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函数的单调性（增减性）是函数的基本性质之一，是高中数学必须掌握且能熟练运用的基础知识。函数中函数值的变化方向与自变量的变化方向密切相关，当自变量的变化方向与函数值的变化方向一致时，函数图象（曲线）是下降的，或者说是递减的；反之，是上升的，或者说是递增的，函数的这种性质称为单调性。函数的单调性是函数在某个区间或整个定义域上的性质。利用函数的单调性可以求函数在某个区间上的最大（小）值、可以比较两个或多个函数值的大小、还可以解不等式及判断函数在某个区间内的零点个数。但在解决这些问题之前必须确定函数的单调性，即函数在定义域区间内是增函数还是减函数。下面介绍几种判断函数增减性的方法。
一、利用函数单调性的定义判别
设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f（x）是区间A上的 函数。
在此定义中必须注意：
1.证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行，x1，x2具有三个特征：一是任意性，也就是說，x1，x2是任取的，证明单调性时不能用两个特殊值随意替换x1，x2；二是x1，x2有大小，通常规定x1＜x2；三是x1，x2同属一个单调区间。此三者缺一不可。
2.这个区间A可以是定义域I本身，也可以是定义域I的某个真子集。
3.不是所有的函数都具有单调性。
如函数 ，它的定义域为R，但不具备单调性；又如Y＝3x+2，x∈N+，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。
二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走势”判别
当函数值与自变量的变化趋势 时，函数为 函数。
函数图象（曲线）“从左到右走 坡路”，函数为 函数。
三、利用函数单调性的运算性质判别
若函数f（x），g（x）在定义域区间A上具有单调性，则在区间A上具有下列性质：
①f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性；
②当a＞0时，f（x）与af（x）具有相同的单调性；当a＜0时，f（x）与af（x）具有相反的单调性；
③若f（x）恒不等于零，当k＞0时，f（x）与 具有相反的单调性；单k＜0时，f（x）与 具有相同的单调性；
④当f（x）与g（x）都是 函数时，则f（x）+g（x）也是 函数；
⑤若f（x）与g（x）都是 函数时。
当f（x）＞0且g（x）＞0时，则f（x） g（x）是 函数；
当f（x）＜0且g（x）＜0时，则f（x） g（x）是 函数，。
例 判断函数f（x）=5x3－ 在（0，+∞）上的单调性。
解：∵5x3在（0，+∞）上是增函数；－ 在（0，+∞）上是增函数。
∴f（x）=5x3－ 在（0，+∞）上也是增函数。
四、利用函数奇（偶）性的对称性质判别
因为 函数的图象关于 成 图形，所以 函数在原点两侧的对称区间上具有 的单调性。即 函数f（x）在区间[a，b]与[-b，-a]上的单调性 。（0≤a＜b或a＜b≤0）
例1
例2 设f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2-2a+3），求a的取值范围。
解：∵f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增。
∴f（x）在区间（0，+∞）上递减。
点评：解此题的关键是根据2a2+a+1＞0，2a2-2a+3＞0恒成立的性质，必须确定f（x）在（0，+∞）上的单调性，而偶函数f（x）在原点两侧的对称区间（－∞，0）与（0，+∞）上的单调性相反。
五、复合函数单调性的判断
1.若一个复合函数由多个初等函数复合而成，则这个复合函数的单调性由复合成此函数的这多个初等函数中减函数的个数决定：当初等函数中减函数的个数为奇数时，复合函数为减函数；当初等函数中减函数的个数为偶数时，复合函数为增函数。即“偶增奇减”
2.当复合函数y=f[g（x）]由两个初等函数y=f（u），u=g（x）复合而成时，其单调性为：当y=f（u），u=g（x）同为增函数或同为减函数时，y=f[g（x）]为增函数：当y=f（u），u=g（x）为一增函数一减函数时，y=f[g（x）]为减函数。即“同增异减”
列表如下：
例 求函数y=log2（x2+3x+2）的单调性
解：由x2+3x+2＞0得x＜—2或x＞—1
∴函数定义域为（－∞，—2）∪（—1，+∞）
又∵y=log2（x2+3x+2）由函数y=log2u（u＞0）与u=x2+3x+2（x＜—2或x＞—1）复合而成
当x∈（－∞，—2）时，u=x2+3x+2为减函数，也满足u＞0，y=log2u为增函数。
则y=log2（x2+3x+2）为减函数；
当x∈（—1，+∞）时，u=x2+3x+2为增函数，也满足u＞0，y=log2u为增函数。
则y=log2（x2+3x+2）为增函数。
∴y=log2（x2+3x+2）的单调递减区间为（－∞，—2）；单调递增区间为（—1，+∞）
六、导函数的应用
设函数y=f（x）在区间（a，b）内可导
① 如果恒有f`（x）＞0，则函数f`（x）在（a，b）上为增函数；
② 如果恒有f`（x）＜0，则函数f`（x）在（a，b）上为减函数；
③ 如果f`（x）在区间（a，b）上递 ，则在该区间上有 。
求可导函数的单调区间：
①求f`（x） ②解不等式 ③确定结论： 的解集为单调递 区间。
