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【摘要】如今,课程改革已进入一个新时期,最显著的特征就是从“教”到“学”的转变,“学”越来越受重视,“为学而教”已经成为广大一线教师的共识。为了学生“真实的学习”,让学习真实地发生,教师可以通过交流互动,让学生带着好奇与热情投入学习,直面“真实的问题”;顺应探索节奏,让学生真实地去研究问题,让学习像呼吸一样自然;也可以适度拓展空间,整合提升,让学生带着惊叹与新的问题继续学习。“真实的学习”不仅是有方向的,而且是可持续的,学生只有经历了这样的学习过程才能真正成长。
【关键词】《多边形的内角和》;教学实践;教学反思
【教学内容】
苏教版数学四年级下册第96~97页。
【课前慎思】
《多边形的内角和》为苏教版数学四年级下册探索规律的专题内容。自2013年教材修订后,很多老师对此专题内容的教学进行了大胆的尝试与探索。经过深入的研究与思考,笔者发现众多的教学实践普遍存在以下几个问题:第一,注重多边形的三角剖分,忽视探索规律的方法;第二,注重让学生得到规律的结果,不注重学生实际的研究过程;第三,虽然注重多边形分割方法的指导与优化,但常常忽略学生对求和方法的真实选择,不顺应学生实际的研究节奏。对此,笔者思考:
《多边形的内角和》的核心知识到底是什么?
探索规律的方法和多边形的分割方法哪个更重要?
探索规律的过程是怎样的?是不是应该这样:根据研究的数据观察发现得到猜想,然后进一步理性思考与追问,进而发现规律本质?探索的起点在哪里?猜想和行动孰前孰后?合情推理与演绎推理的关系又该如何处理?
学生真实的研究过程是什么?难道是这样:通过四边形内角和的研究,对求和方法进行优化,接着利用优化的方法研究其他多边形,最后观察得到结论?真实的研究应该是在未知中进行探索,儿童需要经历观察、发现、猜想、验证的过程,我们是不是应该给学生更大的空间呢?
多边形任意一个顶点与不相邻的其他顶点连接,把多边形分割成若干三角形,这种分割方法真的是最优的方法吗?学生对这种方法是主动选择还是被动要求?我们是否有过度设计的嫌疑?
真实的研究是什么样子?是主动探索还是被动研究?是先有目标再有过程,还是先有过程再有目标?是该顺应儿童学习规律进而激发兴趣和引导学习,还是传授技巧与暗示结论?
……
经过一系列的深度思考,笔者认为《多边形的内角和》一课具有很高的研究价值。为了让“真实的学习”发生,笔者决定颠覆传统设计,大胆一试。
【教学目标】
1学生通过操作、观察等具体活动,探索并发现多边形的内角和所蕴含的规律,知道多边形的内角和与边数之间的关系。
2学生经历探索的全过程,积累探索和发现数学规律的经验,发展空间观念,体会转化和数形结合的数学思想,培养动手操作和推理能力,发展理性思考。
3学生在参与活动的过程中进一步产生对数学的好奇心,感受数学学习的挑战性和趣味性,增强学好数学的信心[1]24。
【教学重点】
学生探索并发现多边形的内角和的规律[1]24。
【教学难点】
学生能感受规律探究的一般过程和方法[1]24。
【教学准备】
课件;各不相同的四边形、五边形每人一个;研究材料每人一份。
【教学过程】
一、导入引思,化繁为简
1猜谜互动,激趣导入
师:同学们喜欢玩猜谜游戏吗?
生:喜欢。
师:今天,丁老师带来一个谜题,你们敢不敢挑战一下?
生:(自信地说)敢!
师:请听题。一闪一闪亮晶晶,璀璨光芒似水晶,棱角分明格外硬,价值珍贵赛黄金。打一物品。
(生自由猜测)
师:到底是什么呢?瞧!(师出示闪烁的钻石照片)没错,谜底就是钻石。看到这些美丽的钻石图片,大家感觉怎么样?
生:好漂亮啊!
师:其实早在1300年前,人们就发现切割能够让钻石变得更加流光溢彩。我们今天看到的钻石往往被切割出20多个多边形的面,每个表面都闪烁着光芒,变幻莫测。那么,组成它们的多边形有着怎样的特别之处呢?今天,我们就一起来研究有关多边形的问题,大家一起说我们要研究的问题是——多边形的内角和(生齐读课题)。
(板书课题:多边形的内角和)
2化繁为简,确定方向
师:多边形的内角和蕴含怎样的数学规律?你们准备怎么研究这个问题?
