论文部分内容阅读
摘 要：风险平价模型以资产波动衡量风险，忽略了资产收益分布的尾部特征。本文在风险平价模型中引入高阶矩风险，得到了九种不同的高阶矩风险平价模型，并选取平均相关性高的国内行业指数样本和平均相关性低的大类资产样本，对不同模型进行分析。研究发现：当标的资产间平均相关性较高时，包含偏度的高阶风险平价模型表现更优，投资组合的风险更小，收益更高;当标的资产间平均相关性较低时，风险平价模型表现更优。
关键词：风险平价模型;高阶矩;相关性
中图分类号：F832.5 文献标识码：A 文章编号：1674-2265（2018）12-0010-06
DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2018.12.002
一、引言
风险平价模型（Risk Parity Approach）是一种基于风险驱动的资产配置模型，通过平衡分配不同资产类别在风险组合中的贡献度，实现投资组合的风险结构优化。换言之，风险平价模型要求投资组合中各组成资产的风险贡献相等，因此风险平价模型也称等风险贡献模型（Equal Risk Contributions，ERC）。风险平价的概念最早由Qian（2005）提出，并逐渐被金融界接受。事实上，美国著名的对冲基金桥水基金（Bridgewater Associates）于1996年便创建了第一支风险平价基金——全天候基金。风险平价投资策略在2008年的金融危机中表现优异，引起广泛关注，随后各大投资机构纷纷设立风险平价基金。
风险平价模型近年来成为研究热点。Chaves等（2011）使用美国股票市场和债券市场30年的数据证明风险平价模型的表现优于风险调整的最小方差模型和有效均值方差模型。Clark等（2013）使用1968—2012年美国的股票数据进行实证，发现风险平价模型的夏普比率较等权重模型、价值加权模型、最大分散化投资模型的夏普比率大。Cesarone和Tardella（2017）构建等风险上限模型：允许卖空时，等风险上限模型是方差最小化的风险平价模型;不允许卖空时，等风险上限模型包含的资产更少，表现更优。眾多研究风险平价模型的文章或对比分析与其他模型的优劣，或在细节之处补足，但均将波动率作为风险的衡量指标，即仅考虑资产收益分布的二阶矩（方差）。金融资产收益分布通常具有尖峰厚尾的特征，不满足一般的正态分布假设，因此仅以资产波动来构建风险平价模型，会忽略高阶风险，对模型的效果产生影响。
Baitinger等（2017）从收益分布的角度出发，纳入三阶中心矩（偏度）和四阶中心矩（峰度）构建高阶风险平价模型，使用确定等值收益（CER）、夏普比率（SR）、平均交易换手率等指标评判高阶风险平价模型的优劣。研究发现：当标的资产不服从正态分布且资产间高度相关时，高阶风险平价模型显著优于风险平价模型;当标的资产不服从正态分布且资产间相关性较低时，高阶风险平价模型和风险平价模型效果相仿。
风险平价模型在国内同样受到广泛关注，高见和尹小兵（2016）使用中国股票和债券市场2002—2015年数据对风险平价模型进行测试，发现风险平价模型优于传统股票债券60/40的固定比例模型，风险平价模型损失的来源分布更为均衡;王秀国等（2016）引入因子分析方法，构建了基于风险因子的风险平价投资模型，使得投资组合的风险更加分散化，并表现出更好的投资业绩。与国外研究类似，国内的众多研究均未考虑风险平价模型的高阶矩风险。
本文沿用Baitinger等（2017）的方法构建高阶风险平价模型，分析模型在不同资产相关性情况下的表现。研究中国金融市场是否存在相同的结论：资产间相关性低时适用风险平价模型，资产间相关性高时适用高阶风险平价模型。更进一步研究在使用高阶风险平价模型时，是否应该纳入全部的高阶矩，是否存在最优的高阶矩选择。
相较于国外风险平价模型的流行，我国目前风险平价模型的应用处于起步阶段。2017年9月，南方全天候策略混合型基金中基金（FOF）开始募集，并于2017年10月16日提前截止募集日期（张焕昀，2017）。南方全天候策略基金自申报日起就受到市场高度关注，募集规模在首批公募FOF基金中率先突破10亿。考虑收益分布的高阶矩能够帮助国内金融机构更好地构建模型，依据标的资产间的平均相关性选择是否应用高阶风险平价模型具有现实意义。
