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摘要:逻辑推理素养是高中数学学科核心素养的重要构成部分。在教学中注重该素养的培养,不仅有助于学生更好地掌握所学知识点,而且能够幫助学生掌握相关的推理技巧与方法,为学生开展探究活动奠定坚实基础。因此,在教学中,教师既要注重逻辑推理理论知识的讲解,又要围绕具体的例题,为学生剖析不同推理类型,把握逻辑推理的一些细节,保证推理过程严谨,推理结论正确。
关键词:高中数学 教学 逻辑推理素养
逻辑推理是指从一些事实与命题出发,依据规则推出其他命题的素养。课程标准中将逻辑推理分为两类:一类为从特殊到一般的推理,包括归纳、类比;一类为从一般到特殊的推理,包括演绎。高中数学授课中应做好教学内容的分析,制订合理的逻辑推理素养培养计划,按部就班地开展培养工作。
一、讲解例题,感受逻辑推理
逻辑推理对学生的思维能力要求较高,因此,教学中应注重讲解相关的例题,增强学生的推理自信。当然在选择例题时既要注重结合学生所学,又要控制例题难度,以激发学生主动思考的热情,让学生更加全身心地投入到学习中。例如,复合函数是高中数学的重要知识,需要学生深入理解,尤其在解答相关问题时需要进行严谨的推理。教学中可为学生讲解如下例题,使其认真感受逻辑推理过程。
已知f(x)=x1+x,f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x))(n∈N*),则f2020(x)的表达式为 。
由于经验函数f(x)的表达式会表现出一定的周期性或存在可循的规律,因此,找到周期或其内在规律成为解题的关键。讲解该例题时启发学生先不要着急,应根据已知条件进行推理,尝试着写出前几项:
f2(x)=f(f1(x))=f1(x)1+f1(x)=x1+2x,
f3(x)=f(f2(x))=f2(x)1+f2(x)=x1+3x,
…
推出fn(x)=x1+nx,便可得出f2020(x)=x1+2020x。
二、设计问题,尝试逻辑推理
教学中不仅要通过例题的讲解培养学生的逻辑推理意识,而且应注重为学生提供逻辑推理的机会,即围绕学生所学知识点设计经典的问题,在课堂上给学生留下一定的空白,要求其积极思考,认真推理,使其体会推理的具体过程,积累相关的逻辑推理经验,遇到类似问题能够迅速解题。数列在高中数学中占有重要地位,教学中应注重设计如下问题,鼓励学生尝试着进行逻辑推理。
如图1所示,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22过点A作BC的垂线垂足为A1;过点A1作AC的垂线垂足为A2;过点A2作A1C的垂线垂足为A3,依次类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= 。
该题目难度并不大,之所以要在课堂上为学生展示该题,主要是使其体验逻辑推理的过程,增强学生的逻辑推理自信。推理过程中先引导学生认真观察图1,找到角与角、线段与线段之间的关系,以提高逻辑推理效率。
根据已知条件不难推出,BA=2,认真观察可知AA1/BA=a2/a1=cos45°=22;A1A2/AA1=a3/a2=cos45°=22,…,各线段长度构成以BA=a1=2为首项,以22为公比的等比数列,则an=2×22n-1,因此,a7=2×226=2×18=14。
三、反思过程,把握推理细节
高中数学教学中培养学生的逻辑推理素养时,应引导学生不要满足于得出正确结果,而应做好推理过程的反思,把握逻辑推理的细节,在以后的推理过程中少走弯路,进一步提升学生的逻辑推理能力。导数是高中数学的重要知识点,在讲解该部分知识时可选择相关的习题要求学生作答,并鼓励其认真反思,把握推理细节。
已知(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得,若定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导数,则g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
该题目难度并不大,需要学生认真观察,找到题干中给出的细节合理推理。但很多学生看到题目后抓不住重点,不知道如何下手,导致解题出错。根据给出的已知函数的导数以及题干中“f(-x)=f(x)”这一提示,可知需要分析函数与其导数的奇偶性。给出的函数均为偶函数,而其对应的导数为奇函数,显然当f(x)为偶函数时,其导数应为奇函数,即,g(x)=-g(-x),因此,正确选项为D。
四、加强训练,提升推理技能
数学归纳法是高中数学中的重要推理方法,常被应用于证明题中。在高中数学教学中,为使学生熟练地应用数学归纳法解答相关问题,提高其解题水平,应通过筛选代表性较强的习题,组织学生开展相关的训练活动,并鼓励其相互交流解题经验与技巧,使其能够及时发现与弥补逻辑推理中的不足,促进学生逻辑推理技能的提升。训练中可向学生展示如下习题。