(生显得有些茫然,一时无措)
师:先静静地想一想,要研究这个问题,接下来你准备怎么办呢?(学生静静地思考)大家有想法了吗?
生:可以画1个四边形,然后求出它的内角和。
生:也可以求出五边形的内角和。
师:厉害啊!我发现同学们都关注到了课题中的关键词——
生:内角和。
师:看来,我们要想办法求多边形的内角和(生点头同意)。可是,我们该从哪个多边形开始研究呢?
生:先研究四边形。
生:应该先研究三角形。
师:为什么?
生:因为三角形是最简单的多边形。
师:我想起一句非常经典的古语:天下难事,必作于易。碰到复杂的问题,我们一般从简单的入手。
師:谁来指一指三角形的内角都在哪儿呢?(师出示三角形)3个内角的和等于——
生:180°。
师:还记得我们是怎样得到这个结论的吗?
生:先量出3个内角的度数,再将其加在一起。
生:把3个角剪下来拼在一起。 (课件依次再现使用过的方法,如图1)
师:不管使用哪一种方法,我们都可以发现三角形的内角和等于180°。(板书:三角形180°)
师:既然我们已经知道了三角形的内角和,那接下来我们该研究——
生:四边形。
师:我们只研究四边形就可以了吗?
生:不行,因为还有五边形、六边形等其他的多边形。
师:哦,我们还需要研究五边形、六边形、七边形……(师依次板书)探索规律,我们要收集尽可能多的数据,这样得到的结论才更科学。
【设计意图】“多边形的内角和”作为规律性知识,其学习的核心环节是“观察与比较”,在此之前应该有两项准备性活动:一是建立“目标和动机”,即学习者明确“我想要做什么”或者“我需要做什么”,为后面的活动明确目标,形成动机;二是建立“情境与对象”,学生一方面回忆已有的相关知识和经验,另一方面建立观察与比较的对象。本课“规律探索的起点在哪里”及“怎样探索这个规律”等都是“真实的学习”的问题起点,教师在明确研究的问题后,可引导学生把目光聚焦在“怎么研究”和“先研究什么”这两个大问题上,旨在构建开放探究的课堂,启发学生智慧,渗透数学研究的一般方法;紧接着通过层层追问,让学生自然地产生求多边形内角和的需要及收集数据的意识,真正感受学习是因为需要学,研究是因为需要研究,求和是因为需要用数据来说话。
二、顺应节奏,真实研究
1四边形的内角和
师:四边形的内角和可能是多少度呢?同学们可以先猜一猜。
生:360°。
生:360°。
……
师:咦,大家怎么都猜360°,为什么?
生:因为四边形的4个角都是直角,所以是360°。
师:他是什么意思,谁听懂了?
生:他的意思是长方形和正方形的内角和都是360°。
师:厉害啊!他想到了长方形和正方形这样的特殊的四边形。是不是任意一个四边形的内角和都是360°呢?
(生摇头,犹豫)
师:看来我们还需要进一步研究检验。下面,请大家拿出学习材料中的四边形,先指一指四边形的内角都在哪儿,边指边想一想,你准备怎样求四边形的内角和,除了研究三角形时所使用的方法,还有没有其他的方法呢?想好的同学动手试一试。
(学生在教师的引导下,独立思考后大胆探究,再全班交流)
生:我先量出4个角的度数,然后再求和,结果是360°。
生:我利用以前的方法,把四边形的4个角都剪下来,然后拼在一起,正好是1个周角,是360°。
生:我把四边形分成2个三角形,1个三角形是180°,2个180°就是360°。
师:你能否帮我们把2个三角形的内角与四边形的内角分别标出来,方便大家看得更清楚?
(生分别标出内角)
师:瞧,这么一标,你有什么发现?
[JP4]生:2个三角形的内角和正好等于四边形的内角和。
师:你们觉得这种方法怎么样?
生:很清晰,也很方便。
生:我把四边形分成了4个三角形,4个180°就是720°,用720°减去360°得到360°。
师:为什么前面那位同学计算时不用减360°?
生:因为没有增加新的角。
师:中间的4个角不属于四边形的内角,要减去。现在我们来比较一下几位同学的研究结果,你有什么发现?
