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[摘要]函数是初中数学教学的重点及难点。想要上好这部分内容，教师必须从学生的认知角度出发，遵循“构建在已有知识的基础上”“构建程序流畅和互相联结的知识网”“培养学生善于随机应变和自我调节的能力”三原则。
[关键词]函数；初中数学；教学；原则
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2017）05-0020-01
函数是初中数学的核心内容之一，它不仅与数学中其他内容有着密切的联系，如代数式、方程、不等式、平面几何等，还广泛应用于其他学科，如初中物理力學及电学的计算、初中化学计算等都离不开函数知识。学生学习函数知识对提高他们的思维能力有重要意义。教师要重点研究函数内容的教学。要搞好函数教学，笔者认为要遵循三个原则。
原则一：将函数教学构建在学生已有知识的基础上
在传统函数教学中，教师将函数概念、解析式、函数图像及性质作为教学重点。以一次函数为例，传统教学中首先讲解函数解析式。形如y=kx b（其中k≠0，b为常数）的函数叫作一次函数。然后介绍函数的图像：k>0，b>0，函数图像经过一、二、三象限等以及图像的平移问题。如此教学，增大了数学知识的抽象性及枯燥性，教师不能有效激发学生的学习兴趣，也不能将学习函数的新问题转化为学生认识的问题来解决。
要将函数教学构建在学生已有知识的基础上，教师在函数的教学中需要从学生已有的知识入手，建立函数与已有知识之间的联系。在这里，有效教学情境的创设尤为重要，我们把它称为“桥梁性情境”。这一情境在数（函数）与空间（图）的理解之间架起桥梁，把学生的日常经验与数学知识联系起来。下面是我做的一个试验。
“斜率”这个概念是学生学习函数，特别是线性函数的入门知识。通常将它定义为垂直距离和水平距离的比。如果一条直线用方程y=kx b来表示，k就定义为直线的斜率，用公式k=（y2-y1）/（x2-x1）来计算。
学生要真正理解以这种定义的“斜率”概念，他们必须掌握大量的数学知识与技巧，包括比率、坐标图、变量、下标的意义、解包含两个变量的方程以及进行混合运算的技能。但是，对于求解一个函数的斜率来说，知道运算法则并不能确保学生理解了斜率的一般意义。
其实，学生对斜率都有一种直觉的、凭经验的理解。为此，我给学生上了一堂课：小明参加了步行马拉松比赛，规则（函数）告诉我们，小明能挣到多少钱取决于他走了多少公里。我们不知道函数是什么，这是一个秘密。我们只知道小明走1公里能挣4元，走3公里能挣8元，走5公里能挣12元。
要求学生计算函数的斜率，它表示小明能挣到多少钱。我将学生分成两部分，向一部分学生提供了斜率的正式定义，向另一部分学生提供一个他们更为熟悉的斜率定义。用学生的话来说函数的斜率是对于最初值的每一个单位的变化结果增加的数量。结果，通过计算，小明每多走1公里他挣钱增长多少。许多学生都能够非正式地描述上述案例中函数的斜率。他们注意到当小明走了3公里时，比走1公里时多挣了4元。因此他每多走1公里就能多挣2元。采用这种方式，没有接受正式定义或程序教学的这些学生就能确定神秘函数的斜率是2。相反，那些看到斜率的课本定义的学生并不能确定这个例子中的斜率。这说明将函数教学构建在学生已有知识的基础上，能让学生更好、更快地理解函数的有关知识。当然，那些非正式的语言描述性概念并不是学习的最终目的，对学生来说，学习正式的数学术语和抽象的代数符号是非常重要的。
原则二：构建程序流畅和互相联结的知识网
描述函数的常用方式有：表格、坐标图、文字、代数符号和问题情境。其中每一种表达方式都能描述一个变量的值是如何决定另一个变量的值。从概念上讲，学生需要理解这些是描述同一个关系的不同方式。
成功的教学不仅是要培养学生熟练执行各种程序的能力。例如，给定一个函数解析式时能画出坐标图，或者给定x值能求出对应的y值。教师还应帮助学生理解函数，培养他们以各种方式表示函数的能力以及转换各种表达方式的能力。例如，用语言描述两个变量之间的关系，用方程来表达直线斜率以及用坐标图进行视觉表征时，都应该有“意义”。总之，函数教学应构建程序流畅和互相联结的知识网。
原则三：培养学生善于随机应变和自我调节的能力
正如上面所讨论的，以牢固而熟练地掌握有关函数的知识为目标的教学，应该建立在学生已有的知识基础上，应该整合程序性技巧和概念性理解。但是，教学不仅应该帮助学生用数学程序和概念去思考，而且应该帮助学生在思考程序和概念本身的基础上，反思他们的学习。
由于代数高度概括了数学关系，因此学生必须在更加抽象的水平上运算，这与他们以前常遇到的典型数学计算是截然不同的。学生必须在数学学习的所有水平上监控自己解决问题的过程，反思自己的解题方法和策略。随着数学学习越来越抽象，元认知的参与就显得尤为重要。设想，如果学生不能积极地进行知识的构建和理解，那么，当解题方法出现错误时，他们几乎得不到任何相关的线索。
