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【摘要】考虑到金融资产日收益率分布普遍地存在显著的尖峰厚尾现象，且其波动率存在时变性特征，本文运用自回归条件异方差系列模型（GARCH模型、TGARCH模型和EGARCH模型）来建模上证50ETF收益的波动率，并应用于上证50ETF期权定价。数值结果表明：上证50ETF收益率波动存在明显的时变性特征；由GARCH族模型计算得到的期权价格，与真实价格之间不存在显著差异；此外，考虑了非对称性波动影响的TGARCH和EGARCH模型，要比GARCH模型能更好刻画现实市场波动率动态特性，从而取得了更高的期权定价准确度。
【关键词】GARCH模型 TGARCH模型 EGARCH模型 期权定价 蒙特卡洛模拟
一、引言
金融衍生品挂牌交易，是基于通货膨胀、供需情况、汇率、利率及标的物价格未来走势的预期等信息基础上竞价成交的，因而交易价格的变化反映了市场的供需关系，是现货价格未来走势的重要信息来源，可为现货市场的成交价格提供重要的参考作用。此外，金融衍生工具不仅能够进行市场预期并发现价格，而且可以通过套期保值来降低价格风险。因此，自产生以来，金融衍生工具交易量呈逐年上升趋势，已经成为整个市场体系不可缺少的一个重要组成部分。经过多年的发展，我国的资本市场也不断地走向成熟，在经过长时间的筹备与模拟测试，我国首个期权合约品种“上证50ETF期权”终于应运而生，于2015年2月9日正式在上海证券交易所挂牌交易，个股期权等其他更多的交易品种也有望在年后推出，由此，2015年也被称为是中国期权的元年。但是，由于我国期权市场刚刚成立，对于符合我国国情的金融衍生工具的定价研究仍较为缺乏。
国内外学术界对期权的定价理论研究有着很长的历史。1973 年由Blake和Scholes提出的传统的B-S模型是一个假设股票价格服从几何布朗运动，在无套利的分析框架下给出的期权定价公式[1]。Merton（1976）认为市场证券的价格分布往往并非是光滑移动的，而是呈现间断的“跳空”过程，提出了一种股票价格遵循跳跃过程的模型，在股票价格服从几何布朗运动之上加入了各种跳跃[2]。这两个模型中都包含了常数波动率假设，但是越来越多的实证研究结果表明，金融产品的收益率分布存在着显著的尖峰、厚尾和非对称等特征。同时，其波动率也并非常数，而具有时变性、波动聚集性。所以，放松波动率为常数的假设，研究波动率的动态变化特性，这对于提升期权定价的准确性具有重要意义。
针对这一内容，当前国内外很多学者都做出了不懈地努力，研究工作大体上可归为两大类：一是，为资产收益波动率构建适当的连续动态方程，如假设波动率为随机过程，Hull和White（1987）[3]、Scott（1987）[4]、Heston（1993）[5]等建立了随机波动率模型；Bates（1996）[6]和Scott（1997）[7]建立了随机波动跳-扩散模型，该模型的优点是能较好刻画出隐含波动率的“微笑”与“偏斜”效应。然而，由于非交易的波动是不能任意用现存资产来复制，因此，波动率方程自身的模型误定风险（misspecificationerror）会使期权定价更加复杂化。尽管从数学角度可以通过一些不现实的假设来简化波动风险模型，但金融实践中要用此模型计算出期权定价，仍然需要使用复杂的数量方法。第二个分支是，利用时间序列方法来构建波动率的离散动力系统，如广义条件自回归（GARCH）系列模型{1}。GARCH族模型在某種意义上可视为随机波动率模型的离散时间版本，其优点在于：能直接从股票的历史价格中得出收益波动率，而不必从同期其他期权推出内含波动率；此外，它具有一定的波动率预测功能。
自GARCH模型提出以后，人们自然联想到利用GARCH模型来定价期权。Duan（1995）通过局部风险中性定价关系（localrisk- neuralvaluationrelationship），建立了基于GARCH模型的离散时间序列的期权定价模型。Hardle和Hanfner（2000）在Duan的工作的基础上，应用TGARCH模型对德国市场期权进行定价，发现基于TGARCH模型的定价结果与BS模型和GARCH模型相比，更接近真实价格。Jong和Lehnert（2001）则认为EGARCH模型能较好地刻画不同期限的“波动率微笑”曲线，构建了一个估计指数期权局部波动率的EGARCH模型，并成功地解释和预测了实际的波动率[10]。王健，李超杰，何建敏（2006）建立了有交易成本的GARCH 扩散期权定价模型[11]。LouisH.Ederington，WeiGuan（2007）对GARCH系列所有模型做了实证研究，发现GARCH（1，1）和TGARCH模型在高波动的时间段内预测偏差特别大[12]。Christoffersen，Elkamhi，Feunou（2007）基于Duan（1995）的GARCH模型，分析了条件非正态分布和条件正态分布下的定价差异，发现前者的定价效果要好于后者[13]。
然而，到目前为止，用GARCH族模型对上证50ETF期权进行定价研究的，并不多见，部分原因在于上证50ETF期权诞生时间非常短暂。因此，本文尝试在这方面做点工作，利用GARCH族模型对上证50ETF期权进行定价研究，试图通过比较三个模型的定价效果，探寻适用于我国现阶段50ETF期权市场的定价模型。
二、GARCH族模型
（一）GARCH模型
传统时间序列模型都假定波动率并不随时间变化的，但在现实市场中波动率具有时变性。Engle提出的ARCH模型能够很好刻画波动率的这种时变特性。
对于某一时间序列yt，其变化规律可由下述回归模型描述：
■ （1）
在t时刻可获得的信息集为Ωt-1的条件下，误差项εt遵循以0为期望、ht为条件方差的正态分布，即■=0，■亦可写作■，其中■。 ■ （2）
其中，■，且■，即条件方差具有m阶自回归形式，则称误差项εt服从m阶自回归条件异方差，记■过程。