三、数据分析
为对比研究高阶风险平价模型在不同资产相关性下的表现，本文选取两个不同的样本。
样本1：行业指数样本。根据申银万国一级行业指数分类选取有色金属、房地产、非银金融、计算机、食品饮料及医药生物共六种行业指数形成行业指数样本，时间区间为2007年1月1日到2017年10月16日⑤，共129个月度数据，其中样本内数据个数为60，样本外为69。
样本2：大类资产样本。根据大类资产配置的原则，选取万得商品指数、恒生指数、沪深300指数、中证全债指数、中证500指数以及道琼斯指数形成大类资产样本，时间区间为2007年12月17日到2017年10月16日⑥，共117个月度数据，其中样本内数据个数为60，样本外为57。以上数据均来自万得数据库。
产的平均相关性均高于60%，最低为61.82%，行业指数样本的相关系数较高。
对大类资产样本进行统计分析（见表3）发现，样本内各指数均不服从正态分布，存在明显的偏度和峰度，其中万得商品指数和中证全债指数收益率分布的峰度远大于3，说明金融数据的收益率分布确实存在尖峰厚尾的特征，加入高阶矩有理论基础;各资产的平均相关性均低于50%，最大为42.10%，大类资产样本的相关系数较低。行业指数样本中的收益率和波动率均大于大类资产样本，符合金融资产高风险高收益的特征。综合行业指数样本和大类资产样本来看，无论样本的相关性高或低，数据本身都不服从正态分布的假设。因此，在风险平价模型中加入高阶矩，会弥补原假设的不足，使得构建的投资组合抗风险能力更强。 四、九种风险平价模型的对比研究
针对行业指数样本和大类资产样本，首先使用样本内数据估计投资权重，用于样本外初始投资，构建高阶风险平价投资组合。然后采用滚动窗口计算，每月重新分配权重。最后计算各投资组合的绩效指标和累计收益。
本文将九种风险平价模型对比分析，先分析具有高相关性的行业指数样本，得到各模型绩效分析结果如表4所示。风险平价模型的组合收益率为21.04%，夏普比率为0.63，平均换手率为1.14%，CER为0.68%，最大回撤为40.46%。模型ERC[0，1，0]、ERC[1，1，0]、ERC[0，1，1]、ERC[1，1，1]、ERC[utl]和ERC[opt]的收益率均高于风险平价模型，其中ERC[0，1，0]最高，为28.72%;其余模型的收益率与基准模型相差不大，仅模型ERC[0，0，1]的收益率为17.43%，低于基准模型。所有模型的波动率均在27%上下浮动，无明显差异。
除模型ERC[0，0，1]外，其余模型的夏普比率均高于基准模型，其中ERC[0，1，0]最高，为0.91。CER类似，除模型ERC[0，0，1]外，其余模型均高于基准模型，ERC[0，1，0]仍最高。基准模型的换手率较低，當加入高阶矩后，除模型ERC[1，0，1]外，其余模型的换手率明显上升，交易更加频繁。考虑交易费用后，模型ERC[0，1，0]、ERC[1，1，0]、ERC[0，1，1]、ERC[1，1，1]、ERC[utl]和ERC[opt]的收益损失指数均为负数，说明基准模型转换为新的模型需要负的补偿。换言之，转换的模型较基准模型表现好。最大回撤在40%上下浮动，模型ERC[0，1，0]最小，为35.72%;模型ERC[0，1，1]次之，为38.47%。
分析所有绩效指标发现：模型ERC[0，1，0]表现最优，此时仅包含偏度;模型ERC[0，1，1]表现次之，包含偏度和峰度;仅包含峰度的模型ERC[0，0，1]表现最差。
当不考虑交易费用时，所有模型的累计收益如图1所示：模型ERC[0，1，0]表现仍最优，样本期间累计收益率约240%;模型ERC[1，0，1]与基准模型走势相差不大;模型ERC[0，0，1]累计收益最低，与绩效指标分析结果相符。
