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做题难免有错，但对待错题再不能错上加错. 本文通过一例与你交流，知错、改错的解题研究，相信对你会有点启发．
题目在[△ABC]中，已知[sinA=35]，[cosB=513]，求[cosC].
一、错解
错解1在[△ABC]中，由[sinA=35]得[cosA=±45]；由[cosB=513]，得[sinB=1213].
当[cosA=-45]，即A为钝角时,
[cosC]=[cos180∘-A+B]
[=-cosA+B][=sinAsinB-cosAcosB]
[=35⋅1213+45⋅513=5665]；
当[cosA=45]，即A为锐角时,
同理求得[cosC=1665].
故[cosC=5665]或[cosC=1665].
错解2由正弦定理得
[a=2RsinA],[b=2RsinB]，[c=2RsinC]，
又[sin2C=1-cos2C]，
代入余弦定理[2abcosC][=a2+b2-c2]，
得[2sinAsinBcosC=sin2A+sin2B+cos2C-1]，其中由[cosB=513]得[sinB=1213]，又[sinA=35]，代入上式化简整理得[652cos2C-65×72cosC+16×56=0]，解得[cosC=5665]或[cosC=1665].
两种解法看似无懈可击，求解过程步步有据，字字有理，尤其是两种解法又不谋而合，更使你坚信了结论的正确性. 其实不然也，常常就有人犯这种心安理得的错误. 你会，你错，这是为何？
二、错因
扪心自问，错在何处？在三角形中，对条件中的基本量：角A、B制约，不仅仅是[sinA=35]，[cosB=513]，它还是三角形内角，即[0∘
三、纠错
在[△ABC]中，记角A、B、C所对边依次为[a、b、c.]
1．从正弦定理看:
由[a=2RsinA],[b=2RsinB.]
得[A 由[cosB=513]，得[sinB=1213]，
又[sinA=35]，由于[sinA][ 得[A 2．从余弦定理看:
由[cosA=b2+c2-c22bc],
又[a=2RsinA],[b=2RsinB]，[c=2RsinC],
得[b2+c2>a2⇔sin2B+sin2C>sin2A⇔A]是锐角；[b2+c2=a2⇔sin2B+sin2C=sin2A⇔A]是直角；[b2+c2 若A为钝角，求得[sinB=1213]，进而得[cosC=5665]，由于[sin2B+sin2C][=12132+1-56652]
[>sin2A=352]，这与[sin2B+sin2C 3．从正弦函数单调性看：
若A为钝角，则[B+C<π2]，
即[0 由函数[y=sinx]在[0,π2]上是增函数得[sinBcosC=5665]相矛盾，故A只能为锐角.
4．从余弦函数单调性看：
若A为钝角，则[B+C<π2]，
即[0 由函数[y=cosx]在[0,π2]上是减函数得[cosB>sinC]，
这与[cosB=513=2565][ 5．从三角形内角和定理看：
从局部思考：若A为钝角，[sinA=35135∘]；又[cosB=51360∘]，从而[A+B>195∘]，这与三角形内角和定理相矛盾. 故[A]只能为锐角.
从整体思考1：
若A为钝角，得[cosA=-45]，
由[cosA+cosB][=-45+513=-2765<0]，
即[cosA<-cosB=cos180∘-B]，
又[0∘ 由函数[y=cosx]在[0,π]上是减函数得[A>180∘-B]，即[A+B>180∘]，这与三角形内角和定理相矛盾. 故A只能为锐角.
从整体思考2：
由[A+B<π]，[0-cosB][=-513]，A为钝角时，由[sinA=35]得[cosA=-45<-513]不可能，故A只能为锐角.
本题单从[A]为钝角或锐角判定看，能从多点多角度切入，知识综合、方法灵活多变，几乎带动了三角函数的方方面面，可谓“牵一发动全身”，三角知识在此又一次得到了梳理、相互交融与整合，处理三角问题的常规方法与技巧又一次经受了新的洗礼.