上面定义的条件方差，可理解为在己知信息集为Ωt-1（该信息集包括前期所有的误差项信息，如■的条件下，t时刻干扰项εt的方差。对于由公式（2）表示的条件方差，表明前期的m阶误差项对本期误差项εt有着正向且持续的影响。通过该机制，当前期误差值较大时，本期误差值就较大；当前期误差值较小时，本期误差值就较小。由此较好的刻画了ARCH模型所描述的波动率集聚现象。当随机误差项具有异方差性，若用传统的最小二乘法估计就会产生偏差，若使用ARCH模型，则可提高预测精度，亦可知其准确性。当方差较大时，预测值的置信区间会较小，故具有较好的可靠性。
虽然ARCH模型较传统的时间序列模型有所改进，但是仍存在很多缺点，如在现实中应用ARCH模型，为了得到更好的拟合效果需要很大的阶数m，这样不仅增大了计算量，还会带来诸如解释变量多重共线性等其他问题。为了修正ARCH模型的缺点，Bollerslev在1986年对ARCH模型进行扩展，得到了GARCH模型：
■ （3）
由（3）式可看出，GARCH模型与ARCH模型的不同之处在于：扰动项εt的条件方差不仅受到前期残差项平方（■）的影响外，还要受到条件方差滞后项（■）的影响。因此GARCH模型比ARCH模型更具有一般性。同时，ARCH模型只是GARCH（p，q）中q=0时的一个特例。GARCH模型具有很强的概括能力，可以用低阶的GARCH模型来代表高阶的ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。
（二）EGARCH模型
从式看，GARCH模型确实在很大程度上解决了ARCH模型的一些缺陷，且具有较好的可操作性，但GARCH模型（3）依然存在一些缺陷而无法完全刻画金融时间序列波动率的特征，其中最重要的一个缺陷是：GARCH模型没有反映“利空”消息和“利好”消息对股价产生非对称性冲击这个事实。为克服此缺陷，Nelson（1991）将市场信息的非对称影响效应融入到GARCH模型中，提出了指数GARCH模型，即EGARCH模型。
对于序列■，其中■，Vt服从标准正态分布，即Vt～N（0，1）。EGARCH（1，1）模型的条件方差方程可写成：
■ （4）
等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。
非对称效应的存在能够通■过的假设得到检验。只要■，冲击的影响就存在着非对称性。
更高阶的EGARCH（p，q）模型可表示为：
■ （5）
实际应用中，通常会对上述模型进行变换，由■，可得■，模型可变换为：
■ （6）
虽然式（6）和Nelson的模型（5）设定的不同，但是在对这两个模型进行估计而得到的结果中，系数α和β的估计量是相同的，不同的只是截距项ω的值，它将根据分布假设和阶数p的变化而变化，这并不影响分析的结果。同时Nelson假设vt的条件分布是服从广义误差分布（GED），而在实际应用中，可以允许其在正态分布、学生t分布和GED分布中进行选择。
（三）TGARCH模型
与EGARCH模型目的相似，为刻画市场波动率的非对称效应，Zakoian（1994）提出了TGARCH模型，该模型中的条件方差方程被设定为：
■ （7）
其中■是一个虚拟变量，当■时，■；否则，■；只要■，就存在非对称效应。
在式（7）中，条件方差方程中的■项，称为非对称效应项，或TGARCH项。条件方差方程表明ht依赖于前期的残差平方■和条件方差■的大小。好消息（■>0）和坏消息（■<0）对条件方差产生不同的影响：好消息有一个α倍的冲击，即■>0时，■=0，式（7）中的非对称项不存在；而坏消息则有一个■倍的冲击，这是因为，当■<0时，■=1，此时非对称项出现。如果γ>0，说明存在杠杆效应，利空消息对市场产生的冲击要比利好消息的程度大，即非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果γ<0，表明利好消息会带来更强的市场波动而利空消息会降低市场的波动，即非对称效应的作用是使得波动减小。
三、基于GARCH族模型的期权定价原理
下面主要以Hardle和Hanfner（2000）构建的基于TGARCH模型的期权定价为例，阐述期权定价的基本原理。该文选择的风险溢价均值方程为：
■ （8）
式中，ω，α，β是满足平稳条件的常数。λ可以解释为每一风险的单位溢价。
模型（8）是在自然测度P下进行估计的。为得到风险中性测度Q下的鞅过程，Duan（1995）构造了一个新的误差项ηt。ηt加入了时变风险溢价，即■。在测度Q下，模型变为：
■ （9）
运用蒙特卡洛模拟的方法，模拟出基于GARCH模型（9）的风险资产价格时间序列。由于这是在风险中性概率的条件下进行模拟的，所以可以通过无风险利率对期末现金流进行贴现，这样就可以估算出期权的价值了。
值得一提的是，GARCH模型的起始波动率σ0选择，对期权定价结果具有一定影响。本文采用现有文献普遍使用的稳态波动率，作为GARCH模型的起始波动率。由GARCH模型（9）知，穩态波动率■为■。
考虑到GARCH模型在我国证券市场的实证结果[14]，证券收益均值方程一般写成
■
再应用Duan（1995）方法，将上述方程转换为风险中性测度Q下标的资产价格方程，即
■ （10）
其中νt为标准正态分布随机变量。 最后，通过迭代就能得到期权到期日T时刻的价格PT。从而，由蒙特卡洛模拟方法得到的期权价格可表达为：
■ （11）
其中M为独立仿真的资产价格路径数。
基于EGARCH和TGARCH模型的期权定价方法与上面基本类似，仅波动率的计算方法有所不同。在此不再赘述。
四、数值实验
（一）数据选取
关于基础标的资产，本文选用2005年2月23日-2015年4月7日上证50ETF每日收盘价（共计2459个数据）作为原始数据，并基于此构建GARCH族模型。考虑到在此期间内上证50ETF的分红派息等会导致权益变化，进而导致价格的非交易性变动，因此本文选取复权后的收盘价作为本文的数据源。
