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摘要：研究了SaintVenant方程组的CrankNicolson格式离散化并建立学习控制模型.首先给出了表示明渠流水流质量和动量守恒的SaintVenant方程组，并线性化；其次，采用CrankNicolson格式进行离散，得到了无条件稳定的离散化方程组；最后通过离散化后得到的状态空间方程，建立了基于迭代学习控制的数学模型，为后续进一步研究算法的收敛性奠定了基础.
关键词：SaintVenant方程；离散化；CrankNicolson格式，迭代学习控制
中图分类号：TP273文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn.10036199.2017.01.002
1引言
现代渠道系统一般由明渠渠段构成[1]，1871年圣·维南（Saint Venant）得到圣维南非恒定流偏微分方程（SaintVenant方程）奠定了明渠非恒定流的理论基础，之后很长时间虽很多学者试图改进SaintVenant方程（圣维南方程），许多专家学者仍多以圣维南方程组进行渠道运行自动控制建模[2].圣维南方程组属于一阶拟线性双曲型偏微分方程，目前为止还无法求得其精确解析解，在实际中对方程组的处理常采用数值解的方法将方程组进行离散化，把微分方程连续的定解域离散到定解域中的一些网格结点，得到一组代数方程[2-4].本文主要内容是探究如何用CrankNicolson（CN）格式离散圣维南方程组，从而得到基于迭代学习控制的数学模型.圣维南方程组的离散方法有有限元法、有限差分法、特征线法等[2].有限差分法中的CN格式为显式-隐式混合格式，结合显式和隐式格式的优点，具有无条件稳定，精度高于相应的显式和隐式格式等特点[5].文献[6]中对热传导方程的离散采用的是CN格式离散的方法.文献[7]中作者分析了显式、隐式和CN三种差分格式对土壤温度日变化的模拟能力，对比结果表明CN方案比隐式方案计算误差小，且绝对稳定.文献[8]中运用CN格式方法对耦合非线性偏微分系统进行了处理.还有一些文献也用到了CN方案，如[9-10].虽然CN格式离散用于偏微分系统已多见报道，但CN格式在具有耦合特性的圣维南方程组渠道系统上的应用尚未见报道.
明渠渠道系统的控制方法基于迭代学习控制.迭代学习控制适用于具有重复运动性质的被控系统，其目标是实现有限区间上的完全跟踪.通过输出信号与给定期望的偏差，修正不理想的控制信号进行下一次迭代，直到对系统进行完全跟踪[11].明渠渠道系统常用于农田灌溉以及调水工程，其输水过程呈现出时间上的周期性、过程上的重复性.例如一片农田一年中某段时期每年的需水量大致是接近的，每年的需水量具有周期性.在农田灌溉领域迭代学习控制已有应用.文献[12]基于迭代学习控制方法控制一个周期性的分布参数系统，通过对中心支轴喷雾灌溉设备的控制，达到农田的最优灌溉.
综上所述，本文采用CN格式对圣维南方程组进行离散化，并建立基于迭代学习控制方法的渠道系统数学模型.
2系统描述
文献[13]考虑渠道上下游为常水位水库的缓坡单渠渠道.节制闸门的开启会引起渠道水流流态变化，此时为渐变非恒定流用以水位Y（x，t）、流量Q（x，t）为变量的圣维南方程组来描述，水位和流量是关于空间和时间的变量.此方程是非線性双曲型偏微分方程：
3学习控制建模
文献[16]中，作者将热流方程在时间上进行前向差分，在空间上进行有限差分，由此离散化后得到的方程形如（19a）式偏差分的矩阵形式，随后对得到的线性方程组进行迭代解，用数值解的方法进行求解.本文对于C-N离散化后的渠道系统基于迭代学习控制方法进行控制.现在假设用i表示N个时间步长，闸门控制渠道水的流量，利用前一次操作时测得的流量和水深与期望流量和水深的误差信息来修正闸门的下一次调控，如此反复调控闸门直到水渠水的流量与水深完全跟踪上期望值.试验中研究的控制系统由于每次试验重复运行时所表示的函数关系不变，是可重复的，因此我们用整数k表示每次试验重复操作的次数，其中k=0，1，2，3….
当第k次试验满足f（ek（i））<ε时，试验结束，当不满足这一条件时将继续进行第k 1次试验.
5结论
本文首先对圣维南方程组的离散方法作了介绍，阐述了C-N格式离散圣维南方程组的优点.由于线性系统相比非线性系统更易于分析与设计，借用现有研究成果对非线性的圣维南方程组进行了线性化；随后，引入C-N格式，对线性化后的圣维南方程进行离散化；接着，引入叠加向量，将与离散时间和空间有关的二维方程化为了只与离散时间有关的一维方程，得到了状态空间方程；最后，对状态空间方程进行了迭代学习控制建模，为下一步算法的收敛性研究做铺垫.