综合所有分析发现：当资产组合间相关系数较高时，高阶风险平价模型优于传统的风险平价模型，能够显著提升模型的抗风险能力，增加收益率。因此，当投资高相关性资产时，构建风险平价模型应当加入高阶矩，考虑收益分布的尾部特征，使得模型更加稳健、收益更高。但结合我国市场来看，当存在高相关性资产时，并非加入高阶矩便会优化模型，结合上述分析，只有加入偏度才会提升模型的绩效，单独加入峰度反而降低模型的绩效。因此，当投资高相关性资产时不仅应考虑高阶风险平价模型，还应合理选择阶数。
分析具有低相关性的大类资产样本，得到模型绩效结果如表5所示。风险平价模型的组合收益率为8.67%，夏普比率为0.51，平均换手率为7.81%，CER为0.59%，最大回撤为15.93%。除模型ERC[0，0，1]外，其余模型的收益率均低于基准模型。所有模型的波动率均大于基准模型。模型ERC[0，0，1]和ERC[1，0，1]的夏普比率比基准模型高，其余模型均低于0.51。其中模型ERC[0，1，1]的夏普比率为负，说明其收益率低于无风险利率。同样的，除模型ERC[0，0，1]外，其余模型的CER均低于基准模型。除模型ERC[1，0，1]外，其余模型的平均换手率远高于基准模型。所有模型的收益损失指数均为正数，说明从基准模型转换成高阶风险平价模型需要正的补偿，加入高阶矩的模型没有表现更优。除模型ERC[1，0，1]外，其余模型的最大回撤均在20%以上，高于基准模型的15.93%。
分析所有绩效指标发现：基准模型的表现较好;高阶风险平价模型中模型ERC[0，0，1]和模型ERC[1，0，1] 较其他模型更优;加入偏度的模型普遍表现较差。
当不考虑交易费用时，所有模型的累计收益如图2所示：模型ERC[0，0，1]的表现最优，样本期间累计收益率约70%;模型ERC[1，0，1]与基准模型走势相差不大，但更稳健;模型ERC[0，1，1]累计收益最低，与绩效指标分析结果相符。
综合所有分析发现：当资产间相关系数较低时，高阶风险平价模型未明显优于风险平价模型。高阶风险平价模型在考虑收益尾部特征的同时增加估计误差，使得交易波动更大，换手率更高，反而增大了风险。因此，当投资低相关性资产时，构建风险平价模型可以不考虑加入高阶矩，或者仅加入峰度。
五、结论
金融收益序列不严格服从正态分布，存在尖峰厚尾的分布特征。传统的风险平价模型仅考虑收益分布的二阶矩（方差），忽视了分布的尾部特征，在风险平价模型中引入高阶矩可能是对模型的一种有效补充。本文通过选取相关性不同的样本研究高阶风险平价模型在我国市场的应用，研究结果与Baitinger等（2017）的结论既相同又存在不同。
相同之处在于：标的资产间的相关性大小影响着高阶风险平价模型表现的优劣。当标的资产间的相关性较高时，高阶风险平价模型显著优于风险平价模型;当标的资产间的相关性较低时，风险平价模型更适宜。
不同之处在于：本文认为当标的资产间的相关性较高时，应着重考虑加入偏度的高阶风险平价模型，额外加入峰度会降低相应模型的绩效，增加风险。选择高阶风险平价模型配置资产时，合适的阶数才能达到最优的投资效果。当标的资产间的相关性较低时，高阶风险平价模型并非全部较差。包含峰度的模型明显优于风险平价模型。高阶风险平价模型应用与否不仅与标的资产间的相关性有关，与具体中心矩阶数也有关。此外，无论标的资产间的相关性高低，根据数据特征拟合的风险平价模型均表现平平，相对稳健，远未达到Baitinger等（2017）的研究中表现最优的程度。这表明，风险平价模型在不同市场的应用存在一定的差别，需要考虑市场本身的特性，构建合适的风险平价模型。 注：
①使所有阶数ARC相等的解很难求得，近似为找到最优解。
②ERC模型即为风险平价模型。
③a=γ/2！=1.5; b=γ/3！=0.5; c=γ/4！=0.125。
④夏普比率计算中的无风险利率为估计区间的SHIBOR月度数据均值。
⑤将2008年经济危机纳入样本区间，并使得行业指数样本和大类资产样本的时间长度差别较小，选取2007年1月1日为时间起点。
⑥考虑到数据的可得性，将指数成立最晚的中证全债指数设立时间作为时间起点。
参考文献：
[1]Qian E. E. 2005. Risk Parity Portfolio[R].PanAgora Research Paper.