当学生的概念性理解和元认识监控都很薄弱时，即使相当简单的代数题，他们往往都无法解决。教师帮助学生建立实际问题与数学符号间的联系显得尤为重要。
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词]函数；初中数学；教学；原则
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2017）05-0020-01
函数是初中数学的核心内容之一，它不仅与数学中其他内容有着密切的联系，如代数式、方程、不等式、平面几何等，还广泛应用于其他学科，如初中物理力學及电学的计算、初中化学计算等都离不开函数知识。学生学习函数知识对提高他们的思维能力有重要意义。教师要重点研究函数内容的教学。要搞好函数教学，笔者认为要遵循三个原则。
原则一：将函数教学构建在学生已有知识的基础上
在传统函数教学中，教师将函数概念、解析式、函数图像及性质作为教学重点。以一次函数为例，传统教学中首先讲解函数解析式。形如y=kx b（其中k≠0，b为常数）的函数叫作一次函数。然后介绍函数的图像：k>0，b>0，函数图像经过一、二、三象限等以及图像的平移问题。如此教学，增大了数学知识的抽象性及枯燥性，教师不能有效激发学生的学习兴趣，也不能将学习函数的新问题转化为学生认识的问题来解决。
要将函数教学构建在学生已有知识的基础上，教师在函数的教学中需要从学生已有的知识入手，建立函数与已有知识之间的联系。在这里，有效教学情境的创设尤为重要，我们把它称为“桥梁性情境”。这一情境在数（函数）与空间（图）的理解之间架起桥梁，把学生的日常经验与数学知识联系起来。下面是我做的一个试验。
“斜率”这个概念是学生学习函数，特别是线性函数的入门知识。通常将它定义为垂直距离和水平距离的比。如果一条直线用方程y=kx b来表示，k就定义为直线的斜率，用公式k=（y2-y1）/（x2-x1）来计算。
学生要真正理解以这种定义的“斜率”概念，他们必须掌握大量的数学知识与技巧，包括比率、坐标图、变量、下标的意义、解包含两个变量的方程以及进行混合运算的技能。但是，对于求解一个函数的斜率来说，知道运算法则并不能确保学生理解了斜率的一般意义。
其实，学生对斜率都有一种直觉的、凭经验的理解。为此，我给学生上了一堂课：小明参加了步行马拉松比赛，规则（函数）告诉我们，小明能挣到多少钱取决于他走了多少公里。我们不知道函数是什么，这是一个秘密。我们只知道小明走1公里能挣4元，走3公里能挣8元，走5公里能挣12元。
要求学生计算函数的斜率，它表示小明能挣到多少钱。我将学生分成两部分，向一部分学生提供了斜率的正式定义，向另一部分学生提供一个他们更为熟悉的斜率定义。用学生的话来说函数的斜率是对于最初值的每一个单位的变化结果增加的数量。结果，通过计算，小明每多走1公里他挣钱增长多少。许多学生都能够非正式地描述上述案例中函数的斜率。他们注意到当小明走了3公里时，比走1公里时多挣了4元。因此他每多走1公里就能多挣2元。采用这种方式，没有接受正式定义或程序教学的这些学生就能确定神秘函数的斜率是2。相反，那些看到斜率的课本定义的学生并不能确定这个例子中的斜率。这说明将函数教学构建在学生已有知识的基础上，能让学生更好、更快地理解函数的有关知识。当然，那些非正式的语言描述性概念并不是学习的最终目的，对学生来说，学习正式的数学术语和抽象的代数符号是非常重要的。
原则二：构建程序流畅和互相联结的知识网
描述函数的常用方式有：表格、坐标图、文字、代数符号和问题情境。其中每一种表达方式都能描述一个变量的值是如何决定另一个变量的值。从概念上讲，学生需要理解这些是描述同一个关系的不同方式。
成功的教学不仅是要培养学生熟练执行各种程序的能力。例如，给定一个函数解析式时能画出坐标图，或者给定x值能求出对应的y值。教师还应帮助学生理解函数，培养他们以各种方式表示函数的能力以及转换各种表达方式的能力。例如，用语言描述两个变量之间的关系，用方程来表达直线斜率以及用坐标图进行视觉表征时，都应该有“意义”。总之，函数教学应构建程序流畅和互相联结的知识网。
原则三：培养学生善于随机应变和自我调节的能力
正如上面所讨论的，以牢固而熟练地掌握有关函数的知识为目标的教学，应该建立在学生已有的知识基础上，应该整合程序性技巧和概念性理解。但是，教学不仅应该帮助学生用数学程序和概念去思考，而且应该帮助学生在思考程序和概念本身的基础上，反思他们的学习。
由于代数高度概括了数学关系，因此学生必须在更加抽象的水平上运算，这与他们以前常遇到的典型数学计算是截然不同的。学生必须在数学学习的所有水平上监控自己解决问题的过程，反思自己的解题方法和策略。随着数学学习越来越抽象，元认知的参与就显得尤为重要。设想，如果学生不能积极地进行知识的构建和理解，那么，当解题方法出现错误时，他们几乎得不到任何相关的线索。
当学生的概念性理解和元认识监控都很薄弱时，即使相当简单的代数题，他们往往都无法解决。教师帮助学生建立实际问题与数学符号间的联系显得尤为重要。
（责任编辑 黄桂坚）