论文部分内容阅读
【摘要】如今，课程改革已进入一个新时期，最显著的特征就是从“教”到“学”的转变，“学”越来越受重视，“为学而教”已经成为广大一线教师的共识。为了学生“真实的学习”，让学习真实地发生，教师可以通过交流互动，让学生带着好奇与热情投入学习，直面“真实的问题”；顺应探索节奏，让学生真实地去研究问题，让学习像呼吸一样自然；也可以适度拓展空间，整合提升，让学生带着惊叹与新的问题继续学习。“真实的学习”不仅是有方向的，而且是可持续的，学生只有经历了这样的学习过程才能真正成长。
【关键词】《多边形的内角和》；教学实践；教学反思
【教学内容】
苏教版数学四年级下册第96～97页。
【课前慎思】
《多边形的内角和》为苏教版数学四年级下册探索规律的专题内容。自2013年教材修订后，很多老师对此专题内容的教学进行了大胆的尝试与探索。经过深入的研究与思考，笔者发现众多的教学实践普遍存在以下几个问题：第一，注重多边形的三角剖分，忽视探索规律的方法；第二，注重让学生得到规律的结果，不注重学生实际的研究过程；第三，虽然注重多边形分割方法的指导与优化，但常常忽略学生对求和方法的真实选择，不顺应学生实际的研究节奏。对此，笔者思考：
《多边形的内角和》的核心知识到底是什么？
探索规律的方法和多边形的分割方法哪个更重要？
探索规律的过程是怎样的？是不是应该这样：根据研究的数据观察发现得到猜想，然后进一步理性思考与追问，进而发现规律本质？探索的起点在哪里？猜想和行动孰前孰后？合情推理与演绎推理的关系又该如何处理？
学生真实的研究过程是什么？难道是这样：通过四边形内角和的研究，对求和方法进行优化，接着利用优化的方法研究其他多边形，最后观察得到结论？真实的研究应该是在未知中进行探索，儿童需要经历观察、发现、猜想、验证的过程，我们是不是应该给学生更大的空间呢？
多边形任意一个顶点与不相邻的其他顶点连接，把多边形分割成若干三角形，这种分割方法真的是最优的方法吗？学生对这种方法是主动选择还是被动要求？我们是否有过度设计的嫌疑？
真实的研究是什么样子？是主动探索还是被动研究？是先有目标再有过程，还是先有过程再有目标？是该顺应儿童学习规律进而激发兴趣和引导学习，还是传授技巧与暗示结论？
……
经过一系列的深度思考，笔者认为《多边形的内角和》一课具有很高的研究价值。为了让“真实的学习”发生，笔者决定颠覆传统设计，大胆一试。
【教学目标】
1学生通过操作、观察等具体活动，探索并发现多边形的内角和所蕴含的规律，知道多边形的内角和与边数之间的关系。
2学生经历探索的全过程，积累探索和发现数学规律的经验，发展空间观念，体会转化和数形结合的数学思想，培养动手操作和推理能力，发展理性思考。
3学生在参与活动的过程中进一步产生对数学的好奇心，感受数学学习的挑战性和趣味性，增强学好数学的信心[1]24。
【教学重点】
学生探索并发现多边形的内角和的规律[1]24。
【教学难点】
学生能感受规律探究的一般过程和方法[1]24。
【教学准备】
课件；各不相同的四边形、五边形每人一个；研究材料每人一份。
【教学过程】
一、导入引思，化繁为简
1猜谜互动，激趣导入
师：同学们喜欢玩猜谜游戏吗？
生：喜欢。
师：今天，丁老师带来一个谜题，你们敢不敢挑战一下？
生：（自信地说）敢！
师：请听题。一闪一闪亮晶晶，璀璨光芒似水晶，棱角分明格外硬，价值珍贵赛黄金。打一物品。
（生自由猜测）
师：到底是什么呢？瞧！（师出示闪烁的钻石照片）没错，谜底就是钻石。看到这些美丽的钻石图片，大家感觉怎么样？
生：好漂亮啊！
师：其实早在1300年前，人们就发现切割能够让钻石变得更加流光溢彩。我们今天看到的钻石往往被切割出20多个多边形的面，每个表面都闪烁着光芒，变幻莫测。那么，组成它们的多边形有着怎样的特别之处呢？今天，我们就一起来研究有关多边形的问题，大家一起说我们要研究的问题是——多边形的内角和（生齐读课题）。
（板书课题：多边形的内角和）
2化繁为简，确定方向
师：多边形的内角和蕴含怎样的数学规律？你们准备怎么研究这个问题？
（生显得有些茫然，一时无措）
师：先静静地想一想，要研究这个问题，接下来你准备怎么办呢？（学生静静地思考）大家有想法了吗？
生：可以画1个四边形，然后求出它的内角和。