生:四边形的内角和都是360°。
师:尽管四边形的形状、大小都不相同,验证的方法也不相同,但是四边形的内角和都是360°。(板书:360°)
【设计意图】教学是既见树木又见森林的过程,四边形的探索显然是极其重要的一棵“树木”,需要教师重点关照。使用四边形纸片这样可操作的“动态”研究材料,方便学生剪、拼、折、画等操作,为多样化方法的出现提供了很好的载体。汇报交流时,通过对话、交流、思辨等活动,学生深刻体悟不同方法之间的联系,丰富了学生的数学活动经验和智力背景,为后续的探索打下坚实的基础。
2五边形的内角和
师:下面继续研究,五边形的内角和又是多少度呢?请同学们拿出材料袋中的五边形。你能根据已有的知识和经验,求出五边形的内角和吗?
(学生活动后交流)
生:我把五边形分成3个三角形,3个180°是540°。
生:我把五边形分成1个三角形和1个四边形,180°+360°=540°。
生:我把五边形分成2个四边形,360°乘2再减去180°就是540°。
师:为什么要减去180°呢?
生:因为有2个角不是五边形的内角,所以要减去。
师:比较几位同学的研究结果,你有什么发现?
生:虽然三种方法不同,但结果是一样的,五边形的内角和是540°。(师板书:540°)
师:比较一下,这三种方法之间有没有什么联系呢?
生:都是把五边形转化为四边形或三角形来研究。
生:都是3个180°。
生:都是转化为三角形来思考。
师:明明还有转化为四边形的嘛,你怎么说都是转化为三角形来思考呢?
生:因为四边形也是转化为三角形来思考的啊。
(學生自发给予掌声)
师:真了不起!学习数学,我们不能只看到方法的表面,更要看到方法背后的本质。两种方法本质上都是把五边形转化为三角形进行思考。转化是一种非常重要的数学思想。
师:有没有人用剪拼的方法研究五边形?(生摇头)为什么不用? 生:剪拼比较麻烦。
师:先量角再求和呢?
生:先量角再求和也很麻烦,会出现误差。
师:其实剪拼和量角也都是可行的方法,不过我们研究问题的过程,也是逐步优化方法的过程。如果继续求其他多边形的内角和,你会选择哪一种方法呢?
生:分割成三角形的方法,因为它最简单。
师:下面,让我们带着刚才的收获继续研究。
【设计意图】有了四边形内角和探索的经验,学生对五边形内角和的探索水到渠成。好的教学绝不能只关注结果,还要关注研究的过程。数学研究的过程,就是逐步优化方法的过程,也是不断接近和探求知识本质的过程。通过比较几种分割方法的本质联系,学生透过现象看本质,发现各种分割方法的本质都是转化为三角形来思考的,这为后续研究方法的自然选择做足了铺垫。完美的教学应是如此:顺应儿童的天性,像呼吸一样自然。
3其他多边形的内角和
师:请同学们拿出学习材料,不着急,先想一想,如果用这种方法分一分,你觉得六边形能分成几个三角形?七边形呢?
(学生独立思考后,先分一分,再算一算)
生:六边形可以分成4个三角形,内角和是720°。七边形可以分成5个三角形,内角和是900°。
师:把多边形分割成三角形时,你有没有什么经验跟大家分享?
师:(小结)从一个顶点开始,按照顺序与其他顶点依次相连。
【设计意图】从三角形到四边形到五边形再到六边形、七边形,学习就这样真实发生了。学生对多边形内角和的研究步步为营,从方法的多样化到逐步优化,从关注方法的表面到把握其本质,学生的顿悟建立在之前丰富的数学活动经验上,我们要做的就是引导学生顺应节奏,真实研究。
三、基于数据,深度探索
师:经过刚才的探索,我们得到了这么多数据(如表1)。认真观察这些多边形的内角和,你有什么发现?
生:边数越多,内角和就越大。
师:多边形的内角和与什么有关呢?
生:边数。
师:请你上来把每个多边形的边数写在对应的位置上。
(学生完成板书:边数3、4、5、6、7)
师:大家继续观察,内角和的变化还有什么规律?
生:每增加1条边内角和就增加180°。
师:有意思!你们能不能把这些内角和换一种形式表示出来?
生:三角形的内角和是180°×1,四边形的内角和是180°×2……
(师结合学生回答调整板书,将内角和的卡片翻过来)
师:内角和与边数到底有什么关系呢?认真观察研究得到的数据(如表2),自己先想一想,然后把你的想法在小组里交流一下。
生:多边形的内角和=(边数-2)×180°。
师:能结合这里的例子具体说说吗?
