论文部分内容阅读
【摘要】对学生的数学学科核心素养的培养贯串于教学的全程，教师只有充分了解学生的认知发展水平和已有的知识基础，清晰掌握课堂教学目标，才能设计出高质量的教学活动.本文笔者以北师大版数学八年级上册第四章第4节“一次函数的应用（第1课时）”的教学设计为例，与其他初中数学教师共同探讨如何读懂课标、整合教材、分析学情，科学地设计出一堂高质量的初中数学课，使学生在课堂学习中有效提升自身的数学学科核心素养.
【关键词】函数图像;数学建模;应用意识;数形结合
本文以北师大版数学八年级上册第四章第4节“一次函数的应用（第1课时）”教学设计为例.此课在初中数学教学中非常关键，既是难点，也是重点，这一节课将为学生开启应用数形结合、数学建模这些具有数学特色的思维模式.
一、教學难点剖析
1.学生的困难
“一次函数的应用”这一章的教学内容作为研究函数的起始单元，每一节课都为后续学习反比例函数和二次函数打下基础.“一次函数的应用”是学生利用函数进行数学建模的起点，也是学生体悟数形结合思想的重要关卡，是学生搭建数学与外部世界联系的开始，从中可以让学生初步理解数学在理工科中应用的基本工具.因此，“一次函数的应用”是发展学生的应用意识，培育学生数学建模核心素养的关键课程.
2.教师的困惑
在教学实践中，使用北师大版教材的教师常常困惑于“学生在不会求解二元一次方程组的情况下，如何求解一次函数解析式”这一问题.基于自身已有的思维习惯和相对完整的知识系统，部分教师会调整教材的章节顺序，先进行“二元一次方程组”的教学，以利于学生求解一次函数解析式.
二、教材对比分析
笔者对目前国内主流的北师大版教材、人教版教材这个知识点的教学内容进行对比分析，发现北师大版教材中，“一次函数的应用”为独立课程，出现在八年级上册，有三个课时，第一课时借助解析式解决实际问题，后面两课时主要借助图像解决实际问题，学生在学习过程中初步体会数形结合的思维方式，发展利用数形结合解决问题的能力.此时学生已经学习了一元一次方程、一次函数等相关知识，有了一定的数形结合思维，为求解一次函数解析式提供了理论基础.本课时有两个难点：一是将实际问题抽象为函数问题，建立一次函数模型;二是求解一次函数解析式，由于“二元一次方程组”被编排在第五章，学生对用代数方法求解函数解析式难以理解.对此，部分教师将“二元一次方程组”提前教学，这是解决问题的一个办法.
与北师大版教材相比，人教版教材有两点不同的设计：一是设计以“一次函数的应用”为题的独立课时，二是“二元一次方程组”的内容在一次函数之前.
尽管两种教材在内容编排的先后顺序上有所不同，但都以解决现实问题为出发点，突出函数的模型思想和数形结合思想，发展学生数学建模的核心素养.实际上，学生普遍善于学习程序化的知识，对不同题型的解题逻辑较易上手，能较好地掌握一次函数中“数”的特征，但是对于函数图像却不甚理解.
三、教学设计概述
据此，笔者设计以下教学环节.
环节一：初识数学建模
1.例题导入
图1例1 随着中国高铁建设的飞速发展，广州市作为华南地区的交通枢纽，由广州出发的高铁列车几乎可以直达全国各大重要城市.图1反映了某高铁列车从广州出发前往西安在行驶过程中与深圳的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的数量关系（假设高铁列车匀速行进）.请思考：
问题1：坐标系中的点（0，120）表示什么意义？
问题2：当行驶时间为4 h时，高铁列车和深圳的距离是多少？
问题3：两个变量s和t具有函数关系吗？你能求出函数解析式吗？
问题4：当t=8 h时，s的值是多少？当s=1440 km时，t的值是多少？
【设计意图】北师大版教材的设计是求解正比例函数解析式，所创设的情境是物体“匀加速直线运动”实验，该活动是高一的物理实验，初二的学生既没有实验经历，也不理解 “加速度”的概念，欠缺与之相应的活动经验和认知水平，这个情境设计会让学生感到困惑，难以建立函数模型.基于熟悉的情境、合适的问题有助于调动学生的学习积极性，激发学生的探究欲望.因此笔者舍弃了这个实验情境，一是从人教版教材中选用了路程问题的情境，并改编为学生更为熟悉的高铁情境，二是将北师大版教材中呈现的正比例图像改为一次函数图像，提升难度.
