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所谓数学探究性学习，是指“学生在数学领域或现实生活的情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”所以“探究式”教学同时也完全符合在学生掌握基础知识的前提下，以培养学生实践能力和创新精神为重点的当代教学原则。此教学内容的选材依托于课本中的内容：“由祖暅原理和圆柱、圆锥体的体积公式可得球体积公式 ”。尽管教材中未给出该公式的严格推导过程，但本着“来源于教材，理由在书中”的原则，我认为这是一个很好的“探究”切入点，能留给学生较大的思维创造空间，避免了为“探究”而设计的“探究课”，能顺应新课程发展的要求。
故我把整节课的教学设计如下：
教学目标
（1）知识与技能目标：
利用祖暅原理，知道球体积公式的一种推导方法，并应用其求椭球体积；
（2）过程与方法目标：
通过对球体积公式的探求，体验数学发现和创造的历程，学会观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；
（3）情感、态度与价值观目标：
通过师生互动、生生互动共同探究的教学活动，形成学生的体验性认识，培养学生勇于探索的个性品质。
教学重点和难点
利用祖暅原理探求球体积公式。
教学过程设计
（一）
1.复习祖暅原理及棱柱、圆柱体体积公式；
约在公元5世纪，我国数学家祖暅在研究“开立圆术”中指出“夫叠綦成立积，缘幂势既同，则积不容异”。其意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。这一论述被后人称为祖暅原理。
设计意图：数学史与数学文化融入数学教育，使数学史中的思想方法为数学教育服务。
用祖暅原理可证明：
两个等底等高的棱（圆）柱的体积相等。（图1）
2.复习棱锥、圆锥体体积公式
用祖暅原理可证明：
两个等底等高的棱（圆）锥的体积相等。（图2）
（二）新课导入
1.复习球体积公式 ，直接抛出问题：课本中已介绍过应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法。如何根据课本提示，由祖暅原理和圆柱、圆锥体的体积公式去推导球体积公式？
设计意图：开门见山地告知学生今天的学习任务，但问题较大，学生的个体差异会使部分学生找不到思考的切入点，故我设计将任务细化，在教师的指导下让学生进行探究。
2.将问题分解：
（1）选择的圆柱（锥）体与对应的球之间应有那些对应关系？
设计意图：探求圆柱（锥）体的半径与高和球体半径的等量关系，并根据对称性作出选择研究半个球的体积公式。
（2）仅选择圆柱体（或圆锥体）与对应的半球，用平行截面去截，截面之间能否保证祖暅原理中“在任意等高处的截面面积都对应相等”的要求？
设计意图：本节课的重点是“用祖暅原理为依据进行探求”，所以抓住“用平行截面去截”的关键，探求发现圆柱体在等高处的截面（除底面外）大于半球体，而圆锥体在等高处的截面（除底面外）小于半球体，大胆猜测进行大小间的“协调”。
（3）如何利用割补法探求半球体积公式？（在这个问题的教学组织上，采用让学生分组协作的合作学习方式进行）
设计意图：探求圆柱体与圆锥体在等高处的截面进行大小间的“协调”的过程，蕴涵着猜测和尝试的双过程，结论的得出必定是完成了严格的证明。
探求结果用祖暅原理求球体体积公式的做法是：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球体积公式。
说明：这里教师设计了一个容易激疑的问题情境，给学生思维以方向和动力；三个由浅入深的问题引起学生深入的思考，并且能促使学生“发现问题，作出思考，提出猜想，进行验证”等探究性的学习活动，并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥。在亲历学习过程的探究活动中丰富经历，强调合作，促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补，使学生兴趣盎然地投入探究新知的学习活动中。
3.得出球体积公式
4.反思小结、提炼数学思想：
（1）在该问题的解决过程中，我们是怎样入手的？为什么要这样设计？（依据祖暅原理）
（2）在探求过程中我们主要运用了什么方法？？（割补法）
（3）我们概括出怎样的一般性的结论？（球体积公式
）
（4）在探究过程中运用了哪些数学思想方法？（尝试、猜测、论证）
（三）应用
请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解决以下问题：
已知椭圆 ，将此椭圆绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体（图2），其体积等于______________.
