达题意时习惯套用“去掉模式”，即不区别图中的已知与未知部分，统一表达成“已知总数与去掉部分，求剩余部分”这样的格式。
（3）有80%的学生认为不管“去掉部分”是否已知，在列减法时，减数必须表示“去掉部分”。 （三）对教师的问卷调查
为了了解教师对该类应用问题的教学情况，特对全校数学教师进行了问卷调查。
1.需教师回答的问题
（1）关于下面的例题（一年级上册），您将如何引导学生思考解答？（写出主要的思考步骤即可）
（2）您还会出哪些相关的练习题？（至少出两题）
2.答卷统计
（1）从第1题的答卷情况看，有25位教师都要求学生先看图，说图意，占96.2%。主要可分三种情况：
第一种，教师提问：“14只是什么意思？在图中飞的2只是什么意思？要我们求什么？”共有9人，占34.6%。
第二种，教师引导：“从图中你知道了什么？问题是什么？用三句话连起来说说图意（即口头形成文字应用问题）。”共有7人，占26.9%。
第三种，教师引导：“请用三句话说出这幅图的意思。”共有2人，占7.7%。
第四种，教师引导：“请用三句话说出这幅图的意思。题中哪两个是条件，哪一个是问题？” 共有7人，占28%。
（2）从第2题的调查情况看，有24名教师编的都是求“已知总数和去掉部分，求剩余部分”或“已知总数与一部分，求另一部分”的题，只有2名教师编出了“已知总数和剩余部分，求去掉的”习题，仅占7.7%。
3.调查结果
（1）对于新教材的教学，教师往往由于缺少主流的教学方法的引导，各自为战，结果参差不齐，对于什么该教、教到何种程度，大家认识不一。
（2）整个教学设计 缺少检验的环节。调查发现，多数教师都存在着这样一种陈旧的观念：一年级解决问题不用写“答”，到二年级了，才要求学生在算式的得数后写上单位名称，才要求学生在计算后写上答案，如“答：吃了4个”。这样的认识是因为教师把写答看成了一种形式，并没有理解这种做法的真正意义。他们可能不知道在一年级不要求写“答”，是因为学生的书写能力达不到，而非不用检查。
（3）通过编习题可以发现，教师改编教材的能力较弱。因此，在调查中一些一年级的教师常常埋怨此题超出了教学范围，也就不足为怪了。
三、归因分析
综合以上教材、学生、教师三方面的调查，笔者认为，该题的主要错因是学生的思维受到了“去掉模式”的影响，教材编的题是“去掉模式”的，教师出的练习是“去掉模式”的，而学生的思维也是“去掉模式”的。众所周知，一年级学生的学习主要依赖于生活经验，该经验就是只有“去掉”、才有“剩下”，这是存在于他们脑海中的事情发生的经过，在他们上幼儿园甚至更早，大人就利用这个经验向他们渗透了减法的第一个意义。而此年龄段的学生的思维是以顺向思维为主的，在他们的记忆中，“总数-去掉的=剩余的”的数量关系是如此熟悉，以至于对它绝对信任。
四、干预策略
（一）确定教学方法，帮助学生掌握问题解决的方法建模
图8
对于如何引导学生看图、说图、理解题意，教师可是“八仙过海，各显神通”。缺少了主流的教学方法，这给学生的解题方法的建模带来了一定的困难。而人教版教材（2012年版）对问题解决这一类知识提出了比较规范的要求。如图8，在步骤方面，通过“你知道了什么”“怎样解答”“解答正确吗”加以引导；在图意表达上，教材用类似“左边□只，右边□只，一共有几只”等语句填空的形式来帮助学生形成 “两个条件和一个问题”的规范的基本表达形式；在方法上，用类似“求一共有几只，要把两部分合起来，怎样计算”的语言加以提示。使学生对集合圈的图式有个整体的感知，将两部分合起来是加法的运算意义，告之学生基本的数量关系。教材这样对解决问题的步骤、图意表达及方法有了较明确的提示，使教师教有所依、学生学有所依。
（二）借助情境，促进学生自主建构问题模型
从对学生访谈得到的数据中可以看到：由于学生的思维尚处在“前运算阶段”，对于问题情境有特别的敏感性与依存性，所以展示合适的且丰富的问题情境，有利于学生对问题的解决。但同时发现，仅是通过对具体情境的感知，不利于学生对问题数量关系的识别，需要通过教学进行对比分析，才能帮助学生认清问题的实质。这从更深层次上看，教师在提供问题情境、帮助学生理解问题本质的同时，更应帮助学生摒弃具体描述（如那个量是指“剩下的”之类），从更一般意思上理解总数与部分数之间的关系，即促进学生自主建构问题模型。
（三）增强学生主动反思的能力
在对教师的调查中，笔者发现，教师在解题步骤设计中缺少检验的环节。有些学生会看图，会表达图意，会列式，但却无法做到图—文—式之间的一一对应。对此，笔者认为，可以用口答进行弥补。刚开始，笔者是用师生分角色方法进行互答。在列式解答后，笔者问：吃了几个？生答：吃了4个。然后让学生检查算式中的4是否为得数，以增强图—文—式之间的联系。如果这是笔者的一点不成熟的做法，那么庆幸的是人教版教材（2012年版）在解题步骤的最后一步中有了更明确的提示：我的答案正确吗？这个提示对教师来说，不仅培养了学生的检验习惯，更是唤起学生对整个思考过程的回忆，包括“还有没有其他的方法？在这些解题的过程中，最大的困难是什么？错了后，我是如何改正的？为什么这么改？……”看似简单的一句话，却能引导学生进行反思。
（四）增强教师改编教材的能力
笔者认为，改编教材应遵循为同一教学目标服务的原则，不能随意拔高教学目标。编制不同的练习题，是以增强学生的学习兴趣、提高他们的思维灵活性为目的的。通过调查可以发现，学生之所以严重受“去掉模式”的影响，是因为这类题“换汤不换药”，重复、机械的练习过多而导致的。通过翻阅2012年版第一册教材，对于类似图9的应用问题较旧教材有了增加，但笔者很遗憾地发现，类似于图10的应用问题，教材中还是没有出现，因此，需要教师在教学中灵活地进行补充，做到一题多改，多练不如精练，以增强习题间的变异性与对比性。
图9
图10
图11
很高兴地看到，在调查问卷中，有一位教师直接在例题上改变问题，把问号移到别的地方，进行了对比练习，如图11。
当然，对于不同的学生，他们的接受能力是不同的，有的学生的逆向思维能力比较差，要求他们将互逆的量之间进行相互转换，更是难上加难。因此，教师在教学中需要反思，更需要静心等待。
（浙江省诸暨市实验小学教育集团 311811）