“问题1”引导学生观察两个特殊的点，学生理解并解释点（0，120）的含义：出发时，高铁列车与深圳的距离为120 km，这是广州、深圳两地之间的距离.
“问题2” 没有按照教材的设计明确要求学生求解函数解析式，而是鼓励学生自行寻找解决问题的方法.学生可以建构函数模型，也可以用算术方法求解，从而为对比算术方法和函数方法创造机会.
基于“问题1”和“问题2”的解决，学生产生了用函数解决问题的意识，“问题3”则引导学生从图形的角度思考，将直线与一次函数联系起来，从而建立函数模型，学习用待定系数法求解一次函数解析式y=kx b.鉴于解二元一次方程组是下一章的内容，本课所研究的一次函数的某个参数（k或b）比较容易从所给的条件中直接获得，再求解一元一次方程即可.学生利用函数解析式求解“问题4”可以积累将函数转化为方程的经验，进一步感受自变量和因变量的对应关系，体悟函数中蕴含的动态的辩证思维.
2.想一想
（1）一次函数解析式中k的实际意义是什么？b的实际意义是什么？
（2）确定一次函数的解析式需要几个条件？
数学家阿蒂亚指出：“代数中，有序思维占主导地位;几何中，视觉思维占主导地位.”通过“想一想”，引导学生从数的角度思考、理解k表示高铁列车的速度，b表示出发时高铁列车与深圳的距离.从形的角度看，（0，b）是一次函数图像与y轴的交点.让学生体会到“两点确定一条直线”的公理是求解一次函数解析式的理论依据. 环节二：再识数学建模
1.例题导入
例2 摄氏温度（℃）与华氏温度（）是两大国际主流的计量温度的标准.某学校科技小组查阅资料，获得了摄氏温度（℃）与华氏温度（）相对应的5组数据如下表所示：
请你根据表中数据猜想摄氏温度（℃）与华氏温度（）之间的关系，并推测当摄氏温度为100 ℃时，华氏温度是多少.
（1）以摄氏温度为横坐标、华氏温度为纵坐标，将5组数据写成5个点的坐标;
（2）建立平面直角坐标系，描出以上5个点;
（3）观察这5个点的位置，猜想摄氏温度（℃）与华氏温度（）之间的关系，并求出关系式;
（4）根据猜想，求出当摄氏温度为100 ℃时，华氏温度是多少.
【設计意图】培育数学建模的核心素养至少有两个方面的要求，一是培养学生数学建模的意识，二是让学生掌握数学建模的具体方法.原北师大版教材的设计指明了一次函数，注重讲解用待定系数法求解函数解析式.为了继续培养学生数学建模的意识，笔者首先在设问中去掉一次函数的指示，然后修改表格中的数据使其缺乏连续性，并设计作图的要求，学生通过绘制图像、观察图像，更容易联想到一次函数.计算中，学生是否能避开解二元一次方程组的困难，则取决于他们在分析表格中的数据时，能否理解（0，32）的代数意义.
2.想一想
（1）k的实际意义是什么？b的实际意义是什么？
（2）确定一次函数的表达式需要几个条件？
【设计意图】在不同的情境中运用类似的方法得到相同的函数，学生会有更多收获：
（1）让学生从数的角度深刻理解k的实际意义，当x增加1时，等于b增加的值为k，这为第三课时进一步探究k的几何意义积累经验;
（2）让学生从形的角度理解点（0，b），它作为一次函数图像与y轴的交点，是求解函数解析式的关键;
（3）学生对数学基本概念和基本原理有进一步的理解：从形的角度看，正比例函数和一次函数的图像虽然都是一条直线，但不同之处在于正比例函数图像必定经过原点，因此只需再任意确定一个点的坐标便可求解函数解析式;从数的角度看，一个是求解关于k的一元一次方程，另一个则是求解关于k和b的二元一次方程组.这个知识点虽然简单，但它涉及数学对象的一个重要本质概念：基本量.正比例函数含有一个基本量k，一次函数含有两个基本量k和b.学生若能形成这样的数学思维方式，必将加深其对数学对象的理解.
在环节二的教学活动中，学生完整地经历了分析问题、作出图像、分析图像、建立模型、求解模型、应用模型的过程.
环节三：加深认识数学建模
例3 某养鸡场使用恒温室孵化小鸡，该恒温室在0：00时的温度为20 ℃，根据养殖要求需在0：00-2：00匀速升温，每小时升高9 ℃，随后在2：00-4：00保持恒温.写出孵化室的温度T（单位： ℃）关于时间t（单位：h）在0：00-4：00时间段的函数解析式，并画出函数图像.