生:三角形的边数是3,3减2等于1,所以三角形的内角和就是1×180°=180°。
师:照这样下去,如果是[WTBX]n[WTBZ]边形呢?
生:([WTBX]n-2)×180°。
师:(追问)n表示什么?
生:多边形的边数。
师:这里的n可以是哪些数呢?最小是多少?[WTBZ]
生:大于2的整数,最小是3。
师:这个结论只是我们研究刚才的几个多边形得到的,怎么知道其他的多边形的内角和是不是也符合我们的发现呢?怎么办?
生:再算一算其他的多边形。
师:有道理,可是能算得完吗?
生:算不完。
师:那我们能不能换个角度来验证?刚才我们通过观察数据提出猜想,你们能不能结合图形来说明为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢?咱们一起来回顾一下刚才分割多边形的经验。
师:下面我们进行小组讨论,为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢?
(小组讨论)
生:边数减2就是多边形分成三角形的数量。
师:说得太好了。边数减2表示什么?
生:分成三角形的数量。
师:三角形的个数为什么是边数减2呢?
生:有2条边对不到三角形。
师:哪两条?
生:和顶点相连的2条边对不到三角形。
师:不管是几边形,分割成的三角形的数量都比边数少2,因此多边形的内角和等于边数减2乘180°。
师:学习数学,我们不仅可以从数据中提出猜想,还可以借助图形进行验证。数形结合是一种非常重要的数学思想,而“猜想—验证”则是一种很好的探索规律的方法。
【设计意图】“不完全归纳”与“合情推理”对小学生来说就是最好的科学态度。学生先通过观察数据,大胆提出猜想,接着再借助图形说明为什么多边形的内角和=(边数-2)×180°。这个过程不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索,发展了理性思考,还渗透了数形结合的思想方法,一举多得。
四、拓展空间,整合提升
师:回顾今天的探索过程,你有什么收获或体会吗?
(生自由小结)
师:通过今天的研究,我们发现了多边形内角和所蕴含的数学规律,但内角和的研究并没有结束。其实还有很多人也为了研究多边形的内角和,从其他的角度进行了研究。大家想不想一起看一看?
生:(满怀期待地说)想!
师:比如,有人就从多边形内部点上一点,分别与各个顶点相连,这样就分成了若干个三角形(如图2),进而可以求出多边形的内角和。
师:这种方法又会得到什么样的结果呢?
师:(追问)如果把中间的点放在这个位置,可以吗(如图3)?这里呢(如图4)?还可以放在哪里?同学们可以大胆地想一想。如果移到图形外面(如图5),是否可以呢?
(师用几何画板呈现)
师:这些问题留给大家课后探索,记得把你的发现跟同学交流。
【设计意图】好的教学一定会留给学生反思體悟的时间。反思可以让知识内化为学生的智慧。好的教学也一定会给学生更大的空间、更多的可能性,让学习从课上走到课下。在本节课,学生得到了关于多边形内角和的结论,但教师并没有让学生探索的脚步就此停止,而是再一次拓展空间、整合提升,利用几何画板呈现另外几种研究的角度,在学生心里埋下一颗种子,画上三个问号,让其带着新问题走出课堂。
【教学反思】
对于《多边形的内角和》一课的教学,很多教师进行过尝试,笔者发现问题多在于教师的“想法太多”“包袱太重”,在教学实践中常常顾此失彼——“顾”多边形分割方法的指导,“失”学生对探索规律方法的体验;[DK]“顾”对规律结果的呈现,“失”学生对探索过程的感悟;“顾”对知识深度的挖掘,“失”学生真实的学习体验……
本节课,笔者大胆丢掉所有“包袱”,试着还“真实的学习”给学生,让学生直面“真实的问题”,真实地研究问题,拒绝过度设计。从导入引思、化繁为简,到顺应节奏、真实研究,再到基于数据、深度探索,最后到拓展空间、整合提升,环环相扣,顺着学生思维,探寻知识本质。从收集数据开始,学生在收集数据的过程中不断积累数学活动经验;然后在观察数据中大胆提出猜想,感受“不完全归纳法加合情推理”的科学态度;最后结合图形验证猜想,不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索过程,发展了理性思考,还渗透了数形结合的思想,一举多得。
纵观整节课的教学,可谓既见树木又见森林,既有“大问题”引领,把握研究方向,也有深度追问,步步紧逼知识本质,学生的学习像呼吸一样真实地发生了。
参考文献:
[1]单建军,夏晨.“多边形的内角和”教学实录与评析[J].小学数学教育,2016(18):24.
