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公理化方法是数学中的一个很重要的方法，准确地认识公理化方法，不仅对于数学这门学科的发展有很重要的影响，而且还对其他自然科学学科的建设起重要作用。本文将从公理化方法的发展历史展开阐述，对其特征进行说明，并简单论述公理化方法在物理体系中的应用。
公理化方法的发展及其特征
著名数学家欧多克斯处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演绎法。亚里斯多德集前人之大成，把其中的几何术语扬弃,保留下单纯的逻辑关系。在他的《分析篇》中，总结、概括了逻辑学的丰富资料，在历史上第一次对公理化方法作了论述。欧几里德以亚里斯多德的公理化方法为工具,在希波克拉茨、欧多克斯、列昂、费奇等许多著名科学家已做过的系统化、演绎化整理工作的基础上，总结了人类长期以来积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》。《几何原本》的诞生，标志着真正的实质性公理化方法的创定，从而为数学的发展树立了一座不朽的丰碑。瑞士几何学家兰贝尔特没有象萨开利那样囿于平行公理的真实性的顽固想法,而是大胆地对平行公理的可证明性提出了怀疑,这是观念上的一个重要突破。马得堡的须外卡尔特和托里努斯也通过独立的研究提出了这样的看法,并且达到了非欧几何的一些粗略的观念。
一直到十九世纪,高斯、罗巴切夫斯基、仓耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作,发现锐角假设没有导出矛盾,于是采用锐角假设的加罗巴切夫斯基几何系统就产生了。接着到了1954年又发现了钝角假设也成立的黎曼几何。非欧几何的建立标志着实质公理学向形式公理学过渡，表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。希尔伯特在此基础上,把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摈弃,着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理,第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化方法发展史上的一个里程碑，从此开创了现代公理法思想的新阶段。
协调性，独立性和完备性构成了公理系统的逻辑特征。
1.公理系统的无矛盾性(协调性):希尔伯特用形式公理法研究初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理系统的协调性，即无矛盾性。也就是基于他的公理系统作逻辑推演时是不会推出互相矛盾的命题来。否则这个公理系统就不能反映“真”、“假”因而也就没有意义了。
2.公理系统的独立性：在一个公理系统中，若一个公理A，不能从其他公理推出则称A对于其他公理是独立的。
3.公理系统的完备性：一个公理系统除了满足协调性，独立性外还应该是完备的。即从公理系统出发借助于逻辑规则可以推演出一个数学分支的全部真命题。那么我们称此公理系统是完备的。
公理化方法在物理学中的借鉴
在公理化方法借鉴到物理学中的例子中，牛顿的《自然哲学的数学原理》是经典物理借鉴公理化方法的典型例子。牛顿在《原理》一书中：仿照欧几里德的方法,首先提出了定义、注释和动力学原理。以最为经典的牛顿力学中的牛顿运动三大定律为例，公理化方法(准确点说应该是实质性公理化方法)在其中的应用是十分明显的。初始的基本概念即为：空间、时间、质量和力；而牛顿三定律和万有引力定律在公理化系统中可看作是理论出发点的基本公理。其中，三大定律分别为：(1)物体都要保持其运动状态不变，直到外力迫使它改变为止。牛顿第一定律，又称“惯性定律”。(2)物体运动的加速度与质量成反比，与所受外力成正比。牛顿第二定律，在国际单位制中的数学形式是：
(3)若甲物体以一力作用于乙物体，则乙物体同时以一力作用于甲物体，二力大小相等，方向相反，分别作用的甲乙两物体上，作用线在一条直线上。功的概念为:力在位移方向的投影与力的积或位移在力方向的投影与位移的积。变力作功的数学表达式是:
我们在功的基本概念中加人牛顿第二定律就可以得到推论-功能领域中的基本原理。
是物体所受合外力
动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。将动能原理应用到系统中，可得到动能原理：
利用此二原理就可以解决动能领域的动力学问题。
此外，公理化方法在物理学的其它领域里也有很广泛的应用，比如热力学也可以建成一个公理系统。作为一个公理化的框架，热力学是建立在能量、孤立系统等基本概念和一系列初始原理基础上的。这些初始原理就是孤立系统存在热力学平衡态假定、热力学第零定律、热力学三定律等。由此我们定义了重要的温度概念，功、热量、内能的概念和火商函数，把内能、火商和由温度概念引进的物态方程，联合起来构成了一个均匀物质的全部平衡性质的基础，然后由这三个热力学函数出发作数学推演，可得到物质的各种平衡性质的相互联系。
由此可见，公理化方法在物理学上有着非常广泛的应用，尽管它有着一些缺陷与不足，如公理化方法本身的不完备性，同时物理学应用数学模型只是一种“近似的模写”，有着一定的适用范围和局限性。只有当公理化方法可以与实验观察到的现象联系起来并得到确证时，才具有科学的意义。也就是说物理学理论体系中的公理和推论最终都要用实践来检验。但是其在经典物理以及热学、电磁学、量子力学等领域内的重要性是十分显见的。
参考文献:
[1]王仲春,孙名符等.数学思维与数学方法论[M].北京：高等教育出版社，1989.
[2]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2000.
[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1988.
