【摘要】二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。
　　【关键词】二重积分;直角坐标;极坐标;平移及奇偶性
　　二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。
　　计算二重积分有一定的步骤，我们大致分成4步。第一步：画出积分区域 的草图，判断积分域是否有对称性，被积函数是否有奇偶性;第二步：选择坐标系;第三步：选择积分次序;第四步：确定积分限并计算累次积分。
　　例题1.计算二重积分 其中积分区域 是由 与曲线 所围成。
　　方法一：利用直角坐标计算二重积分
　　解：积分区域
　　=
　　方法二：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分
　　解：设 作坐标轴的平移，在 平面上积分区域为
　　① 關于 对称，被积函数关于 是奇函数，
　　②
　　③
　　例题2.计算 其中积分区域 是由 所确定。
　　方法一：利用极坐标法计算二重积分
　　方法二：利用坐标轴的平移及极坐标计算二重积分
　　令 此时 ，则
　　方法三：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分
　　由于
　　利用奇偶性可得 而 ，则
　　方法四：利用积分区域的对称性计算二重积分
　　解：积分区域 关于 对称且为圆域故形心的坐标在圆心
　　其中 为积分区域 的形心的横坐标。
　　例题3：求计算二重积分 其中积分区域 是由 及曲线 所围成。
　　分析：若把 看成正方形的区域挖去半圆 ，则计算 上的积分自然选用极坐标变换，若只考虑区域 ，则自然考虑先 后 的积分次序化为累次积分，若注意 关于直线 对称，选择平移坐标变换则最为方便。
　　方法一：选择先 后 的积分次序，则
　　方法二：方块积分法及极坐标法
　　在极坐标下
　　方法二：利用坐标轴的平移计算二重积分
　　作平移变换则
　　参考文献：
　　[1]李正元，李永乐，袁荫棠：《 数学复习全书》，国家行政学院出版社，2013（2）.
　　[2]武忠祥，《高等数学强化讲义》，西安交通大学出版社，2011（4）.