四、推广
综上分析，无论站在何种角度，采用何种方法都不难得出更一般的结论：在[△ABC]中,已知[sinA=m],[cosB=n]，[0 当[m2+n2≤1]时，[cosC]有唯一解为[m1-n2-][n1-m2]；当[m2+n2>1]时,[cosC]有两解为[m1-n2±n1-m2]．
在三角形中，已知两角的正弦或余弦，求第三角的三角函数，结论都是唯一的．
解题难免有错，解题后要反思，确保过程严谨，结论准确是解题的基本要求，还要多角度审视解法（一题多解），揭示不同知识与方法组合的必然联系；弱化、强化、交换条件与结论等（一题多变），在变化中夯实基础，开拓思维的应变能力、解题方法的调控能力；再从变化中求不变，提升推广结论．
题目在[△ABC]中，已知[sinA=35]，[cosB=513]，求[cosC].
一、错解
错解1在[△ABC]中，由[sinA=35]得[cosA=±45]；由[cosB=513]，得[sinB=1213].
当[cosA=-45]，即A为钝角时,
[cosC]=[cos180∘-A+B]
[=-cosA+B][=sinAsinB-cosAcosB]
[=35⋅1213+45⋅513=5665]；
当[cosA=45]，即A为锐角时,
同理求得[cosC=1665].
故[cosC=5665]或[cosC=1665].
错解2由正弦定理得
[a=2RsinA],[b=2RsinB]，[c=2RsinC]，
又[sin2C=1-cos2C]，
代入余弦定理[2abcosC][=a2+b2-c2]，
得[2sinAsinBcosC=sin2A+sin2B+cos2C-1]，其中由[cosB=513]得[sinB=1213]，又[sinA=35]，代入上式化简整理得[652cos2C-65×72cosC+16×56=0]，解得[cosC=5665]或[cosC=1665].
两种解法看似无懈可击，求解过程步步有据，字字有理，尤其是两种解法又不谋而合，更使你坚信了结论的正确性. 其实不然也，常常就有人犯这种心安理得的错误. 你会，你错，这是为何？
二、错因
扪心自问，错在何处？在三角形中，对条件中的基本量：角A、B制约，不仅仅是[sinA=35]，[cosB=513]，它还是三角形内角，即[0∘
三、纠错
在[△ABC]中，记角A、B、C所对边依次为[a、b、c.]
1．从正弦定理看:
由[a=2RsinA],[b=2RsinB.]
得[A
又[sinA=35]，由于[sinA][
由[cosA=b2+c2-c22bc],
又[a=2RsinA],[b=2RsinB]，[c=2RsinC],
得[b2+c2>a2⇔sin2B+sin2C>sin2A⇔A]是锐角；[b2+c2=a2⇔sin2B+sin2C=sin2A⇔A]是直角；[b2+c2
[>sin2A=352]，这与[sin2B+sin2C
若A为钝角，则[B+C<π2]，
即[0
4．从余弦函数单调性看：
若A为钝角，则[B+C<π2]，
即[0
这与[cosB=513=2565][
从局部思考：若A为钝角，[sinA=35
从整体思考1：
若A为钝角，得[cosA=-45]，
由[cosA+cosB][=-45+513=-2765<0]，
即[cosA<-cosB=cos180∘-B]，
又[0∘
从整体思考2：
由[A+B<π]，[0
本题单从[A]为钝角或锐角判定看，能从多点多角度切入，知识综合、方法灵活多变，几乎带动了三角函数的方方面面，可谓“牵一发动全身”，三角知识在此又一次得到了梳理、相互交融与整合，处理三角问题的常规方法与技巧又一次经受了新的洗礼.
四、推广
综上分析，无论站在何种角度，采用何种方法都不难得出更一般的结论：在[△ABC]中,已知[sinA=m],[cosB=n]，[0
在三角形中，已知两角的正弦或余弦，求第三角的三角函数，结论都是唯一的．
解题难免有错，解题后要反思，确保过程严谨，结论准确是解题的基本要求，还要多角度审视解法（一题多解），揭示不同知识与方法组合的必然联系；弱化、强化、交换条件与结论等（一题多变），在变化中夯实基础，开拓思维的应变能力、解题方法的调控能力；再从变化中求不变，提升推广结论．