由于上证50ETF期权在我国是新鲜事物，可用的历史数据并不长。为避免“新鲜事物效应”对期权价格的影响，本文刻意选取该期权已稳定运行一段时间后的市场数据：选取距离到期日2015年4月22日还有10个交易日{2}（即采样2015年4月8日）的4月份看涨期权的收盘价数据。选择超短到期的期权数据，原因在于：第一，距离到期日时间越短，期权价格对波动率的敏感程度越强；第二，国际市场上超短到期的期权交易活跃，应用也很广。因此，分析这样的期权价格将更加具有现实意义。
此外，考虑到流动性与期权价格的关系，本文只选取成交量大于等于1000份的期权价格数据，原因是交投活跃的期权交易可能驱使出较为合理的成交价格。
由于看跌期权可以通过期权的平价定理与看涨期权进行相互的转化，所以本文不选取看跌期权数据。
关于无风险利率的选取，本文选择一年定期银行存款利率作为无风险利率，根据中国银行最新公布的一年定期银行存款利率，本文取r=2.75%。当然，也可选取其他利率，如Shibor，作为无风险利率。但这并不对本文最后结论构成任何实质性影响。
记第t天的收盘价格为Pt，本文用rt来表示第t天的对数收益率，有■，收益率rt的表达式为：■。对数日收益率rt生成样本时间序列。采用EVIEWS6.0对序列rt进行基本的统计分析，样本及其基本的统计结果如下图：
从图2我们可以清晰的看到，上证50ETF的日收益率存在明显的集聚性效应。由图3展示了上证50ETF日收益率的基本统计特征；右侧的统计数据显示，日收益率均值为0.000643，偏度为0.084636，峰度7.08666。Jarque-Bera统计检验显示，该日收益率服从正态分布的概率几乎为零。此外，图3也显示：收益率为极端值的情形，还是有显著异于0的频次发生的。这充分说明：上证50ETF的日收益率分布具有“右偏、超峰和肥尾”特征。
（二）模型参数估计
基于上证50ETF的历史价格，本文采用极大似然法对GARCH族模型的参数进行估计，并对参数结果进行相应的分析。
三个模型的参数估计结果如下表：
从模型参数估计结果本文可以看出，全部参数在5%的显著水平下都是显著的，GARCH族模型能够很好地刻画上证50ETF价格收益率波动聚集的特性。特别地，TGARCH和EGARCH的非对称项系数都是显著的，这说明上证50ETF价格的波动存在显著的非对称性。
（三）数值结果与分析
模型参数确定后，本文采用蒙特卡洛模拟方法，对上证50ETF4月份看涨期权从2015年4月8日-2015年4月22日期间内10个交易日的价格进行模拟（4月23日为期权到期日）。在模拟波动率的过程当中，本文采用前文提到的稳态波动率作为波动率模拟的初始值。模拟的天数以期权剩余期限T为准。利用MATLABR2010b进行编程，模拟计算30000次，得到三个模型输出的期权价格。
为比较三个模型的拟合程度，本文选取了三个比较常用的比较指标来判断模型的优劣，即平均绝对误差（MAE），平均百分比绝对误差（ARPE）以及平均百分比相对误差（RPE）。三者的计算公式如下：
■ （12）
根据以上公式计算各模型的模拟误差，结果如下表：
表4的数值结果显示，针对本文当前所选取的期权数据，三个定价模型输出的期权价格与市场价格相当接近，不存在显著的差异。这表明，GARCH族模型能够较好地刻画上证ETF50指数收益率波动的动态特性。
从三个误差指标（平均绝对误差MAE、平均百分比绝对误差ARPE和平均百分比相对误差RPE）的数值结果来看，TGARCH和EGARCH模型给出的期权价格与市场价格的偏差程度均比GARCH模型的要小。这说明，根据市场信息的非对称影响效应改进的TGARCH和EGARCH模型的定价性能，确实要比GARCH模型好。换句话说，非对称性GARCH模型，更能反映现实市场的实际情况。
进一步地，平均百分比绝对误差（ARPE）指标的数值结果显示，GARCH模型的定价总体要低于市场的实际价格，而TGARCH和EGARCH模型的定价则比市场价格稍微偏高。这表明：应用GARCH模型对上证ETF50指数收益的波动特性建模，将可能会产生“波动率泄漏”问题，从而低估期权价格；而TGARCH和EGARCH模型则总体上高估波动率。有趣的是，本研究可能揭示出一种可能的针对上证ETF50期权的校准方法：即结合GARCH模型和TGARCH（或EGARCH）模型二者的定价结果。
最后，考察GARCH族模型在实值期权（ITM，inthemoney）定价和虚值期权（OTM，outofthemeney）定价性能上的差异，以进一步评判基于GARCH族模型的期权定价适用宽度。表5给出了基于GARCH、TGARCH和EGARCH模型的ITM和OTM看涨期权的定价误差。
表5中的结果清晰地反映出，三个GARCH族模型对实值期权的定价效果均表现出色，平均百分比相对误差（RPE）都在3%左右。然而，对于虚值期权的定价效果，在完全相同参数设置下，三个模型的定价性能表现，均相应地比对实值期权进行定价的效果要差。原因其实也一目了然地反映在表5中：对于参数确定的GARCH族模型，其輸出的实值期权和虚值期权的绝对定价误差，在数量上无显著差别；但由于虚值期权在数值上本身就非常小，往往较接近于0，因此，相对误差就显得额外大。要提高GARCH族模型在虚值期权上定价精度，一种简便有效的方法是：提高模型的阶数。注意到：表4和表5中的GARCH族模型，p=q=1。表6给出了当p=2，q=1 时，三个GARCH族模型对虚值期权的定价效果。 表6中结果显示，提升阶数后的三个GARCH族模型对虚值期权的定价效果都一定程度的改善，具体体现为三个误差指标都降低，如平均百分比相对误差（RPE）比低阶模型给出的结果降低了2%～3%，这说明提高模型的阶数确实能够提升三个GARCH族模型对虚值期权的定价效果。
五、结论
本文基于GARCH族模型对上证50ETF期权进行数值定价，得到以下结论：
一是总体来说，GARCH模型、TGARCH模型以及EGARCH模型给出的期权数值价格与实际价格，均不存在显著的差异。这表明：GARCH族模型能较好地刻画上证50ETF指数收益率的波动特性。