生：也可以求出五边形的内角和。
师：厉害啊！我发现同学们都关注到了课题中的关键词——
生：内角和。
师：看来，我们要想办法求多边形的内角和（生点头同意）。可是，我们该从哪个多边形开始研究呢？
生：先研究四边形。
生：应该先研究三角形。
师：为什么？
生：因为三角形是最简单的多边形。
师：我想起一句非常经典的古语：天下难事，必作于易。碰到复杂的问题，我们一般从简单的入手。
師：谁来指一指三角形的内角都在哪儿呢？（师出示三角形）3个内角的和等于——
生：180°。
师：还记得我们是怎样得到这个结论的吗？
生：先量出3个内角的度数，再将其加在一起。
生：把3个角剪下来拼在一起。 （课件依次再现使用过的方法，如图1）
师：不管使用哪一种方法，我们都可以发现三角形的内角和等于180°。（板书：三角形180°）
师：既然我们已经知道了三角形的内角和，那接下来我们该研究——
生：四边形。
师：我们只研究四边形就可以了吗？
生：不行，因为还有五边形、六边形等其他的多边形。
师：哦，我们还需要研究五边形、六边形、七边形……（师依次板书）探索规律，我们要收集尽可能多的数据，这样得到的结论才更科学。
【设计意图】“多边形的内角和”作为规律性知识，其学习的核心环节是“观察与比较”，在此之前应该有两项准备性活动：一是建立“目标和动机”，即学习者明确“我想要做什么”或者“我需要做什么”，为后面的活动明确目标，形成动机；二是建立“情境与对象”，学生一方面回忆已有的相关知识和经验，另一方面建立观察与比较的对象。本课“规律探索的起点在哪里”及“怎样探索这个规律”等都是“真实的学习”的问题起点，教师在明确研究的问题后，可引导学生把目光聚焦在“怎么研究”和“先研究什么”这两个大问题上，旨在构建开放探究的课堂，启发学生智慧，渗透数学研究的一般方法；紧接着通过层层追问，让学生自然地产生求多边形内角和的需要及收集数据的意识，真正感受学习是因为需要学，研究是因为需要研究，求和是因为需要用数据来说话。
二、顺应节奏，真实研究
1四边形的内角和
师：四边形的内角和可能是多少度呢？同学们可以先猜一猜。
生：360°。
生：360°。
……
师：咦，大家怎么都猜360°，为什么？
生：因为四边形的4个角都是直角，所以是360°。
师：他是什么意思，谁听懂了？
生：他的意思是长方形和正方形的内角和都是360°。
师：厉害啊！他想到了长方形和正方形这样的特殊的四边形。是不是任意一个四边形的内角和都是360°呢？
（生摇头，犹豫）
师：看来我们还需要进一步研究检验。下面，请大家拿出学习材料中的四边形，先指一指四边形的内角都在哪儿，边指边想一想，你准备怎样求四边形的内角和，除了研究三角形时所使用的方法，还有没有其他的方法呢？想好的同学动手试一试。
（学生在教师的引导下，独立思考后大胆探究，再全班交流）
生：我先量出4个角的度数，然后再求和，结果是360°。
生：我利用以前的方法，把四边形的4个角都剪下来，然后拼在一起，正好是1个周角，是360°。
生：我把四边形分成2个三角形，1个三角形是180°，2个180°就是360°。
师：你能否帮我们把2个三角形的内角与四边形的内角分别标出来，方便大家看得更清楚？
（生分别标出内角）
师：瞧，这么一标，你有什么发现？
[JP4]生：2个三角形的内角和正好等于四边形的内角和。
师：你们觉得这种方法怎么样？
生：很清晰，也很方便。
生：我把四边形分成了4个三角形，4个180°就是720°，用720°减去360°得到360°。
师：为什么前面那位同学计算时不用减360°？
生：因为没有增加新的角。
师：中间的4个角不属于四边形的内角，要减去。现在我们来比较一下几位同学的研究结果，你有什么发现？
生：四边形的内角和都是360°。
师：尽管四边形的形状、大小都不相同，验证的方法也不相同，但是四边形的内角和都是360°。（板书：360°）
【设计意图】教学是既见树木又见森林的过程，四边形的探索显然是极其重要的一棵“树木”，需要教师重点关照。使用四边形纸片这样可操作的“动态”研究材料，方便学生剪、拼、折、画等操作，为多样化方法的出现提供了很好的载体。汇报交流时，通过对话、交流、思辨等活动，学生深刻体悟不同方法之间的联系，丰富了学生的数学活动经验和智力背景，为后续的探索打下坚实的基础。