[2]Chaves，D. B.，Hsu， J. C.，Li， F.，and O. Shakernia. 2011. Risk Parity Portfolio vs. Other Asset Allocation Heuristic Portfolios[J].The Journal of Investing，20（1）.
[3]Clarke R G.，De Silva H. and Thorley S. 2013. Risk Parity，Maximum Diversification，and Minimum Variance：An Analytical Perspective[J].The Journal of Portfolio Management，39（3）.
[4]Cesarone F. and Tardella F. 2017. Equal Risk Bounding is Better than Risk Parity for Portfolio Selection[J].Journal of Global Optimization，68.
[5]Baitinger E.，Dragosch A. and Topalova A. 2017. Extending the Risk Parity Approach to Higher Moments： Is There Any Value-Added[J].The Journal of Portfolio Management，43（2）.
[6]Jondeau E. and M. Rockinger. 2006. Optimal Portfolio Allocation under Higher Moments[J].European Financial Management，12（1）.
[7]高見，尹小兵.风险平价策略及其在投资管理中的运用[J].证券市场导报，2016，（12）.
[8]王秀国，张秦波，刘涛.基于风险因子的风险平价投资模型及实证研究[J].投资研究，2016，（12）.
[9]张焕昀.南方全天候模型FOF提前结束募集[N].中国证券报，2017-10-14.
关键词：风险平价模型;高阶矩;相关性
中图分类号：F832.5 文献标识码：A 文章编号：1674-2265（2018）12-0010-06
DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2018.12.002
一、引言
风险平价模型（Risk Parity Approach）是一种基于风险驱动的资产配置模型，通过平衡分配不同资产类别在风险组合中的贡献度，实现投资组合的风险结构优化。换言之，风险平价模型要求投资组合中各组成资产的风险贡献相等，因此风险平价模型也称等风险贡献模型（Equal Risk Contributions，ERC）。风险平价的概念最早由Qian（2005）提出，并逐渐被金融界接受。事实上，美国著名的对冲基金桥水基金（Bridgewater Associates）于1996年便创建了第一支风险平价基金——全天候基金。风险平价投资策略在2008年的金融危机中表现优异，引起广泛关注，随后各大投资机构纷纷设立风险平价基金。
风险平价模型近年来成为研究热点。Chaves等（2011）使用美国股票市场和债券市场30年的数据证明风险平价模型的表现优于风险调整的最小方差模型和有效均值方差模型。Clark等（2013）使用1968—2012年美国的股票数据进行实证，发现风险平价模型的夏普比率较等权重模型、价值加权模型、最大分散化投资模型的夏普比率大。Cesarone和Tardella（2017）构建等风险上限模型：允许卖空时，等风险上限模型是方差最小化的风险平价模型;不允许卖空时，等风险上限模型包含的资产更少，表现更优。眾多研究风险平价模型的文章或对比分析与其他模型的优劣，或在细节之处补足，但均将波动率作为风险的衡量指标，即仅考虑资产收益分布的二阶矩（方差）。金融资产收益分布通常具有尖峰厚尾的特征，不满足一般的正态分布假设，因此仅以资产波动来构建风险平价模型，会忽略高阶风险，对模型的效果产生影响。