【设计意图】本题改编自人教版教材的练习题，原题的情境为先恒温后升温，现改为先升温后恒温，以降低学生求解一次函数解析式的难度.设计该题的目的是借助简单的分段函数拓展一次函数的应用，积累观察函数图像的经验，提高学生数学建模的意识，让学生深入体会数学建模的应用性和实用性.
四、教学反思
1.理解课标、灵活运用教材是提高教学质量的前提
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求学生初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
“一次函数的应用”这节课的意义在于对一次函数模型的解释、应用与拓展.本课的教学目标是让学生经历分析实际问题中两个变量之间的关系，掌握建立一次函数模型的方法，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识.学生不仅要掌握一次函数y=kx b的代数结构，还要能从“数”的角度揭示k和b的实际意义，并从“形”的角度理解它们的几何意义.
2.分析学情是教学成功的关键
2018年国家义务教育质量监测结果显示，全国八年级学生在数学学业五个指标（运算能力、空间想象力、数据分析能力、推理能力、问题解决能力）上处于中等及以上水平的比例分别为 82.6%，80.0%，78.4%，82.2%和71.8%.其中，比例最高的是运算能力，比例最低的是问题解决能力.有理数和整式的运算、一元一次方程和一次函数的运算等知识已经融入学生的认知结构中.但面对实际问题时，学生往往难以联想到适当的数学知识建模求解.为有效提升学生的问题解决能力，教师在教学中不妨减少一些方法性的指示，多一些为学生创造联系知识和经验的机会，让学生经历检验和对比的过程，逐步形成数学建模的意识.
3.提升学生的数学核心素养是教学的根本方向
核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现，是在学生学习和应用数学的过程中逐步形成和发展的.本课以培育学生数学建模的核心素养为主要目标，让学生充分经历将实际生活问题转化为数学问题、分析图像中的变量关系、建立函数模型、求解函数模型、应用函数模型的过程.学生在学习中，体会数形结合的思想，形成数学建模的意识，熟悉并掌握数学建模的方法.教师需要认真研读不同版本的教材，准确分析学情，科学合理地设计教学环节，才能有效促进学生数学思维的发展.
【参考文献】
[1]张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.
[2]孔小军.基于教材整合的教学设计与行为改进[J].中学数学教学参考（中旬），2018（08）：16-19.
[3]詹金芳.数学建模源于自然、成于比较[J].中学数学教学参考（中旬），2017（03）：6-9.
【关键词】函数图像;数学建模;应用意识;数形结合
本文以北师大版数学八年级上册第四章第4节“一次函数的应用（第1课时）”教学设计为例.此课在初中数学教学中非常关键，既是难点，也是重点，这一节课将为学生开启应用数形结合、数学建模这些具有数学特色的思维模式.
一、教學难点剖析
1.学生的困难
“一次函数的应用”这一章的教学内容作为研究函数的起始单元，每一节课都为后续学习反比例函数和二次函数打下基础.“一次函数的应用”是学生利用函数进行数学建模的起点，也是学生体悟数形结合思想的重要关卡，是学生搭建数学与外部世界联系的开始，从中可以让学生初步理解数学在理工科中应用的基本工具.因此，“一次函数的应用”是发展学生的应用意识，培育学生数学建模核心素养的关键课程.
2.教师的困惑
在教学实践中，使用北师大版教材的教师常常困惑于“学生在不会求解二元一次方程组的情况下，如何求解一次函数解析式”这一问题.基于自身已有的思维习惯和相对完整的知识系统，部分教师会调整教材的章节顺序，先进行“二元一次方程组”的教学，以利于学生求解一次函数解析式.
二、教材对比分析
笔者对目前国内主流的北师大版教材、人教版教材这个知识点的教学内容进行对比分析，发现北师大版教材中，“一次函数的应用”为独立课程，出现在八年级上册，有三个课时，第一课时借助解析式解决实际问题，后面两课时主要借助图像解决实际问题，学生在学习过程中初步体会数形结合的思维方式，发展利用数形结合解决问题的能力.此时学生已经学习了一元一次方程、一次函数等相关知识，有了一定的数形结合思维，为求解一次函数解析式提供了理论基础.本课时有两个难点：一是将实际问题抽象为函数问题，建立一次函数模型;二是求解一次函数解析式，由于“二元一次方程组”被编排在第五章，学生对用代数方法求解函数解析式难以理解.对此，部分教师将“二元一次方程组”提前教学，这是解决问题的一个办法.