注意：当f`（x）在某个区间内个别点处为零，在其余各点处都为 时，f`（x）在这区间上仍是单调递 的，但是 并不是f`（x）为 函数的充分条件，而是必要条件。
例 设f`（x）=ax+ （a＞0）
①判断f`（x）在（0，+∞）上的单调性；
②设f`（x）在0＜x≤1上的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式。
（作者单位：云南省镇雄县实验中学）
一、利用函数单调性的定义判别
设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f（x）是区间A上的 函数。
在此定义中必须注意：
1.证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行，x1，x2具有三个特征：一是任意性，也就是說，x1，x2是任取的，证明单调性时不能用两个特殊值随意替换x1，x2；二是x1，x2有大小，通常规定x1＜x2；三是x1，x2同属一个单调区间。此三者缺一不可。
2.这个区间A可以是定义域I本身，也可以是定义域I的某个真子集。
3.不是所有的函数都具有单调性。
如函数 ，它的定义域为R，但不具备单调性；又如Y＝3x+2，x∈N+，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。
二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走势”判别
当函数值与自变量的变化趋势 时，函数为 函数。
函数图象（曲线）“从左到右走 坡路”，函数为 函数。
三、利用函数单调性的运算性质判别
若函数f（x），g（x）在定义域区间A上具有单调性，则在区间A上具有下列性质：
①f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性；
②当a＞0时，f（x）与af（x）具有相同的单调性；当a＜0时，f（x）与af（x）具有相反的单调性；
③若f（x）恒不等于零，当k＞0时，f（x）与 具有相反的单调性；单k＜0时，f（x）与 具有相同的单调性；
④当f（x）与g（x）都是 函数时，则f（x）+g（x）也是 函数；
⑤若f（x）与g（x）都是 函数时。
当f（x）＞0且g（x）＞0时，则f（x） g（x）是 函数；
当f（x）＜0且g（x）＜0时，则f（x） g（x）是 函数，。
例 判断函数f（x）=5x3－ 在（0，+∞）上的单调性。
解：∵5x3在（0，+∞）上是增函数；－ 在（0，+∞）上是增函数。
∴f（x）=5x3－ 在（0，+∞）上也是增函数。
四、利用函数奇（偶）性的对称性质判别
因为 函数的图象关于 成 图形，所以 函数在原点两侧的对称区间上具有 的单调性。即 函数f（x）在区间[a，b]与[-b，-a]上的单调性 。（0≤a＜b或a＜b≤0）
例1
例2 设f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2-2a+3），求a的取值范围。
解：∵f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增。
∴f（x）在区间（0，+∞）上递减。
点评：解此题的关键是根据2a2+a+1＞0，2a2-2a+3＞0恒成立的性质，必须确定f（x）在（0，+∞）上的单调性，而偶函数f（x）在原点两侧的对称区间（－∞，0）与（0，+∞）上的单调性相反。
五、复合函数单调性的判断
1.若一个复合函数由多个初等函数复合而成，则这个复合函数的单调性由复合成此函数的这多个初等函数中减函数的个数决定：当初等函数中减函数的个数为奇数时，复合函数为减函数；当初等函数中减函数的个数为偶数时，复合函数为增函数。即“偶增奇减”
2.当复合函数y=f[g（x）]由两个初等函数y=f（u），u=g（x）复合而成时，其单调性为：当y=f（u），u=g（x）同为增函数或同为减函数时，y=f[g（x）]为增函数：当y=f（u），u=g（x）为一增函数一减函数时，y=f[g（x）]为减函数。即“同增异减”
列表如下：
例 求函数y=log2（x2+3x+2）的单调性
解：由x2+3x+2＞0得x＜—2或x＞—1
∴函数定义域为（－∞，—2）∪（—1，+∞）
又∵y=log2（x2+3x+2）由函数y=log2u（u＞0）与u=x2+3x+2（x＜—2或x＞—1）复合而成
当x∈（－∞，—2）时，u=x2+3x+2为减函数，也满足u＞0，y=log2u为增函数。
则y=log2（x2+3x+2）为减函数；
当x∈（—1，+∞）时，u=x2+3x+2为增函数，也满足u＞0，y=log2u为增函数。
则y=log2（x2+3x+2）为增函数。
∴y=log2（x2+3x+2）的单调递减区间为（－∞，—2）；单调递增区间为（—1，+∞）
六、导函数的应用
设函数y=f（x）在区间（a，b）内可导
① 如果恒有f`（x）＞0，则函数f`（x）在（a，b）上为增函数；
② 如果恒有f`（x）＜0，则函数f`（x）在（a，b）上为减函数；
③ 如果f`（x）在区间（a，b）上递 ，则在该区间上有 。
求可导函数的单调区间：
①求f`（x） ②解不等式 ③确定结论： 的解集为单调递 区间。
注意：当f`（x）在某个区间内个别点处为零，在其余各点处都为 时，f`（x）在这区间上仍是单调递 的，但是 并不是f`（x）为 函数的充分条件，而是必要条件。
例 设f`（x）=ax+ （a＞0）
①判断f`（x）在（0，+∞）上的单调性；
②设f`（x）在0＜x≤1上的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式。
（作者单位：云南省镇雄县实验中学）