2五边形的内角和
师：下面继续研究，五边形的内角和又是多少度呢？请同学们拿出材料袋中的五边形。你能根据已有的知识和经验，求出五边形的内角和吗？
（学生活动后交流）
生：我把五边形分成3个三角形，3个180°是540°。
生：我把五边形分成1个三角形和1个四边形，180°+360°=540°。
生：我把五边形分成2个四边形，360°乘2再减去180°就是540°。
师：为什么要减去180°呢？
生：因为有2个角不是五边形的内角，所以要减去。
师：比较几位同学的研究结果，你有什么发现？
生：虽然三种方法不同，但结果是一样的，五边形的内角和是540°。（师板书：540°）
师：比较一下，这三种方法之间有没有什么联系呢？
生：都是把五边形转化为四边形或三角形来研究。
生：都是3个180°。
生：都是转化为三角形来思考。
师：明明还有转化为四边形的嘛，你怎么说都是转化为三角形来思考呢？
生：因为四边形也是转化为三角形来思考的啊。
（學生自发给予掌声）
师：真了不起！学习数学，我们不能只看到方法的表面，更要看到方法背后的本质。两种方法本质上都是把五边形转化为三角形进行思考。转化是一种非常重要的数学思想。
师：有没有人用剪拼的方法研究五边形？（生摇头）为什么不用？ 生：剪拼比较麻烦。
师：先量角再求和呢？
生：先量角再求和也很麻烦，会出现误差。
师：其实剪拼和量角也都是可行的方法，不过我们研究问题的过程，也是逐步优化方法的过程。如果继续求其他多边形的内角和，你会选择哪一种方法呢？
生：分割成三角形的方法，因为它最简单。
师：下面，让我们带着刚才的收获继续研究。
【设计意图】有了四边形内角和探索的经验，学生对五边形内角和的探索水到渠成。好的教学绝不能只关注结果，还要关注研究的过程。数学研究的过程，就是逐步优化方法的过程，也是不断接近和探求知识本质的过程。通过比较几种分割方法的本质联系，学生透过现象看本质，发现各种分割方法的本质都是转化为三角形来思考的，这为后续研究方法的自然选择做足了铺垫。完美的教学应是如此：顺应儿童的天性，像呼吸一样自然。
3其他多边形的内角和
师：请同学们拿出学习材料，不着急，先想一想，如果用这种方法分一分，你觉得六边形能分成几个三角形？七边形呢？
（学生独立思考后，先分一分，再算一算）
生：六边形可以分成4个三角形，内角和是720°。七边形可以分成5个三角形，内角和是900°。
师：把多边形分割成三角形时，你有没有什么经验跟大家分享？
师：（小结）从一个顶点开始，按照顺序与其他顶点依次相连。
【设计意图】从三角形到四边形到五边形再到六边形、七边形，学习就这样真实发生了。学生对多边形内角和的研究步步为营，从方法的多样化到逐步优化，从关注方法的表面到把握其本质，学生的顿悟建立在之前丰富的数学活动经验上，我们要做的就是引导学生顺应节奏，真实研究。
三、基于数据，深度探索
师：经过刚才的探索，我们得到了这么多数据（如表1）。认真观察这些多边形的内角和，你有什么发现？
生：边数越多，内角和就越大。
师：多边形的内角和与什么有关呢？
生：边数。
师：请你上来把每个多边形的边数写在对应的位置上。
（学生完成板书：边数3、4、5、6、7）
师：大家继续观察，内角和的变化还有什么规律？
生：每增加1条边内角和就增加180°。
师：有意思！你们能不能把这些内角和换一种形式表示出来？
生：三角形的内角和是180°×1，四边形的内角和是180°×2……
（师结合学生回答调整板书，将内角和的卡片翻过来）
师：内角和与边数到底有什么关系呢？认真观察研究得到的数据（如表2），自己先想一想，然后把你的想法在小组里交流一下。
生：多边形的内角和=（边数-2）×180°。
师：能结合这里的例子具体说说吗？
生：三角形的边数是3，3减2等于1，所以三角形的内角和就是1×180°=180°。
师：照这样下去，如果是[WTBX]n[WTBZ]边形呢？
生：（[WTBX]n-2）×180°。
师：（追问）n表示什么？
生：多边形的边数。
师：这里的n可以是哪些数呢？最小是多少？[WTBZ]
生：大于2的整数，最小是3。