【关键词】《多边形的内角和》;教学实践;教学反思
【教学内容】
苏教版数学四年级下册第96~97页。
【课前慎思】
《多边形的内角和》为苏教版数学四年级下册探索规律的专题内容。自2013年教材修订后,很多老师对此专题内容的教学进行了大胆的尝试与探索。经过深入的研究与思考,笔者发现众多的教学实践普遍存在以下几个问题:第一,注重多边形的三角剖分,忽视探索规律的方法;第二,注重让学生得到规律的结果,不注重学生实际的研究过程;第三,虽然注重多边形分割方法的指导与优化,但常常忽略学生对求和方法的真实选择,不顺应学生实际的研究节奏。对此,笔者思考:
《多边形的内角和》的核心知识到底是什么?
探索规律的方法和多边形的分割方法哪个更重要?
探索规律的过程是怎样的?是不是应该这样:根据研究的数据观察发现得到猜想,然后进一步理性思考与追问,进而发现规律本质?探索的起点在哪里?猜想和行动孰前孰后?合情推理与演绎推理的关系又该如何处理?
学生真实的研究过程是什么?难道是这样:通过四边形内角和的研究,对求和方法进行优化,接着利用优化的方法研究其他多边形,最后观察得到结论?真实的研究应该是在未知中进行探索,儿童需要经历观察、发现、猜想、验证的过程,我们是不是应该给学生更大的空间呢?
多边形任意一个顶点与不相邻的其他顶点连接,把多边形分割成若干三角形,这种分割方法真的是最优的方法吗?学生对这种方法是主动选择还是被动要求?我们是否有过度设计的嫌疑?
真实的研究是什么样子?是主动探索还是被动研究?是先有目标再有过程,还是先有过程再有目标?是该顺应儿童学习规律进而激发兴趣和引导学习,还是传授技巧与暗示结论?
……
经过一系列的深度思考,笔者认为《多边形的内角和》一课具有很高的研究价值。为了让“真实的学习”发生,笔者决定颠覆传统设计,大胆一试。
【教学目标】
1学生通过操作、观察等具体活动,探索并发现多边形的内角和所蕴含的规律,知道多边形的内角和与边数之间的关系。
2学生经历探索的全过程,积累探索和发现数学规律的经验,发展空间观念,体会转化和数形结合的数学思想,培养动手操作和推理能力,发展理性思考。
3学生在参与活动的过程中进一步产生对数学的好奇心,感受数学学习的挑战性和趣味性,增强学好数学的信心[1]24。
【教学重点】
学生探索并发现多边形的内角和的规律[1]24。
【教学难点】
学生能感受规律探究的一般过程和方法[1]24。
【教学准备】
课件;各不相同的四边形、五边形每人一个;研究材料每人一份。
【教学过程】
一、导入引思,化繁为简
1猜谜互动,激趣导入
师:同学们喜欢玩猜谜游戏吗?
生:喜欢。
师:今天,丁老师带来一个谜题,你们敢不敢挑战一下?
生:(自信地说)敢!
师:请听题。一闪一闪亮晶晶,璀璨光芒似水晶,棱角分明格外硬,价值珍贵赛黄金。打一物品。
(生自由猜测)
师:到底是什么呢?瞧!(师出示闪烁的钻石照片)没错,谜底就是钻石。看到这些美丽的钻石图片,大家感觉怎么样?
生:好漂亮啊!
师:其实早在1300年前,人们就发现切割能够让钻石变得更加流光溢彩。我们今天看到的钻石往往被切割出20多个多边形的面,每个表面都闪烁着光芒,变幻莫测。那么,组成它们的多边形有着怎样的特别之处呢?今天,我们就一起来研究有关多边形的问题,大家一起说我们要研究的问题是——多边形的内角和(生齐读课题)。
(板书课题:多边形的内角和)
2化繁为简,确定方向
师:多边形的内角和蕴含怎样的数学规律?你们准备怎么研究这个问题?
(生显得有些茫然,一时无措)
师:先静静地想一想,要研究这个问题,接下来你准备怎么办呢?(学生静静地思考)大家有想法了吗?