Baitinger等（2017）从收益分布的角度出发，纳入三阶中心矩（偏度）和四阶中心矩（峰度）构建高阶风险平价模型，使用确定等值收益（CER）、夏普比率（SR）、平均交易换手率等指标评判高阶风险平价模型的优劣。研究发现：当标的资产不服从正态分布且资产间高度相关时，高阶风险平价模型显著优于风险平价模型;当标的资产不服从正态分布且资产间相关性较低时，高阶风险平价模型和风险平价模型效果相仿。
风险平价模型在国内同样受到广泛关注，高见和尹小兵（2016）使用中国股票和债券市场2002—2015年数据对风险平价模型进行测试，发现风险平价模型优于传统股票债券60/40的固定比例模型，风险平价模型损失的来源分布更为均衡;王秀国等（2016）引入因子分析方法，构建了基于风险因子的风险平价投资模型，使得投资组合的风险更加分散化，并表现出更好的投资业绩。与国外研究类似，国内的众多研究均未考虑风险平价模型的高阶矩风险。
本文沿用Baitinger等（2017）的方法构建高阶风险平价模型，分析模型在不同资产相关性情况下的表现。研究中国金融市场是否存在相同的结论：资产间相关性低时适用风险平价模型，资产间相关性高时适用高阶风险平价模型。更进一步研究在使用高阶风险平价模型时，是否应该纳入全部的高阶矩，是否存在最优的高阶矩选择。
相较于国外风险平价模型的流行，我国目前风险平价模型的应用处于起步阶段。2017年9月，南方全天候策略混合型基金中基金（FOF）开始募集，并于2017年10月16日提前截止募集日期（张焕昀，2017）。南方全天候策略基金自申报日起就受到市场高度关注，募集规模在首批公募FOF基金中率先突破10亿。考虑收益分布的高阶矩能够帮助国内金融机构更好地构建模型，依据标的资产间的平均相关性选择是否应用高阶风险平价模型具有现实意义。
三、数据分析
为对比研究高阶风险平价模型在不同资产相关性下的表现，本文选取两个不同的样本。
样本1：行业指数样本。根据申银万国一级行业指数分类选取有色金属、房地产、非银金融、计算机、食品饮料及医药生物共六种行业指数形成行业指数样本，时间区间为2007年1月1日到2017年10月16日⑤，共129个月度数据，其中样本内数据个数为60，样本外为69。
样本2：大类资产样本。根据大类资产配置的原则，选取万得商品指数、恒生指数、沪深300指数、中证全债指数、中证500指数以及道琼斯指数形成大类资产样本，时间区间为2007年12月17日到2017年10月16日⑥，共117个月度数据，其中样本内数据个数为60，样本外为57。以上数据均来自万得数据库。
产的平均相关性均高于60%，最低为61.82%，行业指数样本的相关系数较高。
对大类资产样本进行统计分析（见表3）发现，样本内各指数均不服从正态分布，存在明显的偏度和峰度，其中万得商品指数和中证全债指数收益率分布的峰度远大于3，说明金融数据的收益率分布确实存在尖峰厚尾的特征，加入高阶矩有理论基础;各资产的平均相关性均低于50%，最大为42.10%，大类资产样本的相关系数较低。行业指数样本中的收益率和波动率均大于大类资产样本，符合金融资产高风险高收益的特征。综合行业指数样本和大类资产样本来看，无论样本的相关性高或低，数据本身都不服从正态分布的假设。因此，在风险平价模型中加入高阶矩，会弥补原假设的不足，使得构建的投资组合抗风险能力更强。 四、九种风险平价模型的对比研究
针对行业指数样本和大类资产样本，首先使用样本内数据估计投资权重，用于样本外初始投资，构建高阶风险平价投资组合。然后采用滚动窗口计算，每月重新分配权重。最后计算各投资组合的绩效指标和累计收益。