与北师大版教材相比，人教版教材有两点不同的设计：一是设计以“一次函数的应用”为题的独立课时，二是“二元一次方程组”的内容在一次函数之前.
尽管两种教材在内容编排的先后顺序上有所不同，但都以解决现实问题为出发点，突出函数的模型思想和数形结合思想，发展学生数学建模的核心素养.实际上，学生普遍善于学习程序化的知识，对不同题型的解题逻辑较易上手，能较好地掌握一次函数中“数”的特征，但是对于函数图像却不甚理解.
三、教学设计概述
据此，笔者设计以下教学环节.
环节一：初识数学建模
1.例题导入
图1例1 随着中国高铁建设的飞速发展，广州市作为华南地区的交通枢纽，由广州出发的高铁列车几乎可以直达全国各大重要城市.图1反映了某高铁列车从广州出发前往西安在行驶过程中与深圳的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的数量关系（假设高铁列车匀速行进）.请思考：
问题1：坐标系中的点（0，120）表示什么意义？
问题2：当行驶时间为4 h时，高铁列车和深圳的距离是多少？
问题3：两个变量s和t具有函数关系吗？你能求出函数解析式吗？
问题4：当t=8 h时，s的值是多少？当s=1440 km时，t的值是多少？
【设计意图】北师大版教材的设计是求解正比例函数解析式，所创设的情境是物体“匀加速直线运动”实验，该活动是高一的物理实验，初二的学生既没有实验经历，也不理解 “加速度”的概念，欠缺与之相应的活动经验和认知水平，这个情境设计会让学生感到困惑，难以建立函数模型.基于熟悉的情境、合适的问题有助于调动学生的学习积极性，激发学生的探究欲望.因此笔者舍弃了这个实验情境，一是从人教版教材中选用了路程问题的情境，并改编为学生更为熟悉的高铁情境，二是将北师大版教材中呈现的正比例图像改为一次函数图像，提升难度.
“问题1”引导学生观察两个特殊的点，学生理解并解释点（0，120）的含义：出发时，高铁列车与深圳的距离为120 km，这是广州、深圳两地之间的距离.
“问题2” 没有按照教材的设计明确要求学生求解函数解析式，而是鼓励学生自行寻找解决问题的方法.学生可以建构函数模型，也可以用算术方法求解，从而为对比算术方法和函数方法创造机会.
基于“问题1”和“问题2”的解决，学生产生了用函数解决问题的意识，“问题3”则引导学生从图形的角度思考，将直线与一次函数联系起来，从而建立函数模型，学习用待定系数法求解一次函数解析式y=kx b.鉴于解二元一次方程组是下一章的内容，本课所研究的一次函数的某个参数（k或b）比较容易从所给的条件中直接获得，再求解一元一次方程即可.学生利用函数解析式求解“问题4”可以积累将函数转化为方程的经验，进一步感受自变量和因变量的对应关系，体悟函数中蕴含的动态的辩证思维.
2.想一想
（1）一次函数解析式中k的实际意义是什么？b的实际意义是什么？
（2）确定一次函数的解析式需要几个条件？
数学家阿蒂亚指出：“代数中，有序思维占主导地位;几何中，视觉思维占主导地位.”通过“想一想”，引导学生从数的角度思考、理解k表示高铁列车的速度，b表示出发时高铁列车与深圳的距离.从形的角度看，（0，b）是一次函数图像与y轴的交点.让学生体会到“两点确定一条直线”的公理是求解一次函数解析式的理论依据. 环节二：再识数学建模
1.例题导入
例2 摄氏温度（℃）与华氏温度（）是两大国际主流的计量温度的标准.某学校科技小组查阅资料，获得了摄氏温度（℃）与华氏温度（）相对应的5组数据如下表所示：
请你根据表中数据猜想摄氏温度（℃）与华氏温度（）之间的关系，并推测当摄氏温度为100 ℃时，华氏温度是多少.
（1）以摄氏温度为横坐标、华氏温度为纵坐标，将5组数据写成5个点的坐标;
（2）建立平面直角坐标系，描出以上5个点;
（3）观察这5个点的位置，猜想摄氏温度（℃）与华氏温度（）之间的关系，并求出关系式;
（4）根据猜想，求出当摄氏温度为100 ℃时，华氏温度是多少.