师：这个结论只是我们研究刚才的几个多边形得到的，怎么知道其他的多边形的内角和是不是也符合我们的发现呢？怎么办？
生：再算一算其他的多边形。
师：有道理，可是能算得完吗？
生：算不完。
师：那我们能不能换个角度来验证？刚才我们通过观察数据提出猜想，你们能不能结合图形来说明为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢？咱们一起来回顾一下刚才分割多边形的经验。
师：下面我们进行小组讨论，为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢？
（小组讨论）
生：边数减2就是多边形分成三角形的数量。
师：说得太好了。边数减2表示什么？
生：分成三角形的数量。
师：三角形的个数为什么是边数减2呢？
生：有2条边对不到三角形。
师：哪两条？
生：和顶点相连的2条边对不到三角形。
师：不管是几边形，分割成的三角形的数量都比边数少2，因此多边形的内角和等于边数减2乘180°。
师：学习数学，我们不仅可以从数据中提出猜想，还可以借助图形进行验证。数形结合是一种非常重要的数学思想，而“猜想—验证”则是一种很好的探索规律的方法。
【设计意图】“不完全归纳”与“合情推理”对小学生来说就是最好的科学态度。学生先通过观察数据，大胆提出猜想，接着再借助图形说明为什么多边形的内角和=（边数-2）×180°。这个过程不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索，发展了理性思考，还渗透了数形结合的思想方法，一举多得。
四、拓展空间，整合提升
师：回顾今天的探索过程，你有什么收获或体会吗？
（生自由小结）
师：通过今天的研究，我们发现了多边形内角和所蕴含的数学规律，但内角和的研究并没有结束。其实还有很多人也为了研究多边形的内角和，从其他的角度进行了研究。大家想不想一起看一看？
生：（满怀期待地说）想！
师：比如，有人就从多边形内部点上一点，分别与各个顶点相连，这样就分成了若干个三角形（如图2），进而可以求出多边形的内角和。
师：这种方法又会得到什么样的结果呢？
师：（追问）如果把中间的点放在这个位置，可以吗（如图3）？这里呢（如图4）？还可以放在哪里？同学们可以大胆地想一想。如果移到图形外面（如图5），是否可以呢？
（师用几何画板呈现）
师：这些问题留给大家课后探索，记得把你的发现跟同学交流。
【设计意图】好的教学一定会留给学生反思體悟的时间。反思可以让知识内化为学生的智慧。好的教学也一定会给学生更大的空间、更多的可能性，让学习从课上走到课下。在本节课，学生得到了关于多边形内角和的结论，但教师并没有让学生探索的脚步就此停止，而是再一次拓展空间、整合提升，利用几何画板呈现另外几种研究的角度，在学生心里埋下一颗种子，画上三个问号，让其带着新问题走出课堂。
【教学反思】
对于《多边形的内角和》一课的教学，很多教师进行过尝试，笔者发现问题多在于教师的“想法太多”“包袱太重”，在教学实践中常常顾此失彼——“顾”多边形分割方法的指导，“失”学生对探索规律方法的体验；[DK]“顾”对规律结果的呈现，“失”学生对探索过程的感悟；“顾”对知识深度的挖掘，“失”学生真实的学习体验……
本节课，笔者大胆丢掉所有“包袱”，试着还“真实的学习”给学生，让学生直面“真实的问题”，真实地研究问题，拒绝过度设计。从导入引思、化繁为简，到顺应节奏、真实研究，再到基于数据、深度探索，最后到拓展空间、整合提升，环环相扣，顺着学生思维，探寻知识本质。从收集数据开始，学生在收集数据的过程中不断积累数学活动经验；然后在观察数据中大胆提出猜想，感受“不完全归纳法加合情推理”的科学态度；最后结合图形验证猜想，不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索过程，发展了理性思考，还渗透了数形结合的思想，一举多得。
纵观整节课的教学，可谓既见树木又见森林，既有“大问题”引领，把握研究方向，也有深度追问，步步紧逼知识本质，学生的学习像呼吸一样真实地发生了。
参考文献：
[1]单建军，夏晨.“多边形的内角和”教学实录与评析[J].小学数学教育，2016（18）：24.