生:可以画1个四边形,然后求出它的内角和。
生:也可以求出五边形的内角和。
师:厉害啊!我发现同学们都关注到了课题中的关键词——
生:内角和。
师:看来,我们要想办法求多边形的内角和(生点头同意)。可是,我们该从哪个多边形开始研究呢?
生:先研究四边形。
生:应该先研究三角形。
师:为什么?
生:因为三角形是最简单的多边形。
师:我想起一句非常经典的古语:天下难事,必作于易。碰到复杂的问题,我们一般从简单的入手。
師:谁来指一指三角形的内角都在哪儿呢?(师出示三角形)3个内角的和等于——
生:180°。
师:还记得我们是怎样得到这个结论的吗?
生:先量出3个内角的度数,再将其加在一起。
生:把3个角剪下来拼在一起。 (课件依次再现使用过的方法,如图1)
师:不管使用哪一种方法,我们都可以发现三角形的内角和等于180°。(板书:三角形180°)
师:既然我们已经知道了三角形的内角和,那接下来我们该研究——
生:四边形。
师:我们只研究四边形就可以了吗?
生:不行,因为还有五边形、六边形等其他的多边形。
师:哦,我们还需要研究五边形、六边形、七边形……(师依次板书)探索规律,我们要收集尽可能多的数据,这样得到的结论才更科学。
【设计意图】“多边形的内角和”作为规律性知识,其学习的核心环节是“观察与比较”,在此之前应该有两项准备性活动:一是建立“目标和动机”,即学习者明确“我想要做什么”或者“我需要做什么”,为后面的活动明确目标,形成动机;二是建立“情境与对象”,学生一方面回忆已有的相关知识和经验,另一方面建立观察与比较的对象。本课“规律探索的起点在哪里”及“怎样探索这个规律”等都是“真实的学习”的问题起点,教师在明确研究的问题后,可引导学生把目光聚焦在“怎么研究”和“先研究什么”这两个大问题上,旨在构建开放探究的课堂,启发学生智慧,渗透数学研究的一般方法;紧接着通过层层追问,让学生自然地产生求多边形内角和的需要及收集数据的意识,真正感受学习是因为需要学,研究是因为需要研究,求和是因为需要用数据来说话。
二、顺应节奏,真实研究
1四边形的内角和
师:四边形的内角和可能是多少度呢?同学们可以先猜一猜。
生:360°。
生:360°。
……
师:咦,大家怎么都猜360°,为什么?
生:因为四边形的4个角都是直角,所以是360°。
师:他是什么意思,谁听懂了?
生:他的意思是长方形和正方形的内角和都是360°。
师:厉害啊!他想到了长方形和正方形这样的特殊的四边形。是不是任意一个四边形的内角和都是360°呢?
(生摇头,犹豫)
师:看来我们还需要进一步研究检验。下面,请大家拿出学习材料中的四边形,先指一指四边形的内角都在哪儿,边指边想一想,你准备怎样求四边形的内角和,除了研究三角形时所使用的方法,还有没有其他的方法呢?想好的同学动手试一试。
(学生在教师的引导下,独立思考后大胆探究,再全班交流)
生:我先量出4个角的度数,然后再求和,结果是360°。
生:我利用以前的方法,把四边形的4个角都剪下来,然后拼在一起,正好是1个周角,是360°。
生:我把四边形分成2个三角形,1个三角形是180°,2个180°就是360°。
师:你能否帮我们把2个三角形的内角与四边形的内角分别标出来,方便大家看得更清楚?
(生分别标出内角)
师:瞧,这么一标,你有什么发现?
[JP4]生:2个三角形的内角和正好等于四边形的内角和。
师:你们觉得这种方法怎么样?
生:很清晰,也很方便。
生:我把四边形分成了4个三角形,4个180°就是720°,用720°减去360°得到360°。
师:为什么前面那位同学计算时不用减360°?
生:因为没有增加新的角。
师:中间的4个角不属于四边形的内角,要减去。现在我们来比较一下几位同学的研究结果,你有什么发现?