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1。(1)写出a1、a2、a3、并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明推测的结论。
学生对该类题目并不陌生,主要考查其运用数学归纳法推理的能力。学生只要牢牢记住数学归纳法的推理步骤,便不难证明。
对于问题(1),经计算a1=32=22-12,a2=74=23-122,a3=158=24-123。综上可猜测数列{an}的通项公式an=2n+1-12n=2-12n(n∈N*)。
对于问题(2),运用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,a1=32结论成立;
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即ak=2-12k(k∈N*)。
③当n=k+1时,∵Sn+an=2n+1,∴a1+a2+a3+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,
∵a1+a2+a3+…+ak+ak=2k+1,∴a1+a2+a3+…+ak=2k+1-ak,
将上式减下式,得到2ak+1=ak+2=4-12k,∴ak+1=2-12k+1(k∈N*),因此,当n=k+1时结论成立。综上可知对任意的正整数n,结论均成立。
培养学生核心素养是新课改的重要任务,而培养学生的逻辑推理素养是践行核心素养培养工作的具体体现。因此,高中数学教学应积极践行核心素养培养工作,结合具体的教学内容,做好相关例题习题的筛选,培养学生的逻辑推理意识,并设计相关习题使学生亲身体验逻辑推理过程,增强学生的逻辑推理自信,尤其通过针对性的训练,使学生熟练掌握逻辑推理的技巧与方法,提升学生的逻辑推理水平。
参考文献:
[1]费日辉.如何培养学生的数学逻辑推理能力[J].延边教育学院学报,2019,33(06):238239,242.
[2]孙慧芳.基于逻辑推理素养的高中数学课堂教学策略研究[J].现代商贸工业,2019,40(36):175176.
[3]李娜.逻辑推理在高考试题中的渗透[J].延边教育学院学报,2019,33(05):193194+197.
[4]蔡菊香.基于逻辑推理素养培养的高中数学教学策略探讨[J].数学学习与研究,2019(18):31.
[5]陈平.数学核心素养之逻辑推理在高中课堂中的应用实例分析[J].延边教育学院学报,2019,33(02):132134.
关键词:高中数学 教学 逻辑推理素养
逻辑推理是指从一些事实与命题出发,依据规则推出其他命题的素养。课程标准中将逻辑推理分为两类:一类为从特殊到一般的推理,包括归纳、类比;一类为从一般到特殊的推理,包括演绎。高中数学授课中应做好教学内容的分析,制订合理的逻辑推理素养培养计划,按部就班地开展培养工作。
一、讲解例题,感受逻辑推理
逻辑推理对学生的思维能力要求较高,因此,教学中应注重讲解相关的例题,增强学生的推理自信。当然在选择例题时既要注重结合学生所学,又要控制例题难度,以激发学生主动思考的热情,让学生更加全身心地投入到学习中。例如,复合函数是高中数学的重要知识,需要学生深入理解,尤其在解答相关问题时需要进行严谨的推理。教学中可为学生讲解如下例题,使其认真感受逻辑推理过程。
已知f(x)=x1+x,f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x))(n∈N*),则f2020(x)的表达式为 。
由于经验函数f(x)的表达式会表现出一定的周期性或存在可循的规律,因此,找到周期或其内在规律成为解题的关键。讲解该例题时启发学生先不要着急,应根据已知条件进行推理,尝试着写出前几项:
f2(x)=f(f1(x))=f1(x)1+f1(x)=x1+2x,
f3(x)=f(f2(x))=f2(x)1+f2(x)=x1+3x,
…
推出fn(x)=x1+nx,便可得出f2020(x)=x1+2020x。
二、设计问题,尝试逻辑推理
教学中不仅要通过例题的讲解培养学生的逻辑推理意识,而且应注重为学生提供逻辑推理的机会,即围绕学生所学知识点设计经典的问题,在课堂上给学生留下一定的空白,要求其积极思考,认真推理,使其体会推理的具体过程,积累相关的逻辑推理经验,遇到类似问题能够迅速解题。数列在高中数学中占有重要地位,教学中应注重设计如下问题,鼓励学生尝试着进行逻辑推理。
如图1所示,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22过点A作BC的垂线垂足为A1;过点A1作AC的垂线垂足为A2;过点A2作A1C的垂线垂足为A3,依次类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= 。