[4]王泽农.物理学中的公理化方法[J].南京师大学报(自然科学版)，1996.4.
[5]康勇.略论公理化体系[J].职大学报，2002.2.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
公理化方法的发展及其特征
著名数学家欧多克斯处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演绎法。亚里斯多德集前人之大成，把其中的几何术语扬弃,保留下单纯的逻辑关系。在他的《分析篇》中，总结、概括了逻辑学的丰富资料，在历史上第一次对公理化方法作了论述。欧几里德以亚里斯多德的公理化方法为工具,在希波克拉茨、欧多克斯、列昂、费奇等许多著名科学家已做过的系统化、演绎化整理工作的基础上，总结了人类长期以来积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》。《几何原本》的诞生，标志着真正的实质性公理化方法的创定，从而为数学的发展树立了一座不朽的丰碑。瑞士几何学家兰贝尔特没有象萨开利那样囿于平行公理的真实性的顽固想法,而是大胆地对平行公理的可证明性提出了怀疑,这是观念上的一个重要突破。马得堡的须外卡尔特和托里努斯也通过独立的研究提出了这样的看法,并且达到了非欧几何的一些粗略的观念。
一直到十九世纪,高斯、罗巴切夫斯基、仓耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作,发现锐角假设没有导出矛盾,于是采用锐角假设的加罗巴切夫斯基几何系统就产生了。接着到了1954年又发现了钝角假设也成立的黎曼几何。非欧几何的建立标志着实质公理学向形式公理学过渡，表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。希尔伯特在此基础上,把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摈弃,着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理,第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化方法发展史上的一个里程碑，从此开创了现代公理法思想的新阶段。
协调性，独立性和完备性构成了公理系统的逻辑特征。
1.公理系统的无矛盾性(协调性):希尔伯特用形式公理法研究初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理系统的协调性，即无矛盾性。也就是基于他的公理系统作逻辑推演时是不会推出互相矛盾的命题来。否则这个公理系统就不能反映“真”、“假”因而也就没有意义了。
2.公理系统的独立性：在一个公理系统中，若一个公理A，不能从其他公理推出则称A对于其他公理是独立的。
3.公理系统的完备性：一个公理系统除了满足协调性，独立性外还应该是完备的。即从公理系统出发借助于逻辑规则可以推演出一个数学分支的全部真命题。那么我们称此公理系统是完备的。
公理化方法在物理学中的借鉴
在公理化方法借鉴到物理学中的例子中，牛顿的《自然哲学的数学原理》是经典物理借鉴公理化方法的典型例子。牛顿在《原理》一书中：仿照欧几里德的方法,首先提出了定义、注释和动力学原理。以最为经典的牛顿力学中的牛顿运动三大定律为例，公理化方法(准确点说应该是实质性公理化方法)在其中的应用是十分明显的。初始的基本概念即为：空间、时间、质量和力；而牛顿三定律和万有引力定律在公理化系统中可看作是理论出发点的基本公理。其中，三大定律分别为：(1)物体都要保持其运动状态不变，直到外力迫使它改变为止。牛顿第一定律，又称“惯性定律”。(2)物体运动的加速度与质量成反比，与所受外力成正比。牛顿第二定律，在国际单位制中的数学形式是：
(3)若甲物体以一力作用于乙物体，则乙物体同时以一力作用于甲物体，二力大小相等，方向相反，分别作用的甲乙两物体上，作用线在一条直线上。功的概念为:力在位移方向的投影与力的积或位移在力方向的投影与位移的积。变力作功的数学表达式是:
我们在功的基本概念中加人牛顿第二定律就可以得到推论-功能领域中的基本原理。
是物体所受合外力
动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。将动能原理应用到系统中，可得到动能原理：
利用此二原理就可以解决动能领域的动力学问题。
此外，公理化方法在物理学的其它领域里也有很广泛的应用，比如热力学也可以建成一个公理系统。作为一个公理化的框架，热力学是建立在能量、孤立系统等基本概念和一系列初始原理基础上的。这些初始原理就是孤立系统存在热力学平衡态假定、热力学第零定律、热力学三定律等。由此我们定义了重要的温度概念，功、热量、内能的概念和火商函数，把内能、火商和由温度概念引进的物态方程，联合起来构成了一个均匀物质的全部平衡性质的基础，然后由这三个热力学函数出发作数学推演，可得到物质的各种平衡性质的相互联系。
由此可见，公理化方法在物理学上有着非常广泛的应用，尽管它有着一些缺陷与不足，如公理化方法本身的不完备性，同时物理学应用数学模型只是一种“近似的模写”，有着一定的适用范围和局限性。只有当公理化方法可以与实验观察到的现象联系起来并得到确证时，才具有科学的意义。也就是说物理学理论体系中的公理和推论最终都要用实践来检验。但是其在经典物理以及热学、电磁学、量子力学等领域内的重要性是十分显见的。
参考文献:
[1]王仲春,孙名符等.数学思维与数学方法论[M].北京：高等教育出版社，1989.
[2]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2000.
[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1988.
[4]王泽农.物理学中的公理化方法[J].南京师大学报(自然科学版)，1996.4.
[5]康勇.略论公理化体系[J].职大学报，2002.2.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。