生:四边形的内角和都是360°。
师:尽管四边形的形状、大小都不相同,验证的方法也不相同,但是四边形的内角和都是360°。(板书:360°)
【设计意图】教学是既见树木又见森林的过程,四边形的探索显然是极其重要的一棵“树木”,需要教师重点关照。使用四边形纸片这样可操作的“动态”研究材料,方便学生剪、拼、折、画等操作,为多样化方法的出现提供了很好的载体。汇报交流时,通过对话、交流、思辨等活动,学生深刻体悟不同方法之间的联系,丰富了学生的数学活动经验和智力背景,为后续的探索打下坚实的基础。
2五边形的内角和
师:下面继续研究,五边形的内角和又是多少度呢?请同学们拿出材料袋中的五边形。你能根据已有的知识和经验,求出五边形的内角和吗?
(学生活动后交流)
生:我把五边形分成3个三角形,3个180°是540°。
生:我把五边形分成1个三角形和1个四边形,180°+360°=540°。
生:我把五边形分成2个四边形,360°乘2再减去180°就是540°。
师:为什么要减去180°呢?
生:因为有2个角不是五边形的内角,所以要减去。
师:比较几位同学的研究结果,你有什么发现?
生:虽然三种方法不同,但结果是一样的,五边形的内角和是540°。(师板书:540°)
师:比较一下,这三种方法之间有没有什么联系呢?
生:都是把五边形转化为四边形或三角形来研究。
生:都是3个180°。
生:都是转化为三角形来思考。
师:明明还有转化为四边形的嘛,你怎么说都是转化为三角形来思考呢?
生:因为四边形也是转化为三角形来思考的啊。
(學生自发给予掌声)
师:真了不起!学习数学,我们不能只看到方法的表面,更要看到方法背后的本质。两种方法本质上都是把五边形转化为三角形进行思考。转化是一种非常重要的数学思想。
师:有没有人用剪拼的方法研究五边形?(生摇头)为什么不用? 生:剪拼比较麻烦。
师:先量角再求和呢?
生:先量角再求和也很麻烦,会出现误差。
师:其实剪拼和量角也都是可行的方法,不过我们研究问题的过程,也是逐步优化方法的过程。如果继续求其他多边形的内角和,你会选择哪一种方法呢?
生:分割成三角形的方法,因为它最简单。
师:下面,让我们带着刚才的收获继续研究。
【设计意图】有了四边形内角和探索的经验,学生对五边形内角和的探索水到渠成。好的教学绝不能只关注结果,还要关注研究的过程。数学研究的过程,就是逐步优化方法的过程,也是不断接近和探求知识本质的过程。通过比较几种分割方法的本质联系,学生透过现象看本质,发现各种分割方法的本质都是转化为三角形来思考的,这为后续研究方法的自然选择做足了铺垫。完美的教学应是如此:顺应儿童的天性,像呼吸一样自然。
3其他多边形的内角和
师:请同学们拿出学习材料,不着急,先想一想,如果用这种方法分一分,你觉得六边形能分成几个三角形?七边形呢?
(学生独立思考后,先分一分,再算一算)
生:六边形可以分成4个三角形,内角和是720°。七边形可以分成5个三角形,内角和是900°。
师:把多边形分割成三角形时,你有没有什么经验跟大家分享?
师:(小结)从一个顶点开始,按照顺序与其他顶点依次相连。
【设计意图】从三角形到四边形到五边形再到六边形、七边形,学习就这样真实发生了。学生对多边形内角和的研究步步为营,从方法的多样化到逐步优化,从关注方法的表面到把握其本质,学生的顿悟建立在之前丰富的数学活动经验上,我们要做的就是引导学生顺应节奏,真实研究。
三、基于数据,深度探索
师:经过刚才的探索,我们得到了这么多数据(如表1)。认真观察这些多边形的内角和,你有什么发现?
生:边数越多,内角和就越大。
师:多边形的内角和与什么有关呢?
生:边数。
师:请你上来把每个多边形的边数写在对应的位置上。
(学生完成板书:边数3、4、5、6、7)
师:大家继续观察,内角和的变化还有什么规律?
生:每增加1条边内角和就增加180°。
师:有意思!你们能不能把这些内角和换一种形式表示出来?
生:三角形的内角和是180°×1,四边形的内角和是180°×2……
(师结合学生回答调整板书,将内角和的卡片翻过来)
师:内角和与边数到底有什么关系呢?认真观察研究得到的数据(如表2),自己先想一想,然后把你的想法在小组里交流一下。
生:多边形的内角和=(边数-2)×180°。
师:能结合这里的例子具体说说吗?
生:三角形的边数是3,3减2等于1,所以三角形的内角和就是1×180°=180°。
师:照这样下去,如果是[WTBX]n[WTBZ]边形呢?