二是考虑了市场信息非对称冲击效应的GARCH改进模型，如TGARCH和EGARCH模型，其定价性能明显优于不作改进的GARCH模型。这本质上表明，“利空”消息和“利好”消息确实对上证50ETF指数波动产生非对称性的冲击效应。
三是在完全相同参数设置下，GARCH族模型在实值期权上的定价性能，要略优于在虚值期权上的定价表现。要提高GARCH族模型在虚值期权上定价精度，一种简便有效的方法是：提高模型的阶数。
注释
{1}Engle（1982）提出了自回归条件异方差（ARCH）模型，其假定收益率残差服从条件正态分布，条件期望为零，条件方差为以前若干期收益率误差平方的函数[8]。但该模型存在拟合时阶数过大等问题。于是Bollerslev（1986）在ARCH型中引入无穷期误差项，得到广义自回归条件异方差（GARCH）模型。Duan（1995）发表了GARCH期权定价模型，以GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型描述资产收益轨迹，反映了标的资产条件波动性的改变[9]。在此基础上，考虑到风险溢价随时间变化而变化的因素，Engle，Lilien&Robbins（1987）提出了ARCH-M 模型。尽管如此，仍然无法解决利空消息和利好消息对股价产生不同冲击的问题，考虑到波动率的非对称性，Nelson（1991），Zakoian（1994）分别给出了EGARCH和TGARCH模型。
{2}这里特地关注“交易日”，而不是自然日，是因为用GARCH模型做时间序列仿真，仿真时长对应的是“总的交易日”，而非自然日。
参考文献
[1]Black，Scholes.Thepricing of options and corporate liabilities[J].Journal of political economy，1973，3（81）：637-659.
[2]Merton.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976，3（2）：125-144.
[3]Hull，White.Thepricing of options on assets with stochastic volatilities[J].The Journal of Finance，1987，2（42）：281-299.
[4]Scott LO.Option pricing when the variance changes randomly：theory estimation and an application[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis，1987，22（1）：419-438.
[5]Heston SL.A Closed Solution For Options With Stochastic Volatility，With Application to Bond and Currency Options[J].Review of Financial Studies，1993，6（2）：327-343.
[6]DBates.Jump and Stochastic Volatility：Exchange Rate Processes Implict in Deutche Markin Options[J]. Review of Financial Studies，1996，9（1）：69-107.
[7]LScott.ricing Stock Optionsina Jump-Diffusion Model with Stochastic Volatility and Interest Rates：Applications of Fourier Inversion Methods[J].Mathematical Finance，1997，7（4）：413-424.
[8]Engle.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，1982，50（4）：987-1008.
[9]Duan，Jin-Chuan.The Garch option pricing model[J].Mathematical Finance，1995，5（31）：13-32.
[10]Jong，Lehnert.Implied GARCH Volatility Forecasting[EB/OL].http：//papers.ssrn.com，2001.
[11]王健，李超杰，何建敏.有交易成本的GARCH-扩散期权定价模型[J].东南大学学报：自然科学版，2006，36（1）： 174-178.
[12]Louis，Wei Guan.Time Series Volatility Forecasts for Option Valuation and Risk Management[R].AFA 2008 New Orleans Meetings Paper，2008.
[13]Christoffersen，Elkamhi，Feunou.JACOBS Option Valuation with Conditional Heteroskedasticity and Non-Normality [EB/OL].http：//papers.ssrn.com/sol3，2007.
[14]何紅霞，胡日东.中国股市价格的波动性研究——基于沪深300指数的GARCH族模型[J].和田师范大学学报，2010，29（3）： 10-12.
[15]刘旭彬.GARCH模型的蒙特卡罗模拟方法及应用[J].统计与决策，2010，2010（23）：163-165.
[16]郑振龙，黄薏舟.波动率预测：GARCH模型与隐含波动率[J].数量经济技术经济研究，2010，2010（1）：140-150.
[17]李云红，魏宇.我国钢材期货市场波动率的GARCH族模型研究[J].数理统计与管理，2013，32（1）：191-201.
