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【摘要】数形结合思想通过"以形助数，以数解形"，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的。数形结合不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。因此，课堂教学中，教师要合理、灵活地使用数形结合的方法、展现数形结合的魅力、降低学生的学习难度，充分体现学生的主体性，从而激发学习兴趣，提高学习效率，发展智力与技能。应用数形结合思想时，要充分考察数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何本质，将数量关系和图形图像巧妙结合。
【关键词】中学数学 数形结合思想 优化解题
1.数形结合思想的两个方面
数形结合思想一般包括"以形助数"和"以数解形"两个方面，而高中阶段用的较多的是以"形助数"。数形结合思想不仅直观、形象，易发现解题途径，而且避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，这在解选择题、填空题中尤显其优越性。
1.1以形助数（"数"中思"形"）：一个代数问题（数量关系）如果用纯代数方法难以解决，可以考察其数量的结构，构造出与之相对应的几何图像，借助图形的直观性，讨论解答。
例1：求函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1 的最大值。
解：
f(x)=(x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+(x-0)2 ，
上式可看作抛物线y=x2上一点p(x,x2) 到A(3,2)、B（0,1）的距离之差的最大值，即f(x)=|PA|-|PB|≤|AB|=10,P为AB延长线与抛物线y=x2 的交点P0 时,f(x)取得最大值10 .
注：特殊情况下利用图形可使高次函数问题转化为求距离的和、差问题来解决。
例2、已知0 析：判断该方程根的个数就是判断两函数y=a|x|、y=|logax|交点的个数，画出两函数的图像（如图2）。易知两函数只有两个交点。
注：数学中有时会碰到一些不易求解的方程或不等式，但是我们可以借助相应的函数图像，由图像的交点判断方程的解的个数，由图像的位置得出不等式解的情况。
1.2以数解形（"形"中觅"数"）：对于几何图形如果难以用纯几何方法难以解决，常常建立适用的坐标系，找到反应此几何问题的点的坐标满足的代数关系，借助代数的运算进行解答。
例如无理数2 、3的发现，由边长为1的直角三角形得。
代数恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2 的证明如图。
理解完全平方公式与平方差公式类似 我们把a+b看成是一个大正方形 的边长,那么这个正方形的面积(a+b)2是由四部分组成的，两个正方形边长分别是a,b．两个全等的长方形。长a、宽b，所以大正方形的面积是a2+2ab+b2学生借助这些 图形。结合学过的面积公式及字母表示数的知识，很容易就能理解和掌握这些复杂的数学公式了，华罗庚说 ："数缺形时少直观，形缺数时难人微。"要把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终。是学好数学的关键之一。
2.数形结合思想的弊端
图像的直观性使我们失去了精确的计算，解答的简洁使我们失去了深刻反思的机会，因而在用数形结合时要慎之又慎，下面从数形结合的局限性方面使读者能有所悟。
2.1图形精确性差。
例3：函数y=sinx与y=tanx的图像在(-π2，π2) 上的交点个数为。
析：对该类函数问题大家已经习惯于用图像来解决之，在同一坐标系下，做出两函数的图像（右图所示），已知有三个交点，其实这是一错误的分析，因为在(0,π2) 上，tanx≥ sinx恒成立的，即在(0,π2) 两曲线无交点；同理，在(-π2,0)上两曲线也无交点，因而两曲线只交于一点。
2.2图形缺乏完整性。
例4：设M={(x,y)|y=x2} ，N={(x,y)|y=2x} ,则M∩N 中元素个数为。
析：这是一个大家都已知道利用函数图像来解决的问题，但也是一个容易出错的问题，一般都会在同一
坐标系中划出两函数的图像（如右图4），从而判断他们有两个交点；其实这是一错误的判断，由于我们在作图时只能做出函数的一部分简图，难免会失去对全局的观察，正确图形如下图5：由此可知：两函数图像有三个交点。
注：利用数形结合解题时必须注意作图的完整性，特别是有变化的区域一定要刻划清楚，以免以偏概全。
3.数形结合思想解题时注意事项
"数"的精确性：一些判断公共点的个数问题转化为图形后一定要精确才能得出正确结论；"形"的全面性：有些数学问题所对应的图形不唯一，就必须根据不同情况作出相应的图形进行讨论求解。
数形结合思想在解题中的应用除本文介绍的几种题型外还有其他题型，如在解决线性规划问题，集合问题。数与形及其相互关系是数学研究的基本内容 ，在数学教学中教师要有意识地沟通数与形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具。 新课程呼唤我们每位教师要从根本上改变教学方法，强化数学思想方法的教与学，培养学生运用数学思想方法 的意识和能力，锻炼学生的思维品质，使课堂教学"增值"。
数形结合思想一言以蔽之：见到数量就要考虑它的几何意义、见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在中学数教学中起着举足轻重的作用。
参考文献
［1］邱春来．数形结合法的应用及误差［Ｊ］．中学数学，2004，2．
［２］林玉粦．用数形结合求函数的最值［Ｊ］．中学数学，2001，4．
［３］朱恩九．"以形辅数"的解题途径［Ｊ］．数学通报，1994，4：33－35．
【关键词】中学数学 数形结合思想 优化解题
1.数形结合思想的两个方面
数形结合思想一般包括"以形助数"和"以数解形"两个方面，而高中阶段用的较多的是以"形助数"。数形结合思想不仅直观、形象，易发现解题途径，而且避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，这在解选择题、填空题中尤显其优越性。
1.1以形助数（"数"中思"形"）：一个代数问题（数量关系）如果用纯代数方法难以解决，可以考察其数量的结构，构造出与之相对应的几何图像，借助图形的直观性，讨论解答。
例1：求函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1 的最大值。
解：
f(x)=(x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+(x-0)2 ，
上式可看作抛物线y=x2上一点p(x,x2) 到A(3,2)、B（0,1）的距离之差的最大值，即f(x)=|PA|-|PB|≤|AB|=10,P为AB延长线与抛物线y=x2 的交点P0 时,f(x)取得最大值10 .