参考文献
[1]CUNGE J A.Unsteady flow in open channels [M] .New York：Water Resources Publications， 1975.705—761 .
[2]阮新建.渠道自动运行现代控制理论模型研究[D].武汉：武汉大学，2002.
[3]徐正凡.水力学（下）[M].北京：高等教育出版社，1986.
[4]闫荣平.石头河水库灌区东干渠渠繁育配水模型的研究[D].西安：西安理工大学，2009：21-22.
[5]CRANK J，NICOLSON P.A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heatconduction type[J]. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1947，43：50-67. [6]CICHY B，GALKOWSKI K，ROGERS E.Iterative learning control for spatiotemporal dynamics using CrankNicholson discretization. Multidimens[J]. Syst. Signal Process，2012，23（1/2）：185-208.
[7]郑辉， 刘树华.数值差分格式及各点设置对土壤温度模拟结果的影响[J].地球物理学报， 2012，55（8）：2514-2522.
[8]VEMULA R，CHAMKHA A，MALLESH M P.Nanofluid flow past an impulsively started vertical plate with variable surface temperature [J]. International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow， 2016， 26（1）：328-347.
[9]SACHIN S. WANI，SARITA H. THAKAR.CrankNicolson Type Method for Burgers Equation [J]. International Journal of Applied Physics and Mathematics， 2013， 3（5）： 324-328.
[10]ZHAO X，SUN Z Z.Compact CrankNicolson schemes for a class of fractional control Cattaneo equation in inhomogeneous medium [J].Sci.Comput.62 （2015），747-771.
[11]谢胜利，田森平，谢振东.迭代学习控制的理论与应用[M].北京：科学出版社， 2005.
[12]MOORE K L，CHEN Y Q. “Iterative learning approach to a diffusion problem in an irrigation application，” in Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation， 2006[C]：1329-1334.
[13]方神光，李玉榮，吴保生.大型输水明渠运行控制模式研究[J].水科学进展，2008，19（1）：68-71.
[14]LITRICO X，FROMION V.Modeling and control of hydrosystems[M].London： Springer， 2009 .
[15]LITRICO X.FROMION V.Frequency modeling of open channel flow [J].Hydraul Eng， 2004，130 （8）： 806-815.
[16]RABENSTEIN R，STEFFEN P.Implicit Discretization of Linear Partial Differential Equations and Repetitive Processes [J].International Workshop on Multidimensional， 2009，106 （2）：1-7.
第36卷第1期2017年3月计算技术与自动化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7第36卷第1期2017年3月计算技术与自动化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7
关键词：SaintVenant方程；离散化；CrankNicolson格式，迭代学习控制
中图分类号：TP273文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn.10036199.2017.01.002
1引言
现代渠道系统一般由明渠渠段构成[1]，1871年圣·维南（Saint Venant）得到圣维南非恒定流偏微分方程（SaintVenant方程）奠定了明渠非恒定流的理论基础，之后很长时间虽很多学者试图改进SaintVenant方程（圣维南方程），许多专家学者仍多以圣维南方程组进行渠道运行自动控制建模[2].圣维南方程组属于一阶拟线性双曲型偏微分方程，目前为止还无法求得其精确解析解，在实际中对方程组的处理常采用数值解的方法将方程组进行离散化，把微分方程连续的定解域离散到定解域中的一些网格结点，得到一组代数方程[2-4].本文主要内容是探究如何用CrankNicolson（CN）格式离散圣维南方程组，从而得到基于迭代学习控制的数学模型.圣维南方程组的离散方法有有限元法、有限差分法、特征线法等[2].有限差分法中的CN格式为显式-隐式混合格式，结合显式和隐式格式的优点，具有无条件稳定，精度高于相应的显式和隐式格式等特点[5].文献[6]中对热传导方程的离散采用的是CN格式离散的方法.文献[7]中作者分析了显式、隐式和CN三种差分格式对土壤温度日变化的模拟能力，对比结果表明CN方案比隐式方案计算误差小，且绝对稳定.文献[8]中运用CN格式方法对耦合非线性偏微分系统进行了处理.还有一些文献也用到了CN方案，如[9-10].虽然CN格式离散用于偏微分系统已多见报道，但CN格式在具有耦合特性的圣维南方程组渠道系统上的应用尚未见报道.
明渠渠道系统的控制方法基于迭代学习控制.迭代学习控制适用于具有重复运动性质的被控系统，其目标是实现有限区间上的完全跟踪.通过输出信号与给定期望的偏差，修正不理想的控制信号进行下一次迭代，直到对系统进行完全跟踪[11].明渠渠道系统常用于农田灌溉以及调水工程，其输水过程呈现出时间上的周期性、过程上的重复性.例如一片农田一年中某段时期每年的需水量大致是接近的，每年的需水量具有周期性.在农田灌溉领域迭代学习控制已有应用.文献[12]基于迭代学习控制方法控制一个周期性的分布参数系统，通过对中心支轴喷雾灌溉设备的控制，达到农田的最优灌溉.
