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摘 要：测地线是两点间实际距离最短的路线，测地线在实际应用中非常广泛；近些年来，随着国内复合材料自动铺丝技术的不断发展，测地线轨迹的生成变得至关重要，原因在于我们可以基于测地线轨迹设计出其它新定义的轨迹并在很大程度上保证轨迹质量，能够看到，国内外的铺丝软件中轨迹设计模块几乎都包含了测地线生成算法。笔者这里提出一种测地线轨迹生成思路，并简单验证。
关键词：测地线；两点；生成；轨迹
1 引言
测地线轨迹是最基本的轨迹，其背后有深刻的数学规律和物理意义，测地线方程蕴含了大量微分几何的内容，解析式较抽象，但在文字描述中很直观，即曲面上的两点间最短路径。目前的文献中可看到生成测地线的方法以数值求解常微分方程和基于网格的测地线生成[1]为主。两种方法需要的输入条件都有轨迹起始点的坐标和轨迹起始点的方向，通过显式或隐式迭代来控制轨迹满足约束方程，按顺序求出所有点的坐标，再将点依次用直线连接形成测地线轨迹或是用所有点插值的B样条曲线垂直投影于曲面形成测地线。笔者认为两种方法都是目前最实用高效的方法，尤其是基于网格曲面的测地线生成法，其思路简明，可行性高。生成测地线的另一种思路是已知两点从而求解两点间的最短轨迹；该思路相比已知初始点和初始点方向求解的思路，能满足两端点的位置边界条件，理论上能做到测地线的精确度更高；相关文献中给出两点间测地线算法基本都可以归于局部搜索法，每一步迭代以减小距离为目的直到收敛到最小值。笔者提出的两点间测地线生成思路来源于约束在曲面上的曲线两端受力分析，即在曲面上设置A、B两点，约束绳只能在曲面上移动；将绳穿过A、B点，绳一端固定于B点，在A点拉绳，绳在A、B两点间的轨迹收敛为测地线轨迹，模型如图1所示。笔者称这样的过程为自然策略，在接下来章节我们将对该思路进行简单分析和平面验证。
2 自然策略分析
2.1 微小单元基础
从最简单的模型分析开始，取一平面和一段曲线，曲线以两段直线代替，设直线在平面内为刚体，如图2所示；其中线在C点固定，B为线上的一点，线从A端受力被拉出，直到拉不动为止。
假设每次从A拉出的长度为ds，则有A、B、C满足下面几何关系，其中 代表点的位置向量，i代表第i次运算。
对于曲面单元来说，几何方程没变化；力平衡方程根据曲面特征而变化，主要多引入了曲面的法向量信息。
2.2曲线分析
自然策略即是给出任意一条经过两端点的曲线，将曲面曲线离散，用数学方法模拟曲线自然收敛成测地线的过程，它需要用的条件包括曲线的切矢、主法向量以及曲面的法向量。初始曲线的好坏影响收敛效率，一般情况建议用空间中过两点的直线在曲面上的垂直投影曲线作为初始曲线。由微分几何的知识我们知道测地线每一点处的主法线方向都是曲面在该点的法线方向，即 ，此时曲线所有离散点都满足几何方程和力平衡方程。
这里以空间直线生成的初始曲线为例进行计算过程说明，见图4。首先对空间直线进行等距离散，过每个离散端点做该空间直线的法平面，每个法平面都与曲面有交线；假设离散了n个点，则对应有n个法平面和n条交线（交线记为 ，图中绿色的虚线），直线投影在曲面上的曲线（图中为红色的曲线）记为 ， 与 的交点记为控制点 ， 作为变量可在相对应的 上运动；每一次迭代计算完毕，生成新的n个控制点 ，依次直线连接控制点以生成新的 。重复上述过程使 不断收敛成测地线。
这里，笔者给出了初步调整控制点的方法，以计算 ，控制点满足下面方程：
其中 表示第i个控制点的位置矢量，k为常数， 是曲面在第i个控制点的外法向量或内法向量（需统一方向）。由于 在 上有两个运动方向，为了保证运动方向的正确性，笔者给出初步判断 运动方向的条件：