【关键词】《多边形的内角和》；教学实践；教学反思
【教学内容】
苏教版数学四年级下册第96～97页。
【课前慎思】
《多边形的内角和》为苏教版数学四年级下册探索规律的专题内容。自2013年教材修订后，很多老师对此专题内容的教学进行了大胆的尝试与探索。经过深入的研究与思考，笔者发现众多的教学实践普遍存在以下几个问题：第一，注重多边形的三角剖分，忽视探索规律的方法；第二，注重让学生得到规律的结果，不注重学生实际的研究过程；第三，虽然注重多边形分割方法的指导与优化，但常常忽略学生对求和方法的真实选择，不顺应学生实际的研究节奏。对此，笔者思考：
《多边形的内角和》的核心知识到底是什么？
探索规律的方法和多边形的分割方法哪个更重要？
探索规律的过程是怎样的？是不是应该这样：根据研究的数据观察发现得到猜想，然后进一步理性思考与追问，进而发现规律本质？探索的起点在哪里？猜想和行动孰前孰后？合情推理与演绎推理的关系又该如何处理？
学生真实的研究过程是什么？难道是这样：通过四边形内角和的研究，对求和方法进行优化，接着利用优化的方法研究其他多边形，最后观察得到结论？真实的研究应该是在未知中进行探索，儿童需要经历观察、发现、猜想、验证的过程，我们是不是应该给学生更大的空间呢？
多边形任意一个顶点与不相邻的其他顶点连接，把多边形分割成若干三角形，这种分割方法真的是最优的方法吗？学生对这种方法是主动选择还是被动要求？我们是否有过度设计的嫌疑？
真实的研究是什么样子？是主动探索还是被动研究？是先有目标再有过程，还是先有过程再有目标？是该顺应儿童学习规律进而激发兴趣和引导学习，还是传授技巧与暗示结论？
……
经过一系列的深度思考，笔者认为《多边形的内角和》一课具有很高的研究价值。为了让“真实的学习”发生，笔者决定颠覆传统设计，大胆一试。
【教学目标】
1学生通过操作、观察等具体活动，探索并发现多边形的内角和所蕴含的规律，知道多边形的内角和与边数之间的关系。
2学生经历探索的全过程，积累探索和发现数学规律的经验，发展空间观念，体会转化和数形结合的数学思想，培养动手操作和推理能力，发展理性思考。
3学生在参与活动的过程中进一步产生对数学的好奇心，感受数学学习的挑战性和趣味性，增强学好数学的信心[1]24。
【教学重点】
学生探索并发现多边形的内角和的规律[1]24。
【教学难点】
学生能感受规律探究的一般过程和方法[1]24。
【教学准备】
课件；各不相同的四边形、五边形每人一个；研究材料每人一份。
【教学过程】
一、导入引思，化繁为简
1猜谜互动，激趣导入
师：同学们喜欢玩猜谜游戏吗？
生：喜欢。
师：今天，丁老师带来一个谜题，你们敢不敢挑战一下？
生：（自信地说）敢！
师：请听题。一闪一闪亮晶晶，璀璨光芒似水晶，棱角分明格外硬，价值珍贵赛黄金。打一物品。
（生自由猜测）
师：到底是什么呢？瞧！（师出示闪烁的钻石照片）没错，谜底就是钻石。看到这些美丽的钻石图片，大家感觉怎么样？
生：好漂亮啊！
师：其实早在1300年前，人们就发现切割能够让钻石变得更加流光溢彩。我们今天看到的钻石往往被切割出20多个多边形的面，每个表面都闪烁着光芒，变幻莫测。那么，组成它们的多边形有着怎样的特别之处呢？今天，我们就一起来研究有关多边形的问题，大家一起说我们要研究的问题是——多边形的内角和（生齐读课题）。
（板书课题：多边形的内角和）
2化繁为简，确定方向
师：多边形的内角和蕴含怎样的数学规律？你们准备怎么研究这个问题？
（生显得有些茫然，一时无措）
师：先静静地想一想，要研究这个问题，接下来你准备怎么办呢？（学生静静地思考）大家有想法了吗？
生：可以画1个四边形，然后求出它的内角和。
生：也可以求出五边形的内角和。
师：厉害啊！我发现同学们都关注到了课题中的关键词——
生：内角和。
师：看来，我们要想办法求多边形的内角和（生点头同意）。可是，我们该从哪个多边形开始研究呢？
生：先研究四边形。
生：应该先研究三角形。
师：为什么？
生：因为三角形是最简单的多边形。