[18]吴鑫育，周海林，汪寿阳，马超群.基于GARCH扩散模型的权证定价[J].系统工程理论与实践，2012，32（3）：449-457.
作者简介：张浩林（1992-），男，广东佛山人，硕士研究生，研究方向：计算金融、量化投资。
【关键词】GARCH模型 TGARCH模型 EGARCH模型 期权定价 蒙特卡洛模拟
一、引言
金融衍生品挂牌交易，是基于通货膨胀、供需情况、汇率、利率及标的物价格未来走势的预期等信息基础上竞价成交的，因而交易价格的变化反映了市场的供需关系，是现货价格未来走势的重要信息来源，可为现货市场的成交价格提供重要的参考作用。此外，金融衍生工具不仅能够进行市场预期并发现价格，而且可以通过套期保值来降低价格风险。因此，自产生以来，金融衍生工具交易量呈逐年上升趋势，已经成为整个市场体系不可缺少的一个重要组成部分。经过多年的发展，我国的资本市场也不断地走向成熟，在经过长时间的筹备与模拟测试，我国首个期权合约品种“上证50ETF期权”终于应运而生，于2015年2月9日正式在上海证券交易所挂牌交易，个股期权等其他更多的交易品种也有望在年后推出，由此，2015年也被称为是中国期权的元年。但是，由于我国期权市场刚刚成立，对于符合我国国情的金融衍生工具的定价研究仍较为缺乏。
国内外学术界对期权的定价理论研究有着很长的历史。1973 年由Blake和Scholes提出的传统的B-S模型是一个假设股票价格服从几何布朗运动，在无套利的分析框架下给出的期权定价公式[1]。Merton（1976）认为市场证券的价格分布往往并非是光滑移动的，而是呈现间断的“跳空”过程，提出了一种股票价格遵循跳跃过程的模型，在股票价格服从几何布朗运动之上加入了各种跳跃[2]。这两个模型中都包含了常数波动率假设，但是越来越多的实证研究结果表明，金融产品的收益率分布存在着显著的尖峰、厚尾和非对称等特征。同时，其波动率也并非常数，而具有时变性、波动聚集性。所以，放松波动率为常数的假设，研究波动率的动态变化特性，这对于提升期权定价的准确性具有重要意义。
针对这一内容，当前国内外很多学者都做出了不懈地努力，研究工作大体上可归为两大类：一是，为资产收益波动率构建适当的连续动态方程，如假设波动率为随机过程，Hull和White（1987）[3]、Scott（1987）[4]、Heston（1993）[5]等建立了随机波动率模型；Bates（1996）[6]和Scott（1997）[7]建立了随机波动跳-扩散模型，该模型的优点是能较好刻画出隐含波动率的“微笑”与“偏斜”效应。然而，由于非交易的波动是不能任意用现存资产来复制，因此，波动率方程自身的模型误定风险（misspecificationerror）会使期权定价更加复杂化。尽管从数学角度可以通过一些不现实的假设来简化波动风险模型，但金融实践中要用此模型计算出期权定价，仍然需要使用复杂的数量方法。第二个分支是，利用时间序列方法来构建波动率的离散动力系统，如广义条件自回归（GARCH）系列模型{1}。GARCH族模型在某種意义上可视为随机波动率模型的离散时间版本，其优点在于：能直接从股票的历史价格中得出收益波动率，而不必从同期其他期权推出内含波动率；此外，它具有一定的波动率预测功能。
自GARCH模型提出以后，人们自然联想到利用GARCH模型来定价期权。Duan（1995）通过局部风险中性定价关系（localrisk- neuralvaluationrelationship），建立了基于GARCH模型的离散时间序列的期权定价模型。Hardle和Hanfner（2000）在Duan的工作的基础上，应用TGARCH模型对德国市场期权进行定价，发现基于TGARCH模型的定价结果与BS模型和GARCH模型相比，更接近真实价格。Jong和Lehnert（2001）则认为EGARCH模型能较好地刻画不同期限的“波动率微笑”曲线，构建了一个估计指数期权局部波动率的EGARCH模型，并成功地解释和预测了实际的波动率[10]。王健，李超杰，何建敏（2006）建立了有交易成本的GARCH 扩散期权定价模型[11]。LouisH.Ederington，WeiGuan（2007）对GARCH系列所有模型做了实证研究，发现GARCH（1，1）和TGARCH模型在高波动的时间段内预测偏差特别大[12]。Christoffersen，Elkamhi，Feunou（2007）基于Duan（1995）的GARCH模型，分析了条件非正态分布和条件正态分布下的定价差异，发现前者的定价效果要好于后者[13]。
然而，到目前为止，用GARCH族模型对上证50ETF期权进行定价研究的，并不多见，部分原因在于上证50ETF期权诞生时间非常短暂。因此，本文尝试在这方面做点工作，利用GARCH族模型对上证50ETF期权进行定价研究，试图通过比较三个模型的定价效果，探寻适用于我国现阶段50ETF期权市场的定价模型。
二、GARCH族模型
（一）GARCH模型
传统时间序列模型都假定波动率并不随时间变化的，但在现实市场中波动率具有时变性。Engle提出的ARCH模型能够很好刻画波动率的这种时变特性。
对于某一时间序列yt，其变化规律可由下述回归模型描述：
■ （1）
在t时刻可获得的信息集为Ωt-1的条件下，误差项εt遵循以0为期望、ht为条件方差的正态分布，即■=0，■亦可写作■，其中■。 ■ （2）
其中，■，且■，即条件方差具有m阶自回归形式，则称误差项εt服从m阶自回归条件异方差，记■过程。
上面定义的条件方差，可理解为在己知信息集为Ωt-1（该信息集包括前期所有的误差项信息，如■的条件下，t时刻干扰项εt的方差。对于由公式（2）表示的条件方差，表明前期的m阶误差项对本期误差项εt有着正向且持续的影响。通过该机制，当前期误差值较大时，本期误差值就较大；当前期误差值较小时，本期误差值就较小。由此较好的刻画了ARCH模型所描述的波动率集聚现象。当随机误差项具有异方差性，若用传统的最小二乘法估计就会产生偏差，若使用ARCH模型，则可提高预测精度，亦可知其准确性。当方差较大时，预测值的置信区间会较小，故具有较好的可靠性。