综上所述，本文采用CN格式对圣维南方程组进行离散化，并建立基于迭代学习控制方法的渠道系统数学模型.
2系统描述
文献[13]考虑渠道上下游为常水位水库的缓坡单渠渠道.节制闸门的开启会引起渠道水流流态变化，此时为渐变非恒定流用以水位Y（x，t）、流量Q（x，t）为变量的圣维南方程组来描述，水位和流量是关于空间和时间的变量.此方程是非線性双曲型偏微分方程：
3学习控制建模
文献[16]中，作者将热流方程在时间上进行前向差分，在空间上进行有限差分，由此离散化后得到的方程形如（19a）式偏差分的矩阵形式，随后对得到的线性方程组进行迭代解，用数值解的方法进行求解.本文对于C-N离散化后的渠道系统基于迭代学习控制方法进行控制.现在假设用i表示N个时间步长，闸门控制渠道水的流量，利用前一次操作时测得的流量和水深与期望流量和水深的误差信息来修正闸门的下一次调控，如此反复调控闸门直到水渠水的流量与水深完全跟踪上期望值.试验中研究的控制系统由于每次试验重复运行时所表示的函数关系不变，是可重复的，因此我们用整数k表示每次试验重复操作的次数，其中k=0，1，2，3….
当第k次试验满足f（ek（i））<ε时，试验结束，当不满足这一条件时将继续进行第k 1次试验.
5结论
本文首先对圣维南方程组的离散方法作了介绍，阐述了C-N格式离散圣维南方程组的优点.由于线性系统相比非线性系统更易于分析与设计，借用现有研究成果对非线性的圣维南方程组进行了线性化；随后，引入C-N格式，对线性化后的圣维南方程进行离散化；接着，引入叠加向量，将与离散时间和空间有关的二维方程化为了只与离散时间有关的一维方程，得到了状态空间方程；最后，对状态空间方程进行了迭代学习控制建模，为下一步算法的收敛性研究做铺垫.
参考文献
[1]CUNGE J A.Unsteady flow in open channels [M] .New York：Water Resources Publications， 1975.705—761 .
[2]阮新建.渠道自动运行现代控制理论模型研究[D].武汉：武汉大学，2002.
[3]徐正凡.水力学（下）[M].北京：高等教育出版社，1986.
[4]闫荣平.石头河水库灌区东干渠渠繁育配水模型的研究[D].西安：西安理工大学，2009：21-22.
[5]CRANK J，NICOLSON P.A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heatconduction type[J]. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1947，43：50-67. [6]CICHY B，GALKOWSKI K，ROGERS E.Iterative learning control for spatiotemporal dynamics using CrankNicholson discretization. Multidimens[J]. Syst. Signal Process，2012，23（1/2）：185-208.
[7]郑辉， 刘树华.数值差分格式及各点设置对土壤温度模拟结果的影响[J].地球物理学报， 2012，55（8）：2514-2522.
[8]VEMULA R，CHAMKHA A，MALLESH M P.Nanofluid flow past an impulsively started vertical plate with variable surface temperature [J]. International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow， 2016， 26（1）：328-347.
[9]SACHIN S. WANI，SARITA H. THAKAR.CrankNicolson Type Method for Burgers Equation [J]. International Journal of Applied Physics and Mathematics， 2013， 3（5）： 324-328.
[10]ZHAO X，SUN Z Z.Compact CrankNicolson schemes for a class of fractional control Cattaneo equation in inhomogeneous medium [J].Sci.Comput.62 （2015），747-771.
[11]谢胜利，田森平，谢振东.迭代学习控制的理论与应用[M].北京：科学出版社， 2005.
[12]MOORE K L，CHEN Y Q. “Iterative learning approach to a diffusion problem in an irrigation application，” in Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation， 2006[C]：1329-1334.
[13]方神光，李玉榮，吴保生.大型输水明渠运行控制模式研究[J].水科学进展，2008，19（1）：68-71.
[14]LITRICO X，FROMION V.Modeling and control of hydrosystems[M].London： Springer， 2009 .
[15]LITRICO X.FROMION V.Frequency modeling of open channel flow [J].Hydraul Eng， 2004，130 （8）： 806-815.
[16]RABENSTEIN R，STEFFEN P.Implicit Discretization of Linear Partial Differential Equations and Repetitive Processes [J].International Workshop on Multidimensional， 2009，106 （2）：1-7.
第36卷第1期2017年3月计算技术与自动化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7第36卷第1期2017年3月计算技术与自动化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7