注：特殊情况下利用图形可使高次函数问题转化为求距离的和、差问题来解决。
例2、已知0
注：数学中有时会碰到一些不易求解的方程或不等式，但是我们可以借助相应的函数图像，由图像的交点判断方程的解的个数，由图像的位置得出不等式解的情况。
1.2以数解形（"形"中觅"数"）：对于几何图形如果难以用纯几何方法难以解决，常常建立适用的坐标系，找到反应此几何问题的点的坐标满足的代数关系，借助代数的运算进行解答。
例如无理数2 、3的发现，由边长为1的直角三角形得。
代数恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2 的证明如图。
理解完全平方公式与平方差公式类似 我们把a+b看成是一个大正方形 的边长,那么这个正方形的面积(a+b)2是由四部分组成的，两个正方形边长分别是a,b．两个全等的长方形。长a、宽b，所以大正方形的面积是a2+2ab+b2学生借助这些 图形。结合学过的面积公式及字母表示数的知识，很容易就能理解和掌握这些复杂的数学公式了，华罗庚说 ："数缺形时少直观，形缺数时难人微。"要把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终。是学好数学的关键之一。
2.数形结合思想的弊端
图像的直观性使我们失去了精确的计算，解答的简洁使我们失去了深刻反思的机会，因而在用数形结合时要慎之又慎，下面从数形结合的局限性方面使读者能有所悟。
2.1图形精确性差。
例3：函数y=sinx与y=tanx的图像在(-π2，π2) 上的交点个数为。
析：对该类函数问题大家已经习惯于用图像来解决之，在同一坐标系下，做出两函数的图像（右图所示），已知有三个交点，其实这是一错误的分析，因为在(0,π2) 上，tanx≥ sinx恒成立的，即在(0,π2) 两曲线无交点；同理，在(-π2,0)上两曲线也无交点，因而两曲线只交于一点。
2.2图形缺乏完整性。
例4：设M={(x,y)|y=x2} ，N={(x,y)|y=2x} ,则M∩N 中元素个数为。
析：这是一个大家都已知道利用函数图像来解决的问题，但也是一个容易出错的问题，一般都会在同一
坐标系中划出两函数的图像（如右图4），从而判断他们有两个交点；其实这是一错误的判断，由于我们在作图时只能做出函数的一部分简图，难免会失去对全局的观察，正确图形如下图5：由此可知：两函数图像有三个交点。
注：利用数形结合解题时必须注意作图的完整性，特别是有变化的区域一定要刻划清楚，以免以偏概全。
3.数形结合思想解题时注意事项
"数"的精确性：一些判断公共点的个数问题转化为图形后一定要精确才能得出正确结论；"形"的全面性：有些数学问题所对应的图形不唯一，就必须根据不同情况作出相应的图形进行讨论求解。
数形结合思想在解题中的应用除本文介绍的几种题型外还有其他题型，如在解决线性规划问题，集合问题。数与形及其相互关系是数学研究的基本内容 ，在数学教学中教师要有意识地沟通数与形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具。 新课程呼唤我们每位教师要从根本上改变教学方法，强化数学思想方法的教与学，培养学生运用数学思想方法 的意识和能力，锻炼学生的思维品质，使课堂教学"增值"。
数形结合思想一言以蔽之：见到数量就要考虑它的几何意义、见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在中学数教学中起着举足轻重的作用。
参考文献
［1］邱春来．数形结合法的应用及误差［Ｊ］．中学数学，2004，2．
［２］林玉粦．用数形结合求函数的最值［Ｊ］．中学数学，2001，4．
［３］朱恩九．"以形辅数"的解题途径［Ｊ］．数学通报，1994，4：33－35．