虽然ARCH模型较传统的时间序列模型有所改进，但是仍存在很多缺点，如在现实中应用ARCH模型，为了得到更好的拟合效果需要很大的阶数m，这样不仅增大了计算量，还会带来诸如解释变量多重共线性等其他问题。为了修正ARCH模型的缺点，Bollerslev在1986年对ARCH模型进行扩展，得到了GARCH模型：
■ （3）
由（3）式可看出，GARCH模型与ARCH模型的不同之处在于：扰动项εt的条件方差不仅受到前期残差项平方（■）的影响外，还要受到条件方差滞后项（■）的影响。因此GARCH模型比ARCH模型更具有一般性。同时，ARCH模型只是GARCH（p，q）中q=0时的一个特例。GARCH模型具有很强的概括能力，可以用低阶的GARCH模型来代表高阶的ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。
（二）EGARCH模型
从式看，GARCH模型确实在很大程度上解决了ARCH模型的一些缺陷，且具有较好的可操作性，但GARCH模型（3）依然存在一些缺陷而无法完全刻画金融时间序列波动率的特征，其中最重要的一个缺陷是：GARCH模型没有反映“利空”消息和“利好”消息对股价产生非对称性冲击这个事实。为克服此缺陷，Nelson（1991）将市场信息的非对称影响效应融入到GARCH模型中，提出了指数GARCH模型，即EGARCH模型。
对于序列■，其中■，Vt服从标准正态分布，即Vt～N（0，1）。EGARCH（1，1）模型的条件方差方程可写成：
■ （4）
等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。
非对称效应的存在能够通■过的假设得到检验。只要■，冲击的影响就存在着非对称性。
更高阶的EGARCH（p，q）模型可表示为：
■ （5）
实际应用中，通常会对上述模型进行变换，由■，可得■，模型可变换为：
■ （6）
虽然式（6）和Nelson的模型（5）设定的不同，但是在对这两个模型进行估计而得到的结果中，系数α和β的估计量是相同的，不同的只是截距项ω的值，它将根据分布假设和阶数p的变化而变化，这并不影响分析的结果。同时Nelson假设vt的条件分布是服从广义误差分布（GED），而在实际应用中，可以允许其在正态分布、学生t分布和GED分布中进行选择。
（三）TGARCH模型
与EGARCH模型目的相似，为刻画市场波动率的非对称效应，Zakoian（1994）提出了TGARCH模型，该模型中的条件方差方程被设定为：
■ （7）
其中■是一个虚拟变量，当■时，■；否则，■；只要■，就存在非对称效应。
在式（7）中，条件方差方程中的■项，称为非对称效应项，或TGARCH项。条件方差方程表明ht依赖于前期的残差平方■和条件方差■的大小。好消息（■>0）和坏消息（■<0）对条件方差产生不同的影响：好消息有一个α倍的冲击，即■>0时，■=0，式（7）中的非对称项不存在；而坏消息则有一个■倍的冲击，这是因为，当■<0时，■=1，此时非对称项出现。如果γ>0，说明存在杠杆效应，利空消息对市场产生的冲击要比利好消息的程度大，即非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果γ<0，表明利好消息会带来更强的市场波动而利空消息会降低市场的波动，即非对称效应的作用是使得波动减小。
三、基于GARCH族模型的期权定价原理
下面主要以Hardle和Hanfner（2000）构建的基于TGARCH模型的期权定价为例，阐述期权定价的基本原理。该文选择的风险溢价均值方程为：
■ （8）
式中，ω，α，β是满足平稳条件的常数。λ可以解释为每一风险的单位溢价。
模型（8）是在自然测度P下进行估计的。为得到风险中性测度Q下的鞅过程，Duan（1995）构造了一个新的误差项ηt。ηt加入了时变风险溢价，即■。在测度Q下，模型变为：
■ （9）
运用蒙特卡洛模拟的方法，模拟出基于GARCH模型（9）的风险资产价格时间序列。由于这是在风险中性概率的条件下进行模拟的，所以可以通过无风险利率对期末现金流进行贴现，这样就可以估算出期权的价值了。
值得一提的是，GARCH模型的起始波动率σ0选择，对期权定价结果具有一定影响。本文采用现有文献普遍使用的稳态波动率，作为GARCH模型的起始波动率。由GARCH模型（9）知，穩态波动率■为■。
考虑到GARCH模型在我国证券市场的实证结果[14]，证券收益均值方程一般写成
■
再应用Duan（1995）方法，将上述方程转换为风险中性测度Q下标的资产价格方程，即
■ （10）
其中νt为标准正态分布随机变量。 最后，通过迭代就能得到期权到期日T时刻的价格PT。从而，由蒙特卡洛模拟方法得到的期权价格可表达为：
■ （11）
其中M为独立仿真的资产价格路径数。
基于EGARCH和TGARCH模型的期权定价方法与上面基本类似，仅波动率的计算方法有所不同。在此不再赘述。
四、数值实验
（一）数据选取
关于基础标的资产，本文选用2005年2月23日-2015年4月7日上证50ETF每日收盘价（共计2459个数据）作为原始数据，并基于此构建GARCH族模型。考虑到在此期间内上证50ETF的分红派息等会导致权益变化，进而导致价格的非交易性变动，因此本文选取复权后的收盘价作为本文的数据源。
由于上证50ETF期权在我国是新鲜事物，可用的历史数据并不长。为避免“新鲜事物效应”对期权价格的影响，本文刻意选取该期权已稳定运行一段时间后的市场数据：选取距离到期日2015年4月22日还有10个交易日{2}（即采样2015年4月8日）的4月份看涨期权的收盘价数据。选择超短到期的期权数据，原因在于：第一，距离到期日时间越短，期权价格对波动率的敏感程度越强；第二，国际市场上超短到期的期权交易活跃，应用也很广。因此，分析这样的期权价格将更加具有现实意义。