本文将九种风险平价模型对比分析，先分析具有高相关性的行业指数样本，得到各模型绩效分析结果如表4所示。风险平价模型的组合收益率为21.04%，夏普比率为0.63，平均换手率为1.14%，CER为0.68%，最大回撤为40.46%。模型ERC[0，1，0]、ERC[1，1，0]、ERC[0，1，1]、ERC[1，1，1]、ERC[utl]和ERC[opt]的收益率均高于风险平价模型，其中ERC[0，1，0]最高，为28.72%;其余模型的收益率与基准模型相差不大，仅模型ERC[0，0，1]的收益率为17.43%，低于基准模型。所有模型的波动率均在27%上下浮动，无明显差异。
除模型ERC[0，0，1]外，其余模型的夏普比率均高于基准模型，其中ERC[0，1，0]最高，为0.91。CER类似，除模型ERC[0，0，1]外，其余模型均高于基准模型，ERC[0，1，0]仍最高。基准模型的换手率较低，當加入高阶矩后，除模型ERC[1，0，1]外，其余模型的换手率明显上升，交易更加频繁。考虑交易费用后，模型ERC[0，1，0]、ERC[1，1，0]、ERC[0，1，1]、ERC[1，1，1]、ERC[utl]和ERC[opt]的收益损失指数均为负数，说明基准模型转换为新的模型需要负的补偿。换言之，转换的模型较基准模型表现好。最大回撤在40%上下浮动，模型ERC[0，1，0]最小，为35.72%;模型ERC[0，1，1]次之，为38.47%。
分析所有绩效指标发现：模型ERC[0，1，0]表现最优，此时仅包含偏度;模型ERC[0，1，1]表现次之，包含偏度和峰度;仅包含峰度的模型ERC[0，0，1]表现最差。
当不考虑交易费用时，所有模型的累计收益如图1所示：模型ERC[0，1，0]表现仍最优，样本期间累计收益率约240%;模型ERC[1，0，1]与基准模型走势相差不大;模型ERC[0，0，1]累计收益最低，与绩效指标分析结果相符。
综合所有分析发现：当资产组合间相关系数较高时，高阶风险平价模型优于传统的风险平价模型，能够显著提升模型的抗风险能力，增加收益率。因此，当投资高相关性资产时，构建风险平价模型应当加入高阶矩，考虑收益分布的尾部特征，使得模型更加稳健、收益更高。但结合我国市场来看，当存在高相关性资产时，并非加入高阶矩便会优化模型，结合上述分析，只有加入偏度才会提升模型的绩效，单独加入峰度反而降低模型的绩效。因此，当投资高相关性资产时不仅应考虑高阶风险平价模型，还应合理选择阶数。
分析具有低相关性的大类资产样本，得到模型绩效结果如表5所示。风险平价模型的组合收益率为8.67%，夏普比率为0.51，平均换手率为7.81%，CER为0.59%，最大回撤为15.93%。除模型ERC[0，0，1]外，其余模型的收益率均低于基准模型。所有模型的波动率均大于基准模型。模型ERC[0，0，1]和ERC[1，0，1]的夏普比率比基准模型高，其余模型均低于0.51。其中模型ERC[0，1，1]的夏普比率为负，说明其收益率低于无风险利率。同样的，除模型ERC[0，0，1]外，其余模型的CER均低于基准模型。除模型ERC[1，0，1]外，其余模型的平均换手率远高于基准模型。所有模型的收益损失指数均为正数，说明从基准模型转换成高阶风险平价模型需要正的补偿，加入高阶矩的模型没有表现更优。除模型ERC[1，0，1]外，其余模型的最大回撤均在20%以上，高于基准模型的15.93%。
分析所有绩效指标发现：基准模型的表现较好;高阶风险平价模型中模型ERC[0，0，1]和模型ERC[1，0，1] 较其他模型更优;加入偏度的模型普遍表现较差。
当不考虑交易费用时，所有模型的累计收益如图2所示：模型ERC[0，0，1]的表现最优，样本期间累计收益率约70%;模型ERC[1，0，1]与基准模型走势相差不大，但更稳健;模型ERC[0，1，1]累计收益最低，与绩效指标分析结果相符。
综合所有分析发现：当资产间相关系数较低时，高阶风险平价模型未明显优于风险平价模型。高阶风险平价模型在考虑收益尾部特征的同时增加估计误差，使得交易波动更大，换手率更高，反而增大了风险。因此，当投资低相关性资产时，构建风险平价模型可以不考虑加入高阶矩，或者仅加入峰度。
五、结论