师：我想起一句非常经典的古语：天下难事，必作于易。碰到复杂的问题，我们一般从简单的入手。
師：谁来指一指三角形的内角都在哪儿呢？（师出示三角形）3个内角的和等于——
生：180°。
师：还记得我们是怎样得到这个结论的吗？
生：先量出3个内角的度数，再将其加在一起。
生：把3个角剪下来拼在一起。 （课件依次再现使用过的方法，如图1）
师：不管使用哪一种方法，我们都可以发现三角形的内角和等于180°。（板书：三角形180°）
师：既然我们已经知道了三角形的内角和，那接下来我们该研究——
生：四边形。
师：我们只研究四边形就可以了吗？
生：不行，因为还有五边形、六边形等其他的多边形。
师：哦，我们还需要研究五边形、六边形、七边形……（师依次板书）探索规律，我们要收集尽可能多的数据，这样得到的结论才更科学。
【设计意图】“多边形的内角和”作为规律性知识，其学习的核心环节是“观察与比较”，在此之前应该有两项准备性活动：一是建立“目标和动机”，即学习者明确“我想要做什么”或者“我需要做什么”，为后面的活动明确目标，形成动机；二是建立“情境与对象”，学生一方面回忆已有的相关知识和经验，另一方面建立观察与比较的对象。本课“规律探索的起点在哪里”及“怎样探索这个规律”等都是“真实的学习”的问题起点，教师在明确研究的问题后，可引导学生把目光聚焦在“怎么研究”和“先研究什么”这两个大问题上，旨在构建开放探究的课堂，启发学生智慧，渗透数学研究的一般方法；紧接着通过层层追问，让学生自然地产生求多边形内角和的需要及收集数据的意识，真正感受学习是因为需要学，研究是因为需要研究，求和是因为需要用数据来说话。
二、顺应节奏，真实研究
1四边形的内角和
师：四边形的内角和可能是多少度呢？同学们可以先猜一猜。
生：360°。
生：360°。
……
师：咦，大家怎么都猜360°，为什么？
生：因为四边形的4个角都是直角，所以是360°。
师：他是什么意思，谁听懂了？
生：他的意思是长方形和正方形的内角和都是360°。
师：厉害啊！他想到了长方形和正方形这样的特殊的四边形。是不是任意一个四边形的内角和都是360°呢？
（生摇头，犹豫）
师：看来我们还需要进一步研究检验。下面，请大家拿出学习材料中的四边形，先指一指四边形的内角都在哪儿，边指边想一想，你准备怎样求四边形的内角和，除了研究三角形时所使用的方法，还有没有其他的方法呢？想好的同学动手试一试。
（学生在教师的引导下，独立思考后大胆探究，再全班交流）
生：我先量出4个角的度数，然后再求和，结果是360°。
生：我利用以前的方法，把四边形的4个角都剪下来，然后拼在一起，正好是1个周角，是360°。
生：我把四边形分成2个三角形，1个三角形是180°，2个180°就是360°。
师：你能否帮我们把2个三角形的内角与四边形的内角分别标出来，方便大家看得更清楚？
（生分别标出内角）
师：瞧，这么一标，你有什么发现？
[JP4]生：2个三角形的内角和正好等于四边形的内角和。
师：你们觉得这种方法怎么样？
生：很清晰，也很方便。
生：我把四边形分成了4个三角形，4个180°就是720°，用720°减去360°得到360°。
师：为什么前面那位同学计算时不用减360°？
生：因为没有增加新的角。
师：中间的4个角不属于四边形的内角，要减去。现在我们来比较一下几位同学的研究结果，你有什么发现？
生：四边形的内角和都是360°。
师：尽管四边形的形状、大小都不相同，验证的方法也不相同，但是四边形的内角和都是360°。（板书：360°）
【设计意图】教学是既见树木又见森林的过程，四边形的探索显然是极其重要的一棵“树木”，需要教师重点关照。使用四边形纸片这样可操作的“动态”研究材料，方便学生剪、拼、折、画等操作，为多样化方法的出现提供了很好的载体。汇报交流时，通过对话、交流、思辨等活动，学生深刻体悟不同方法之间的联系，丰富了学生的数学活动经验和智力背景，为后续的探索打下坚实的基础。
2五边形的内角和
师：下面继续研究，五边形的内角和又是多少度呢？请同学们拿出材料袋中的五边形。你能根据已有的知识和经验，求出五边形的内角和吗？