设计意图：本问题的提出是球体积公式推导的类比迁移和引申拓广。在题目设计上选择了具体数据（椭圆的长轴、短轴已知）的椭球，使学生能经过自己的主动探索、实验，得到结论，这是对学生主动参与精神的激励。能使学生感悟到“面对新问题，联想旧知识，寻找新旧知识之间的关系，揭示知识规律，获取新知”的探究方法和策略，增强学生学习的动力和信心，使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中去。
（四）小结：
通过本节课学习，我们利用割补法及祖暅原理得到了球的体积公式，并初步体会了其应用；进而收获了一个特殊椭球体的体积计算方法，又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。
（五）作业：
请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解答下问题：
（1）已知椭圆 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。
（2）将此椭圆绕x轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。
作业设计意图：本问题的提出是继具体椭球体积计算后的再次拓广。在题目设计上选择了更具一般性（椭圆的长轴、短轴为a，b）的椭球，让学生对课堂上的探究延续到课后，达成进一步的反馈和巩固。
（六）课后反思：
实施数学探究性学习，是数学教学和学习方式改革的必由之路。学生探究性学习活动能否顺利实施，关键在于教师能否创造适宜的教学情境和进行合理的引导。在新课程实施过程中，教师要运用一切可能的手段，不断优化教学设计，激发学生的学习兴趣，创设有效的探究时间和空间，形成良好的探究风气，让每个学生都有主动探究的机会和欲望，从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
收稿日期：2012-11-10
故我把整节课的教学设计如下：
教学目标
（1）知识与技能目标：
利用祖暅原理，知道球体积公式的一种推导方法，并应用其求椭球体积；
（2）过程与方法目标：
通过对球体积公式的探求，体验数学发现和创造的历程，学会观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；
（3）情感、态度与价值观目标：
通过师生互动、生生互动共同探究的教学活动，形成学生的体验性认识，培养学生勇于探索的个性品质。
教学重点和难点
利用祖暅原理探求球体积公式。
教学过程设计
（一）
1.复习祖暅原理及棱柱、圆柱体体积公式；
约在公元5世纪，我国数学家祖暅在研究“开立圆术”中指出“夫叠綦成立积，缘幂势既同，则积不容异”。其意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。这一论述被后人称为祖暅原理。
设计意图：数学史与数学文化融入数学教育，使数学史中的思想方法为数学教育服务。
用祖暅原理可证明：
两个等底等高的棱（圆）柱的体积相等。（图1）
2.复习棱锥、圆锥体体积公式
用祖暅原理可证明：
两个等底等高的棱（圆）锥的体积相等。（图2）
（二）新课导入
1.复习球体积公式 ，直接抛出问题：课本中已介绍过应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法。如何根据课本提示，由祖暅原理和圆柱、圆锥体的体积公式去推导球体积公式？
设计意图：开门见山地告知学生今天的学习任务，但问题较大，学生的个体差异会使部分学生找不到思考的切入点，故我设计将任务细化，在教师的指导下让学生进行探究。
2.将问题分解：
（1）选择的圆柱（锥）体与对应的球之间应有那些对应关系？
设计意图：探求圆柱（锥）体的半径与高和球体半径的等量关系，并根据对称性作出选择研究半个球的体积公式。
（2）仅选择圆柱体（或圆锥体）与对应的半球，用平行截面去截，截面之间能否保证祖暅原理中“在任意等高处的截面面积都对应相等”的要求？
设计意图：本节课的重点是“用祖暅原理为依据进行探求”，所以抓住“用平行截面去截”的关键，探求发现圆柱体在等高处的截面（除底面外）大于半球体，而圆锥体在等高处的截面（除底面外）小于半球体，大胆猜测进行大小间的“协调”。
（3）如何利用割补法探求半球体积公式？（在这个问题的教学组织上，采用让学生分组协作的合作学习方式进行）
设计意图：探求圆柱体与圆锥体在等高处的截面进行大小间的“协调”的过程，蕴涵着猜测和尝试的双过程，结论的得出必定是完成了严格的证明。
探求结果用祖暅原理求球体体积公式的做法是：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球体积公式。
说明：这里教师设计了一个容易激疑的问题情境，给学生思维以方向和动力；三个由浅入深的问题引起学生深入的思考，并且能促使学生“发现问题，作出思考，提出猜想，进行验证”等探究性的学习活动，并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥。在亲历学习过程的探究活动中丰富经历，强调合作，促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补，使学生兴趣盎然地投入探究新知的学习活动中。
3.得出球体积公式
4.反思小结、提炼数学思想：
（1）在该问题的解决过程中，我们是怎样入手的？为什么要这样设计？（依据祖暅原理）
（2）在探求过程中我们主要运用了什么方法？？（割补法）
（3）我们概括出怎样的一般性的结论？（球体积公式
）
（4）在探究过程中运用了哪些数学思想方法？（尝试、猜测、论证）
（三）应用
请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解决以下问题：
已知椭圆 ，将此椭圆绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体（图2），其体积等于______________.
设计意图：本问题的提出是球体积公式推导的类比迁移和引申拓广。在题目设计上选择了具体数据（椭圆的长轴、短轴已知）的椭球，使学生能经过自己的主动探索、实验，得到结论，这是对学生主动参与精神的激励。能使学生感悟到“面对新问题，联想旧知识，寻找新旧知识之间的关系，揭示知识规律，获取新知”的探究方法和策略，增强学生学习的动力和信心，使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中去。
（四）小结：
通过本节课学习，我们利用割补法及祖暅原理得到了球的体积公式，并初步体会了其应用；进而收获了一个特殊椭球体的体积计算方法，又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。
（五）作业：
请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解答下问题：
（1）已知椭圆 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。
（2）将此椭圆绕x轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。
作业设计意图：本问题的提出是继具体椭球体积计算后的再次拓广。在题目设计上选择了更具一般性（椭圆的长轴、短轴为a，b）的椭球，让学生对课堂上的探究延续到课后，达成进一步的反馈和巩固。
（六）课后反思：
实施数学探究性学习，是数学教学和学习方式改革的必由之路。学生探究性学习活动能否顺利实施，关键在于教师能否创造适宜的教学情境和进行合理的引导。在新课程实施过程中，教师要运用一切可能的手段，不断优化教学设计，激发学生的学习兴趣，创设有效的探究时间和空间，形成良好的探究风气，让每个学生都有主动探究的机会和欲望，从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
收稿日期：2012-11-10