此外，考虑到流动性与期权价格的关系，本文只选取成交量大于等于1000份的期权价格数据，原因是交投活跃的期权交易可能驱使出较为合理的成交价格。
由于看跌期权可以通过期权的平价定理与看涨期权进行相互的转化，所以本文不选取看跌期权数据。
关于无风险利率的选取，本文选择一年定期银行存款利率作为无风险利率，根据中国银行最新公布的一年定期银行存款利率，本文取r=2.75%。当然，也可选取其他利率，如Shibor，作为无风险利率。但这并不对本文最后结论构成任何实质性影响。
记第t天的收盘价格为Pt，本文用rt来表示第t天的对数收益率，有■，收益率rt的表达式为：■。对数日收益率rt生成样本时间序列。采用EVIEWS6.0对序列rt进行基本的统计分析，样本及其基本的统计结果如下图：
从图2我们可以清晰的看到，上证50ETF的日收益率存在明显的集聚性效应。由图3展示了上证50ETF日收益率的基本统计特征；右侧的统计数据显示，日收益率均值为0.000643，偏度为0.084636，峰度7.08666。Jarque-Bera统计检验显示，该日收益率服从正态分布的概率几乎为零。此外，图3也显示：收益率为极端值的情形，还是有显著异于0的频次发生的。这充分说明：上证50ETF的日收益率分布具有“右偏、超峰和肥尾”特征。
（二）模型参数估计
基于上证50ETF的历史价格，本文采用极大似然法对GARCH族模型的参数进行估计，并对参数结果进行相应的分析。
三个模型的参数估计结果如下表：
从模型参数估计结果本文可以看出，全部参数在5%的显著水平下都是显著的，GARCH族模型能够很好地刻画上证50ETF价格收益率波动聚集的特性。特别地，TGARCH和EGARCH的非对称项系数都是显著的，这说明上证50ETF价格的波动存在显著的非对称性。
（三）数值结果与分析
模型参数确定后，本文采用蒙特卡洛模拟方法，对上证50ETF4月份看涨期权从2015年4月8日-2015年4月22日期间内10个交易日的价格进行模拟（4月23日为期权到期日）。在模拟波动率的过程当中，本文采用前文提到的稳态波动率作为波动率模拟的初始值。模拟的天数以期权剩余期限T为准。利用MATLABR2010b进行编程，模拟计算30000次，得到三个模型输出的期权价格。
为比较三个模型的拟合程度，本文选取了三个比较常用的比较指标来判断模型的优劣，即平均绝对误差（MAE），平均百分比绝对误差（ARPE）以及平均百分比相对误差（RPE）。三者的计算公式如下：
■ （12）
根据以上公式计算各模型的模拟误差，结果如下表：
表4的数值结果显示，针对本文当前所选取的期权数据，三个定价模型输出的期权价格与市场价格相当接近，不存在显著的差异。这表明，GARCH族模型能够较好地刻画上证ETF50指数收益率波动的动态特性。
从三个误差指标（平均绝对误差MAE、平均百分比绝对误差ARPE和平均百分比相对误差RPE）的数值结果来看，TGARCH和EGARCH模型给出的期权价格与市场价格的偏差程度均比GARCH模型的要小。这说明，根据市场信息的非对称影响效应改进的TGARCH和EGARCH模型的定价性能，确实要比GARCH模型好。换句话说，非对称性GARCH模型，更能反映现实市场的实际情况。
进一步地，平均百分比绝对误差（ARPE）指标的数值结果显示，GARCH模型的定价总体要低于市场的实际价格，而TGARCH和EGARCH模型的定价则比市场价格稍微偏高。这表明：应用GARCH模型对上证ETF50指数收益的波动特性建模，将可能会产生“波动率泄漏”问题，从而低估期权价格；而TGARCH和EGARCH模型则总体上高估波动率。有趣的是，本研究可能揭示出一种可能的针对上证ETF50期权的校准方法：即结合GARCH模型和TGARCH（或EGARCH）模型二者的定价结果。
最后，考察GARCH族模型在实值期权（ITM，inthemoney）定价和虚值期权（OTM，outofthemeney）定价性能上的差异，以进一步评判基于GARCH族模型的期权定价适用宽度。表5给出了基于GARCH、TGARCH和EGARCH模型的ITM和OTM看涨期权的定价误差。
表5中的结果清晰地反映出，三个GARCH族模型对实值期权的定价效果均表现出色，平均百分比相对误差（RPE）都在3%左右。然而，对于虚值期权的定价效果，在完全相同参数设置下，三个模型的定价性能表现，均相应地比对实值期权进行定价的效果要差。原因其实也一目了然地反映在表5中：对于参数确定的GARCH族模型，其輸出的实值期权和虚值期权的绝对定价误差，在数量上无显著差别；但由于虚值期权在数值上本身就非常小，往往较接近于0，因此，相对误差就显得额外大。要提高GARCH族模型在虚值期权上定价精度，一种简便有效的方法是：提高模型的阶数。注意到：表4和表5中的GARCH族模型，p=q=1。表6给出了当p=2，q=1 时，三个GARCH族模型对虚值期权的定价效果。 表6中结果显示，提升阶数后的三个GARCH族模型对虚值期权的定价效果都一定程度的改善，具体体现为三个误差指标都降低，如平均百分比相对误差（RPE）比低阶模型给出的结果降低了2%～3%，这说明提高模型的阶数确实能够提升三个GARCH族模型对虚值期权的定价效果。
五、结论
本文基于GARCH族模型对上证50ETF期权进行数值定价，得到以下结论：
一是总体来说，GARCH模型、TGARCH模型以及EGARCH模型给出的期权数值价格与实际价格，均不存在显著的差异。这表明：GARCH族模型能较好地刻画上证50ETF指数收益率的波动特性。
二是考虑了市场信息非对称冲击效应的GARCH改进模型，如TGARCH和EGARCH模型，其定价性能明显优于不作改进的GARCH模型。这本质上表明，“利空”消息和“利好”消息确实对上证50ETF指数波动产生非对称性的冲击效应。
三是在完全相同参数设置下，GARCH族模型在实值期权上的定价性能，要略优于在虚值期权上的定价表现。要提高GARCH族模型在虚值期权上定价精度，一种简便有效的方法是：提高模型的阶数。