金融收益序列不严格服从正态分布，存在尖峰厚尾的分布特征。传统的风险平价模型仅考虑收益分布的二阶矩（方差），忽视了分布的尾部特征，在风险平价模型中引入高阶矩可能是对模型的一种有效补充。本文通过选取相关性不同的样本研究高阶风险平价模型在我国市场的应用，研究结果与Baitinger等（2017）的结论既相同又存在不同。
相同之处在于：标的资产间的相关性大小影响着高阶风险平价模型表现的优劣。当标的资产间的相关性较高时，高阶风险平价模型显著优于风险平价模型;当标的资产间的相关性较低时，风险平价模型更适宜。
不同之处在于：本文认为当标的资产间的相关性较高时，应着重考虑加入偏度的高阶风险平价模型，额外加入峰度会降低相应模型的绩效，增加风险。选择高阶风险平价模型配置资产时，合适的阶数才能达到最优的投资效果。当标的资产间的相关性较低时，高阶风险平价模型并非全部较差。包含峰度的模型明显优于风险平价模型。高阶风险平价模型应用与否不仅与标的资产间的相关性有关，与具体中心矩阶数也有关。此外，无论标的资产间的相关性高低，根据数据特征拟合的风险平价模型均表现平平，相对稳健，远未达到Baitinger等（2017）的研究中表现最优的程度。这表明，风险平价模型在不同市场的应用存在一定的差别，需要考虑市场本身的特性，构建合适的风险平价模型。 注：
①使所有阶数ARC相等的解很难求得，近似为找到最优解。
②ERC模型即为风险平价模型。
③a=γ/2！=1.5; b=γ/3！=0.5; c=γ/4！=0.125。
④夏普比率计算中的无风险利率为估计区间的SHIBOR月度数据均值。
⑤将2008年经济危机纳入样本区间，并使得行业指数样本和大类资产样本的时间长度差别较小，选取2007年1月1日为时间起点。
⑥考虑到数据的可得性，将指数成立最晚的中证全债指数设立时间作为时间起点。
参考文献：
[1]Qian E. E. 2005. Risk Parity Portfolio[R].PanAgora Research Paper.
[2]Chaves，D. B.，Hsu， J. C.，Li， F.，and O. Shakernia. 2011. Risk Parity Portfolio vs. Other Asset Allocation Heuristic Portfolios[J].The Journal of Investing，20（1）.
[3]Clarke R G.，De Silva H. and Thorley S. 2013. Risk Parity，Maximum Diversification，and Minimum Variance：An Analytical Perspective[J].The Journal of Portfolio Management，39（3）.
[4]Cesarone F. and Tardella F. 2017. Equal Risk Bounding is Better than Risk Parity for Portfolio Selection[J].Journal of Global Optimization，68.
[5]Baitinger E.，Dragosch A. and Topalova A. 2017. Extending the Risk Parity Approach to Higher Moments： Is There Any Value-Added[J].The Journal of Portfolio Management，43（2）.
[6]Jondeau E. and M. Rockinger. 2006. Optimal Portfolio Allocation under Higher Moments[J].European Financial Management，12（1）.
[7]高見，尹小兵.风险平价策略及其在投资管理中的运用[J].证券市场导报，2016，（12）.
[8]王秀国，张秦波，刘涛.基于风险因子的风险平价投资模型及实证研究[J].投资研究，2016，（12）.
[9]张焕昀.南方全天候模型FOF提前结束募集[N].中国证券报，2017-10-14.