生:([WTBX]n-2)×180°。
师:(追问)n表示什么?
生:多边形的边数。
师:这里的n可以是哪些数呢?最小是多少?[WTBZ]
生:大于2的整数,最小是3。
师:这个结论只是我们研究刚才的几个多边形得到的,怎么知道其他的多边形的内角和是不是也符合我们的发现呢?怎么办?
生:再算一算其他的多边形。
师:有道理,可是能算得完吗?
生:算不完。
师:那我们能不能换个角度来验证?刚才我们通过观察数据提出猜想,你们能不能结合图形来说明为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢?咱们一起来回顾一下刚才分割多边形的经验。
师:下面我们进行小组讨论,为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢?
(小组讨论)
生:边数减2就是多边形分成三角形的数量。
师:说得太好了。边数减2表示什么?
生:分成三角形的数量。
师:三角形的个数为什么是边数减2呢?
生:有2条边对不到三角形。
师:哪两条?
生:和顶点相连的2条边对不到三角形。
师:不管是几边形,分割成的三角形的数量都比边数少2,因此多边形的内角和等于边数减2乘180°。
师:学习数学,我们不仅可以从数据中提出猜想,还可以借助图形进行验证。数形结合是一种非常重要的数学思想,而“猜想—验证”则是一种很好的探索规律的方法。
【设计意图】“不完全归纳”与“合情推理”对小学生来说就是最好的科学态度。学生先通过观察数据,大胆提出猜想,接着再借助图形说明为什么多边形的内角和=(边数-2)×180°。这个过程不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索,发展了理性思考,还渗透了数形结合的思想方法,一举多得。
四、拓展空间,整合提升
师:回顾今天的探索过程,你有什么收获或体会吗?
(生自由小结)
师:通过今天的研究,我们发现了多边形内角和所蕴含的数学规律,但内角和的研究并没有结束。其实还有很多人也为了研究多边形的内角和,从其他的角度进行了研究。大家想不想一起看一看?
生:(满怀期待地说)想!
师:比如,有人就从多边形内部点上一点,分别与各个顶点相连,这样就分成了若干个三角形(如图2),进而可以求出多边形的内角和。
师:这种方法又会得到什么样的结果呢?
师:(追问)如果把中间的点放在这个位置,可以吗(如图3)?这里呢(如图4)?还可以放在哪里?同学们可以大胆地想一想。如果移到图形外面(如图5),是否可以呢?
(师用几何画板呈现)
师:这些问题留给大家课后探索,记得把你的发现跟同学交流。
【设计意图】好的教学一定会留给学生反思體悟的时间。反思可以让知识内化为学生的智慧。好的教学也一定会给学生更大的空间、更多的可能性,让学习从课上走到课下。在本节课,学生得到了关于多边形内角和的结论,但教师并没有让学生探索的脚步就此停止,而是再一次拓展空间、整合提升,利用几何画板呈现另外几种研究的角度,在学生心里埋下一颗种子,画上三个问号,让其带着新问题走出课堂。
【教学反思】
对于《多边形的内角和》一课的教学,很多教师进行过尝试,笔者发现问题多在于教师的“想法太多”“包袱太重”,在教学实践中常常顾此失彼——“顾”多边形分割方法的指导,“失”学生对探索规律方法的体验;[DK]“顾”对规律结果的呈现,“失”学生对探索过程的感悟;“顾”对知识深度的挖掘,“失”学生真实的学习体验……
本节课,笔者大胆丢掉所有“包袱”,试着还“真实的学习”给学生,让学生直面“真实的问题”,真实地研究问题,拒绝过度设计。从导入引思、化繁为简,到顺应节奏、真实研究,再到基于数据、深度探索,最后到拓展空间、整合提升,环环相扣,顺着学生思维,探寻知识本质。从收集数据开始,学生在收集数据的过程中不断积累数学活动经验;然后在观察数据中大胆提出猜想,感受“不完全归纳法加合情推理”的科学态度;最后结合图形验证猜想,不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索过程,发展了理性思考,还渗透了数形结合的思想,一举多得。
纵观整节课的教学,可谓既见树木又见森林,既有“大问题”引领,把握研究方向,也有深度追问,步步紧逼知识本质,学生的学习像呼吸一样真实地发生了。
参考文献:
[1]单建军,夏晨.“多边形的内角和”教学实录与评析[J].小学数学教育,2016(18):24.