至此，完成了自然策略生成曲面上两点间测地线的生成方法；前文中由笔者给出的初步方程和判斷条件以及最终收敛条件均是可优化的。
2.3平面算例
笔者基于matlab编写程序做了平面算例，初步验证自然策略方法的可行性。平面的法向量处处相等，控制方程 中不用每次都计算 ，以平面法向量 代替 ；控制点的运动方向条件由 简化为 。
其中两个端点坐标为（0，0）和（50，0），P1、P2分别为横坐标与纵坐标。控制点设置为49个，纵坐标取值区间为 ，取值概率均匀分布，迭代次数为2000；经自然策略方法计算后结果如下，曲线由矩阵形式的三次B样条曲线[2]对控制点插值得到：
经过计算后生成的测地线与实际测地线的最大偏差为0.0387，与初始曲线的对比如下：
可以从图上看出，蓝色的曲线（初始曲线）经计算后收敛成红色的曲线；实际计算结果显示经迭代后的曲线随控制点设置数量和迭代次数的增加而更精确地逼近理论测地线。
总结
自然策略生成测地线的方法思路来源于简单的几何关系和力学关系，利用了曲面和曲线的自身性质特点；本文初步模拟了曲线一端固定，一端过定点受拉的几何收敛过程，并由此生成测地线，经过平面算例验证该思路是可行的。笔者在文中给出的控制点运动方向判断方程以及控制点步长均可根据自己需要进行改进优化；该算例中控制点的变化是依次进行的，实际上可在运算控制点的步骤中加入力平衡方程的决策条件，这样即可实现控制点的联动，大大加快收敛效率。自动铺丝技术中的轨迹规划阶段常常需要利用测地线，目前生成测地线的方法基本都是通过设置初始点和初始方向从而依次计算轨迹的过程，通过两点生成测地线的方法无疑能够完善自动铺丝的轨迹规划设计；自然策略方法为两点间测点线的生成提供了新的思路，对自动铺丝轨迹设计的研究有一定参考价值。
参考文献
[1] 熊文磊.基于网格化曲面的自动铺丝轨迹规划研究[D].南京：南京航空航天大学，2012.
[2] 符祥.三次均匀B样条插值曲线和曲面的矩阵形式[J].光电子·激光，2007，18（8）：992-995.
关键词：测地线；两点；生成；轨迹
1 引言
测地线轨迹是最基本的轨迹，其背后有深刻的数学规律和物理意义，测地线方程蕴含了大量微分几何的内容，解析式较抽象，但在文字描述中很直观，即曲面上的两点间最短路径。目前的文献中可看到生成测地线的方法以数值求解常微分方程和基于网格的测地线生成[1]为主。两种方法需要的输入条件都有轨迹起始点的坐标和轨迹起始点的方向，通过显式或隐式迭代来控制轨迹满足约束方程，按顺序求出所有点的坐标，再将点依次用直线连接形成测地线轨迹或是用所有点插值的B样条曲线垂直投影于曲面形成测地线。笔者认为两种方法都是目前最实用高效的方法，尤其是基于网格曲面的测地线生成法，其思路简明，可行性高。生成测地线的另一种思路是已知两点从而求解两点间的最短轨迹；该思路相比已知初始点和初始点方向求解的思路，能满足两端点的位置边界条件，理论上能做到测地线的精确度更高；相关文献中给出两点间测地线算法基本都可以归于局部搜索法，每一步迭代以减小距离为目的直到收敛到最小值。笔者提出的两点间测地线生成思路来源于约束在曲面上的曲线两端受力分析，即在曲面上设置A、B两点，约束绳只能在曲面上移动；将绳穿过A、B点，绳一端固定于B点，在A点拉绳，绳在A、B两点间的轨迹收敛为测地线轨迹，模型如图1所示。笔者称这样的过程为自然策略，在接下来章节我们将对该思路进行简单分析和平面验证。
2 自然策略分析
2.1 微小单元基础
从最简单的模型分析开始，取一平面和一段曲线，曲线以两段直线代替，设直线在平面内为刚体，如图2所示；其中线在C点固定，B为线上的一点，线从A端受力被拉出，直到拉不动为止。