（学生活动后交流）
生：我把五边形分成3个三角形，3个180°是540°。
生：我把五边形分成1个三角形和1个四边形，180°+360°=540°。
生：我把五边形分成2个四边形，360°乘2再减去180°就是540°。
师：为什么要减去180°呢？
生：因为有2个角不是五边形的内角，所以要减去。
师：比较几位同学的研究结果，你有什么发现？
生：虽然三种方法不同，但结果是一样的，五边形的内角和是540°。（师板书：540°）
师：比较一下，这三种方法之间有没有什么联系呢？
生：都是把五边形转化为四边形或三角形来研究。
生：都是3个180°。
生：都是转化为三角形来思考。
师：明明还有转化为四边形的嘛，你怎么说都是转化为三角形来思考呢？
生：因为四边形也是转化为三角形来思考的啊。
（學生自发给予掌声）
师：真了不起！学习数学，我们不能只看到方法的表面，更要看到方法背后的本质。两种方法本质上都是把五边形转化为三角形进行思考。转化是一种非常重要的数学思想。
师：有没有人用剪拼的方法研究五边形？（生摇头）为什么不用？ 生：剪拼比较麻烦。
师：先量角再求和呢？
生：先量角再求和也很麻烦，会出现误差。
师：其实剪拼和量角也都是可行的方法，不过我们研究问题的过程，也是逐步优化方法的过程。如果继续求其他多边形的内角和，你会选择哪一种方法呢？
生：分割成三角形的方法，因为它最简单。
师：下面，让我们带着刚才的收获继续研究。
【设计意图】有了四边形内角和探索的经验，学生对五边形内角和的探索水到渠成。好的教学绝不能只关注结果，还要关注研究的过程。数学研究的过程，就是逐步优化方法的过程，也是不断接近和探求知识本质的过程。通过比较几种分割方法的本质联系，学生透过现象看本质，发现各种分割方法的本质都是转化为三角形来思考的，这为后续研究方法的自然选择做足了铺垫。完美的教学应是如此：顺应儿童的天性，像呼吸一样自然。
3其他多边形的内角和
师：请同学们拿出学习材料，不着急，先想一想，如果用这种方法分一分，你觉得六边形能分成几个三角形？七边形呢？
（学生独立思考后，先分一分，再算一算）
生：六边形可以分成4个三角形，内角和是720°。七边形可以分成5个三角形，内角和是900°。
师：把多边形分割成三角形时，你有没有什么经验跟大家分享？
师：（小结）从一个顶点开始，按照顺序与其他顶点依次相连。
【设计意图】从三角形到四边形到五边形再到六边形、七边形，学习就这样真实发生了。学生对多边形内角和的研究步步为营，从方法的多样化到逐步优化，从关注方法的表面到把握其本质，学生的顿悟建立在之前丰富的数学活动经验上，我们要做的就是引导学生顺应节奏，真实研究。
三、基于数据，深度探索
师：经过刚才的探索，我们得到了这么多数据（如表1）。认真观察这些多边形的内角和，你有什么发现？
生：边数越多，内角和就越大。
师：多边形的内角和与什么有关呢？
生：边数。
师：请你上来把每个多边形的边数写在对应的位置上。
（学生完成板书：边数3、4、5、6、7）
师：大家继续观察，内角和的变化还有什么规律？
生：每增加1条边内角和就增加180°。
师：有意思！你们能不能把这些内角和换一种形式表示出来？
生：三角形的内角和是180°×1，四边形的内角和是180°×2……
（师结合学生回答调整板书，将内角和的卡片翻过来）
师：内角和与边数到底有什么关系呢？认真观察研究得到的数据（如表2），自己先想一想，然后把你的想法在小组里交流一下。
生：多边形的内角和=（边数-2）×180°。
师：能结合这里的例子具体说说吗？
生：三角形的边数是3，3减2等于1，所以三角形的内角和就是1×180°=180°。
师：照这样下去，如果是[WTBX]n[WTBZ]边形呢？
生：（[WTBX]n-2）×180°。
师：（追问）n表示什么？
生：多边形的边数。
师：这里的n可以是哪些数呢？最小是多少？[WTBZ]
生：大于2的整数，最小是3。
