许多数学问题都有它特定的知识背景，在数学教学中教师引导学生去挖掘，鼓励学生从数学问题的背景出发，善于联想到与本问题有关的各种数学联结，拓宽思路，积极探索，获得知识，发展思维，追求新颖独特的解法，为培养学生的创新思维注入新的活力，下面以一道不等式证明为例.
　　新教材人教A版选修4—5第26页有一道习题：
　　已知f （x）=1+x2，a≠b，求证：|f （a）-f （b）|<|a-b|.
　　分析1：分母有理化，利用|a+b|≤|a|+|b|放缩.
　　证明：|f （a）-f （b）|=|1+a2-1+b2|=|1+a2-（1+b2）|1+a2+1+b2=|a-b|·|a+b|1+a2+1+b2，因为|a+b|1+a2+1+b2≤|a|+|b|1+a2+1+b2，且|a|<1+a2，|b|<1+b2，所以|a|+|b|1+a2+1+b2<1，从而|f （a）-f （b）|<|a-b|.
　　分析2：从函数的结构特征，利用三角代换证明
　　证明：设a=tanα，b=tanβ，tanα≠tanβ，α，β∈（-π2，π2）.|f （a）-f （b）|=1+tan2α-1+tan2β=|secα-secβ|.
　　故只需证： |secα-secβ|<|tanα-tanβ|sec2α+sec2β-2secαsecβ -2tanαtanβ1+tanαtanβ 分析3：从距离公式入手，利用三角形三边关系证明
　　证明： f （x）=1+x2=（x-0）2+（1-0）2，可视为A（x，1）到O（0，0）的距离，当a≠b时，设A1（a，1），A2（b，1），
　　||OA1|-|OA2||<|A1A2|，所以1+a2-1+b2<|a-b|.
　　分析4：从向量背景入手，利用||a|-|b||≤|a±b|≤
　　|a|+|b|证明.
　　证明：构造向量u=（1，a）、v=（1，b），因为a≠b，所以
　　|f （a）-f （b）|=||u|-|v||<|u-v|=|a-b|.
　　分析5：从复数的模入手，利用||z1|-|z2||≤|z1-z2|证明 .
　　证明：设z1=1+ai，z2=1+bi，a，b∈R.|z1|=1+a2，|z2|=1+b2，因为||z1|-|z2||≤|z1-z2|.
　　所以1+a2-1+b2<|a-b|，所以命题得证.
　　分析6：从解析几何背景入手，利用斜率证明
　　证明：由f （x）=1+x2， 即y=1+x2化简得： y2-x2=1 （y>0），所以y=1+x2表示双曲线y2-x2=1的上支，设A（a，f （a））、B（b，f （b））是双曲线y2-x2=1（y>0） 上支上的不同两点，因为双曲线渐近线方程y=±x，其斜率k=±1.
　　所以kAB=f （a）-f （b）a-b，-1 所以|f （a）-f （b）a-b|<1， 即|f （a）-f （b）||a-b|<1，所以1+a2-1+b2<|a-b|.
　　分析7： 两边平方去绝对值证明
　　原不等式（1+a2-1+b2）2<（a-b）21+a2+1+b2-2（1+a2）（1+b2） （2）若1+ab>0，则上式（1+ab）2<（1+a2）（1+b2）（a-b）2>0，成立.
　　图1分析8：根据1+x2的几何意义，构造三角形证明.
　　根式1+x2表示以1，|x|为直角边的三角形的斜边，所证不等式|f （a）-f （b）|<|a-b|表示三角形两边之差的绝对值小于第三边，则构造直角三角形证明.
　　证明：不妨设a
　　甘肃省临泽县第一中学 （734200）