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纵观整个中学数学可以看到，中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。华罗庚教授曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”由此可见，数形结合的巧与妙，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式珠联壁合，相映生辉。因此它足以成为高中数学思想方法的一朵奇葩。
数形结合思想在高中数学新课程教材中渗透之深是显而易见的,新教材之中的每一章节内容几乎都有以数形结合的形式出现的题目，这样能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。
在运用数形结合思想解题时，应必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础。 （2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用。下面我将通过几个模块习题的讲解来感受一下数形结合思想的灵活应用。
一、数形结合在函数问题中应用
例题：已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}，且在(0,+∞）上单调递增，若f(1)=0,满足x•f(x)<0的x的取值范围是 。
【分析】： 函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x•f（x）<0表明自变量与函数 值异号，故可作出f（x）的图象加以解决。
【解析】 ： 作出符合条件的一个函数图象（如图一，草图即可），可知：x•f（x）<0的x取值范围是（-1，0）【练习】：方程 解的个数为 。
【分析】：画出函数 与 的图像（如图2）。注意两个图像的相对位置关系。
（答案：3个。）
显然，通过上两题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、分类讨论、求参数的范围等）问题时，更要充分发挥图像的直观作用，把代数问题转化为几何问题，实现数形转换。但转换时，要注意方式、方法，如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图像的交点个数问题；不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图像位于函数y=g（x）的图像上方的那部分点的横坐标的集合。
二、数形结合在不等式与解析几何中的应用
在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。
例题：曲线 与直线 有两个交点时，实数 的取值范围是 。
【分析】：曲线 的图形是以 为圆心，以1为半径的圆在 轴上方（包括 轴）的部分。直线 是过定点 、斜率为 的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图3，符合要求的直线 介于直线 之间（包括 ，不包括 ），其中 与半圆相切， 过原点。通过计算容易求得 的斜率为1， 的斜率为 。所以 。
【分析】：等式 有明显的几何意义，它表示以 为圆心， 为半径的圆（如图4）。而 则表示圆上的点 与坐标原点 的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点 在以 为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线 的斜率的最大值。由图5可见，当点 在第一象限，且与圆相切时， 的斜率最大，经简单计算，得最大值为 。
三、数形结合思想在数列中的应用
例题：已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证： 。
【命题意图】：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力。
【知识依托】：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.
【分析】：学生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.
【方法与技巧】：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.
【证明】:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆
x2+y2=1的两个交点如图五
图5
从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2
+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即
四、数形结合在复数中的应用
例题：已知 ，且 ，求 的取值范围。
【分析】：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。
【解】： 在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以 为半径的圆周及圆内部， 表示在复平面上 对应的点与-1对应点间的距离。由图7， 最大值为 ， 最小值为。故 。
本题运用“数形结合法”，把复数的性质与平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。
通过对上面几个模块的分析，我们可以总结一下数形结合思想的方法规律:
(1)运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的方程特征，为运用“数形结合”思想作好基础性准备，对于数学题设中的条件和结论既要分析其几何意义，又要分析其代数意义，以期望迅速找到两者的“结合点”，实现“数形结合”的愿望.
(2)运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
a、等价性原则.要注意由于图象不能精确刻画数 量关系所带来的负面效应.
b、双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.
c、简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，要考虑是否可行和是否有利；选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
学生要想真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，则是片面的。因此教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，才能不断提高、深化数形结合运用的能力，让数形结合这朵奇葩绽放魅力。
数形结合思想在高中数学新课程教材中渗透之深是显而易见的,新教材之中的每一章节内容几乎都有以数形结合的形式出现的题目，这样能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。
在运用数形结合思想解题时，应必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础。 （2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用。下面我将通过几个模块习题的讲解来感受一下数形结合思想的灵活应用。
一、数形结合在函数问题中应用
例题：已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}，且在(0,+∞）上单调递增，若f(1)=0,满足x•f(x)<0的x的取值范围是 。
【分析】： 函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x•f（x）<0表明自变量与函数 值异号，故可作出f（x）的图象加以解决。
【解析】 ： 作出符合条件的一个函数图象（如图一，草图即可），可知：x•f（x）<0的x取值范围是（-1，0）【练习】：方程 解的个数为 。
【分析】：画出函数 与 的图像（如图2）。注意两个图像的相对位置关系。
（答案：3个。）
显然，通过上两题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、分类讨论、求参数的范围等）问题时，更要充分发挥图像的直观作用，把代数问题转化为几何问题，实现数形转换。但转换时，要注意方式、方法，如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图像的交点个数问题；不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图像位于函数y=g（x）的图像上方的那部分点的横坐标的集合。
二、数形结合在不等式与解析几何中的应用
在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。
例题：曲线 与直线 有两个交点时，实数 的取值范围是 。
【分析】：曲线 的图形是以 为圆心，以1为半径的圆在 轴上方（包括 轴）的部分。直线 是过定点 、斜率为 的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图3，符合要求的直线 介于直线 之间（包括 ，不包括 ），其中 与半圆相切， 过原点。通过计算容易求得 的斜率为1， 的斜率为 。所以 。
【分析】：等式 有明显的几何意义，它表示以 为圆心， 为半径的圆（如图4）。而 则表示圆上的点 与坐标原点 的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点 在以 为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线 的斜率的最大值。由图5可见，当点 在第一象限，且与圆相切时， 的斜率最大，经简单计算，得最大值为 。
三、数形结合思想在数列中的应用
例题：已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证： 。
【命题意图】：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力。
【知识依托】：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.
【分析】：学生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.
【方法与技巧】：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.
【证明】:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆
x2+y2=1的两个交点如图五
图5
从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2
+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即
四、数形结合在复数中的应用
例题：已知 ，且 ，求 的取值范围。
【分析】：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。
【解】： 在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以 为半径的圆周及圆内部， 表示在复平面上 对应的点与-1对应点间的距离。由图7， 最大值为 ， 最小值为。故 。
本题运用“数形结合法”，把复数的性质与平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。
通过对上面几个模块的分析，我们可以总结一下数形结合思想的方法规律:
(1)运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的方程特征，为运用“数形结合”思想作好基础性准备，对于数学题设中的条件和结论既要分析其几何意义，又要分析其代数意义，以期望迅速找到两者的“结合点”，实现“数形结合”的愿望.
(2)运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
a、等价性原则.要注意由于图象不能精确刻画数 量关系所带来的负面效应.
b、双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.
c、简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，要考虑是否可行和是否有利；选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
学生要想真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，则是片面的。因此教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，才能不断提高、深化数形结合运用的能力，让数形结合这朵奇葩绽放魅力。