师：这个结论只是我们研究刚才的几个多边形得到的，怎么知道其他的多边形的内角和是不是也符合我们的发现呢？怎么办？
生：再算一算其他的多边形。
师：有道理，可是能算得完吗？
生：算不完。
师：那我们能不能换个角度来验证？刚才我们通过观察数据提出猜想，你们能不能结合图形来说明为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢？咱们一起来回顾一下刚才分割多边形的经验。
师：下面我们进行小组讨论，为什么多边形的内角和等于边数减2乘180°呢？
（小组讨论）
生：边数减2就是多边形分成三角形的数量。
师：说得太好了。边数减2表示什么？
生：分成三角形的数量。
师：三角形的个数为什么是边数减2呢？
生：有2条边对不到三角形。
师：哪两条？
生：和顶点相连的2条边对不到三角形。
师：不管是几边形，分割成的三角形的数量都比边数少2，因此多边形的内角和等于边数减2乘180°。
师：学习数学，我们不仅可以从数据中提出猜想，还可以借助图形进行验证。数形结合是一种非常重要的数学思想，而“猜想—验证”则是一种很好的探索规律的方法。
【设计意图】“不完全归纳”与“合情推理”对小学生来说就是最好的科学态度。学生先通过观察数据，大胆提出猜想，接着再借助图形说明为什么多边形的内角和=（边数-2）×180°。这个过程不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索，发展了理性思考，还渗透了数形结合的思想方法，一举多得。
四、拓展空间，整合提升
师：回顾今天的探索过程，你有什么收获或体会吗？
（生自由小结）
师：通过今天的研究，我们发现了多边形内角和所蕴含的数学规律，但内角和的研究并没有结束。其实还有很多人也为了研究多边形的内角和，从其他的角度进行了研究。大家想不想一起看一看？
生：（满怀期待地说）想！
师：比如，有人就从多边形内部点上一点，分别与各个顶点相连，这样就分成了若干个三角形（如图2），进而可以求出多边形的内角和。
师：这种方法又会得到什么样的结果呢？
师：（追问）如果把中间的点放在这个位置，可以吗（如图3）？这里呢（如图4）？还可以放在哪里？同学们可以大胆地想一想。如果移到图形外面（如图5），是否可以呢？
（师用几何画板呈现）
师：这些问题留给大家课后探索，记得把你的发现跟同学交流。
【设计意图】好的教学一定会留给学生反思體悟的时间。反思可以让知识内化为学生的智慧。好的教学也一定会给学生更大的空间、更多的可能性，让学习从课上走到课下。在本节课，学生得到了关于多边形内角和的结论，但教师并没有让学生探索的脚步就此停止，而是再一次拓展空间、整合提升，利用几何画板呈现另外几种研究的角度，在学生心里埋下一颗种子，画上三个问号，让其带着新问题走出课堂。
【教学反思】
对于《多边形的内角和》一课的教学，很多教师进行过尝试，笔者发现问题多在于教师的“想法太多”“包袱太重”，在教学实践中常常顾此失彼——“顾”多边形分割方法的指导，“失”学生对探索规律方法的体验；[DK]“顾”对规律结果的呈现，“失”学生对探索过程的感悟；“顾”对知识深度的挖掘，“失”学生真实的学习体验……
本节课，笔者大胆丢掉所有“包袱”，试着还“真实的学习”给学生，让学生直面“真实的问题”，真实地研究问题，拒绝过度设计。从导入引思、化繁为简，到顺应节奏、真实研究，再到基于数据、深度探索，最后到拓展空间、整合提升，环环相扣，顺着学生思维，探寻知识本质。从收集数据开始，学生在收集数据的过程中不断积累数学活动经验；然后在观察数据中大胆提出猜想，感受“不完全归纳法加合情推理”的科学态度；最后结合图形验证猜想，不仅让学生经历了“猜想—验证”的探索过程，发展了理性思考，还渗透了数形结合的思想，一举多得。
纵观整节课的教学，可谓既见树木又见森林，既有“大问题”引领，把握研究方向，也有深度追问，步步紧逼知识本质，学生的学习像呼吸一样真实地发生了。
参考文献：
[1]单建军，夏晨.“多边形的内角和”教学实录与评析[J].小学数学教育，2016（18）：24.