【設计意图】培育数学建模的核心素养至少有两个方面的要求，一是培养学生数学建模的意识，二是让学生掌握数学建模的具体方法.原北师大版教材的设计指明了一次函数，注重讲解用待定系数法求解函数解析式.为了继续培养学生数学建模的意识，笔者首先在设问中去掉一次函数的指示，然后修改表格中的数据使其缺乏连续性，并设计作图的要求，学生通过绘制图像、观察图像，更容易联想到一次函数.计算中，学生是否能避开解二元一次方程组的困难，则取决于他们在分析表格中的数据时，能否理解（0，32）的代数意义.
2.想一想
（1）k的实际意义是什么？b的实际意义是什么？
（2）确定一次函数的表达式需要几个条件？
【设计意图】在不同的情境中运用类似的方法得到相同的函数，学生会有更多收获：
（1）让学生从数的角度深刻理解k的实际意义，当x增加1时，等于b增加的值为k，这为第三课时进一步探究k的几何意义积累经验;
（2）让学生从形的角度理解点（0，b），它作为一次函数图像与y轴的交点，是求解函数解析式的关键;
（3）学生对数学基本概念和基本原理有进一步的理解：从形的角度看，正比例函数和一次函数的图像虽然都是一条直线，但不同之处在于正比例函数图像必定经过原点，因此只需再任意确定一个点的坐标便可求解函数解析式;从数的角度看，一个是求解关于k的一元一次方程，另一个则是求解关于k和b的二元一次方程组.这个知识点虽然简单，但它涉及数学对象的一个重要本质概念：基本量.正比例函数含有一个基本量k，一次函数含有两个基本量k和b.学生若能形成这样的数学思维方式，必将加深其对数学对象的理解.
在环节二的教学活动中，学生完整地经历了分析问题、作出图像、分析图像、建立模型、求解模型、应用模型的过程.
环节三：加深认识数学建模
例3 某养鸡场使用恒温室孵化小鸡，该恒温室在0：00时的温度为20 ℃，根据养殖要求需在0：00-2：00匀速升温，每小时升高9 ℃，随后在2：00-4：00保持恒温.写出孵化室的温度T（单位： ℃）关于时间t（单位：h）在0：00-4：00时间段的函数解析式，并画出函数图像.
【设计意图】本题改编自人教版教材的练习题，原题的情境为先恒温后升温，现改为先升温后恒温，以降低学生求解一次函数解析式的难度.设计该题的目的是借助简单的分段函数拓展一次函数的应用，积累观察函数图像的经验，提高学生数学建模的意识，让学生深入体会数学建模的应用性和实用性.
四、教学反思
1.理解课标、灵活运用教材是提高教学质量的前提
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求学生初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
“一次函数的应用”这节课的意义在于对一次函数模型的解释、应用与拓展.本课的教学目标是让学生经历分析实际问题中两个变量之间的关系，掌握建立一次函数模型的方法，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识.学生不仅要掌握一次函数y=kx b的代数结构，还要能从“数”的角度揭示k和b的实际意义，并从“形”的角度理解它们的几何意义.
2.分析学情是教学成功的关键
2018年国家义务教育质量监测结果显示，全国八年级学生在数学学业五个指标（运算能力、空间想象力、数据分析能力、推理能力、问题解决能力）上处于中等及以上水平的比例分别为 82.6%，80.0%，78.4%，82.2%和71.8%.其中，比例最高的是运算能力，比例最低的是问题解决能力.有理数和整式的运算、一元一次方程和一次函数的运算等知识已经融入学生的认知结构中.但面对实际问题时，学生往往难以联想到适当的数学知识建模求解.为有效提升学生的问题解决能力，教师在教学中不妨减少一些方法性的指示，多一些为学生创造联系知识和经验的机会，让学生经历检验和对比的过程，逐步形成数学建模的意识.
3.提升学生的数学核心素养是教学的根本方向
核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现，是在学生学习和应用数学的过程中逐步形成和发展的.本课以培育学生数学建模的核心素养为主要目标，让学生充分经历将实际生活问题转化为数学问题、分析图像中的变量关系、建立函数模型、求解函数模型、应用函数模型的过程.学生在学习中，体会数形结合的思想，形成数学建模的意识，熟悉并掌握数学建模的方法.教师需要认真研读不同版本的教材，准确分析学情，科学合理地设计教学环节，才能有效促进学生数学思维的发展.
【参考文献】
[1]张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.
[2]孔小军.基于教材整合的教学设计与行为改进[J].中学数学教学参考（中旬），2018（08）：16-19.
[3]詹金芳.数学建模源于自然、成于比较[J].中学数学教学参考（中旬），2017（03）：6-9.