假设每次从A拉出的长度为ds，则有A、B、C满足下面几何关系，其中 代表点的位置向量，i代表第i次运算。
对于曲面单元来说，几何方程没变化；力平衡方程根据曲面特征而变化，主要多引入了曲面的法向量信息。
2.2曲线分析
自然策略即是给出任意一条经过两端点的曲线，将曲面曲线离散，用数学方法模拟曲线自然收敛成测地线的过程，它需要用的条件包括曲线的切矢、主法向量以及曲面的法向量。初始曲线的好坏影响收敛效率，一般情况建议用空间中过两点的直线在曲面上的垂直投影曲线作为初始曲线。由微分几何的知识我们知道测地线每一点处的主法线方向都是曲面在该点的法线方向，即 ，此时曲线所有离散点都满足几何方程和力平衡方程。
这里以空间直线生成的初始曲线为例进行计算过程说明，见图4。首先对空间直线进行等距离散，过每个离散端点做该空间直线的法平面，每个法平面都与曲面有交线；假设离散了n个点，则对应有n个法平面和n条交线（交线记为 ，图中绿色的虚线），直线投影在曲面上的曲线（图中为红色的曲线）记为 ， 与 的交点记为控制点 ， 作为变量可在相对应的 上运动；每一次迭代计算完毕，生成新的n个控制点 ，依次直线连接控制点以生成新的 。重复上述过程使 不断收敛成测地线。
这里，笔者给出了初步调整控制点的方法，以计算 ，控制点满足下面方程：
其中 表示第i个控制点的位置矢量，k为常数， 是曲面在第i个控制点的外法向量或内法向量（需统一方向）。由于 在 上有两个运动方向，为了保证运动方向的正确性，笔者给出初步判断 运动方向的条件：
至此，完成了自然策略生成曲面上两点间测地线的生成方法；前文中由笔者给出的初步方程和判斷条件以及最终收敛条件均是可优化的。
2.3平面算例
笔者基于matlab编写程序做了平面算例，初步验证自然策略方法的可行性。平面的法向量处处相等，控制方程 中不用每次都计算 ，以平面法向量 代替 ；控制点的运动方向条件由 简化为 。
其中两个端点坐标为（0，0）和（50，0），P1、P2分别为横坐标与纵坐标。控制点设置为49个，纵坐标取值区间为 ，取值概率均匀分布，迭代次数为2000；经自然策略方法计算后结果如下，曲线由矩阵形式的三次B样条曲线[2]对控制点插值得到：
经过计算后生成的测地线与实际测地线的最大偏差为0.0387，与初始曲线的对比如下：
可以从图上看出，蓝色的曲线（初始曲线）经计算后收敛成红色的曲线；实际计算结果显示经迭代后的曲线随控制点设置数量和迭代次数的增加而更精确地逼近理论测地线。
总结
自然策略生成测地线的方法思路来源于简单的几何关系和力学关系，利用了曲面和曲线的自身性质特点；本文初步模拟了曲线一端固定，一端过定点受拉的几何收敛过程，并由此生成测地线，经过平面算例验证该思路是可行的。笔者在文中给出的控制点运动方向判断方程以及控制点步长均可根据自己需要进行改进优化；该算例中控制点的变化是依次进行的，实际上可在运算控制点的步骤中加入力平衡方程的决策条件，这样即可实现控制点的联动，大大加快收敛效率。自动铺丝技术中的轨迹规划阶段常常需要利用测地线，目前生成测地线的方法基本都是通过设置初始点和初始方向从而依次计算轨迹的过程，通过两点生成测地线的方法无疑能够完善自动铺丝的轨迹规划设计；自然策略方法为两点间测点线的生成提供了新的思路，对自动铺丝轨迹设计的研究有一定参考价值。
参考文献
[1] 熊文磊.基于网格化曲面的自动铺丝轨迹规划研究[D].南京：南京航空航天大学，2012.
[2] 符祥.三次均匀B样条插值曲线和曲面的矩阵形式[J].光电子·激光，2007，18（8）：992-995.