注释
{1}Engle（1982）提出了自回归条件异方差（ARCH）模型，其假定收益率残差服从条件正态分布，条件期望为零，条件方差为以前若干期收益率误差平方的函数[8]。但该模型存在拟合时阶数过大等问题。于是Bollerslev（1986）在ARCH型中引入无穷期误差项，得到广义自回归条件异方差（GARCH）模型。Duan（1995）发表了GARCH期权定价模型，以GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型描述资产收益轨迹，反映了标的资产条件波动性的改变[9]。在此基础上，考虑到风险溢价随时间变化而变化的因素，Engle，Lilien&Robbins（1987）提出了ARCH-M 模型。尽管如此，仍然无法解决利空消息和利好消息对股价产生不同冲击的问题，考虑到波动率的非对称性，Nelson（1991），Zakoian（1994）分别给出了EGARCH和TGARCH模型。
{2}这里特地关注“交易日”，而不是自然日，是因为用GARCH模型做时间序列仿真，仿真时长对应的是“总的交易日”，而非自然日。
参考文献
[1]Black，Scholes.Thepricing of options and corporate liabilities[J].Journal of political economy，1973，3（81）：637-659.
[2]Merton.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976，3（2）：125-144.
[3]Hull，White.Thepricing of options on assets with stochastic volatilities[J].The Journal of Finance，1987，2（42）：281-299.
[4]Scott LO.Option pricing when the variance changes randomly：theory estimation and an application[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis，1987，22（1）：419-438.
[5]Heston SL.A Closed Solution For Options With Stochastic Volatility，With Application to Bond and Currency Options[J].Review of Financial Studies，1993，6（2）：327-343.
[6]DBates.Jump and Stochastic Volatility：Exchange Rate Processes Implict in Deutche Markin Options[J]. Review of Financial Studies，1996，9（1）：69-107.
[7]LScott.ricing Stock Optionsina Jump-Diffusion Model with Stochastic Volatility and Interest Rates：Applications of Fourier Inversion Methods[J].Mathematical Finance，1997，7（4）：413-424.
[8]Engle.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，1982，50（4）：987-1008.
[9]Duan，Jin-Chuan.The Garch option pricing model[J].Mathematical Finance，1995，5（31）：13-32.
[10]Jong，Lehnert.Implied GARCH Volatility Forecasting[EB/OL].http：//papers.ssrn.com，2001.
[11]王健，李超杰，何建敏.有交易成本的GARCH-扩散期权定价模型[J].东南大学学报：自然科学版，2006，36（1）： 174-178.
[12]Louis，Wei Guan.Time Series Volatility Forecasts for Option Valuation and Risk Management[R].AFA 2008 New Orleans Meetings Paper，2008.
[13]Christoffersen，Elkamhi，Feunou.JACOBS Option Valuation with Conditional Heteroskedasticity and Non-Normality [EB/OL].http：//papers.ssrn.com/sol3，2007.
[14]何紅霞，胡日东.中国股市价格的波动性研究——基于沪深300指数的GARCH族模型[J].和田师范大学学报，2010，29（3）： 10-12.
[15]刘旭彬.GARCH模型的蒙特卡罗模拟方法及应用[J].统计与决策，2010，2010（23）：163-165.
[16]郑振龙，黄薏舟.波动率预测：GARCH模型与隐含波动率[J].数量经济技术经济研究，2010，2010（1）：140-150.
[17]李云红，魏宇.我国钢材期货市场波动率的GARCH族模型研究[J].数理统计与管理，2013，32（1）：191-201.
[18]吴鑫育，周海林，汪寿阳，马超群.基于GARCH扩散模型的权证定价[J].系统工程理论与实践，2012，32（3）：449-457.
作者简介：张浩林（1992-），男，广东佛山人，硕士研究生，研究方向：计算金融、量化投资。