该题目难度并不大,之所以要在课堂上为学生展示该题,主要是使其体验逻辑推理的过程,增强学生的逻辑推理自信。推理过程中先引导学生认真观察图1,找到角与角、线段与线段之间的关系,以提高逻辑推理效率。
根据已知条件不难推出,BA=2,认真观察可知AA1/BA=a2/a1=cos45°=22;A1A2/AA1=a3/a2=cos45°=22,…,各线段长度构成以BA=a1=2为首项,以22为公比的等比数列,则an=2×22n-1,因此,a7=2×226=2×18=14。
三、反思过程,把握推理细节
高中数学教学中培养学生的逻辑推理素养时,应引导学生不要满足于得出正确结果,而应做好推理过程的反思,把握逻辑推理的细节,在以后的推理过程中少走弯路,进一步提升学生的逻辑推理能力。导数是高中数学的重要知识点,在讲解该部分知识时可选择相关的习题要求学生作答,并鼓励其认真反思,把握推理细节。
已知(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得,若定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导数,则g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
该题目难度并不大,需要学生认真观察,找到题干中给出的细节合理推理。但很多学生看到题目后抓不住重点,不知道如何下手,导致解题出错。根据给出的已知函数的导数以及题干中“f(-x)=f(x)”这一提示,可知需要分析函数与其导数的奇偶性。给出的函数均为偶函数,而其对应的导数为奇函数,显然当f(x)为偶函数时,其导数应为奇函数,即,g(x)=-g(-x),因此,正确选项为D。
四、加强训练,提升推理技能
数学归纳法是高中数学中的重要推理方法,常被应用于证明题中。在高中数学教学中,为使学生熟练地应用数学归纳法解答相关问题,提高其解题水平,应通过筛选代表性较强的习题,组织学生开展相关的训练活动,并鼓励其相互交流解题经验与技巧,使其能够及时发现与弥补逻辑推理中的不足,促进学生逻辑推理技能的提升。训练中可向学生展示如下习题。
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1。(1)写出a1、a2、a3、并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明推测的结论。
学生对该类题目并不陌生,主要考查其运用数学归纳法推理的能力。学生只要牢牢记住数学归纳法的推理步骤,便不难证明。
对于问题(1),经计算a1=32=22-12,a2=74=23-122,a3=158=24-123。综上可猜测数列{an}的通项公式an=2n+1-12n=2-12n(n∈N*)。
对于问题(2),运用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,a1=32结论成立;
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即ak=2-12k(k∈N*)。
③当n=k+1时,∵Sn+an=2n+1,∴a1+a2+a3+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,
∵a1+a2+a3+…+ak+ak=2k+1,∴a1+a2+a3+…+ak=2k+1-ak,
将上式减下式,得到2ak+1=ak+2=4-12k,∴ak+1=2-12k+1(k∈N*),因此,当n=k+1时结论成立。综上可知对任意的正整数n,结论均成立。
培养学生核心素养是新课改的重要任务,而培养学生的逻辑推理素养是践行核心素养培养工作的具体体现。因此,高中数学教学应积极践行核心素养培养工作,结合具体的教学内容,做好相关例题习题的筛选,培养学生的逻辑推理意识,并设计相关习题使学生亲身体验逻辑推理过程,增强学生的逻辑推理自信,尤其通过针对性的训练,使学生熟练掌握逻辑推理的技巧与方法,提升学生的逻辑推理水平。
参考文献:
[1]费日辉.如何培养学生的数学逻辑推理能力[J].延边教育学院学报,2019,33(06):238239,242.
[2]孙慧芳.基于逻辑推理素养的高中数学课堂教学策略研究[J].现代商贸工业,2019,40(36):175176.
[3]李娜.逻辑推理在高考试题中的渗透[J].延边教育学院学报,2019,33(05):193194+197.
[4]蔡菊香.基于逻辑推理素养培养的高中数学教学策略探讨[J].数学学习与研究,2019(18):31.
[5]陈平.数学核心素养之逻辑推理在高中课堂中的应用实例分析[J].延边教育学院学报,2019,33(02):132134.