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【摘 要】分析讲解高考复习中有关易错题的问题，提醒教師和学生要注重将平时错题本中积累的易错之处进行汇总，以防在考试中陷入易错的陷阱。
【关键词】数学 高考复习 易错题 整合
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）12B-0123-03
众所周知，为了让学生更有底气地应对高考，高三数学教师基本上都采用“四回合：一过关斩将阶段（本阶段主要是通过找出各章节的基础知识、基本技能和基本思想进行梳理，并将之连成系统有机的知识结构网络）;二混战体验阶段（通过训练系列练习，让学生将各章节知识结构形成基本题型、基本解题技能和基本解题方法）;三突破拓展阶段（本阶段是通过重点章节专题突破，主要是针对大题，特别是一些压轴题的突破及各综合知识整合与拓展，从而拓宽学生的解题思维能力）;四查缺补漏阶段（再通过训练系列练习，让学生查摆每章节的知识缺漏及习题中的典型错误问题）”。以达到将高中数学知识“找点—联线—构面—成体”的复习效果。特别是后期，已经准备到了高考的阶段，要特别注重将平时错题本中积累的易错之处进行汇总，让学生更加胸有成竹地面对高考的到来。笔者细心研究了高中数学各章节的内容，发现每部分都有易错的陷阱。
一、“集合”中容易忽略空集的讨论
空集是特殊的集合，稍微不注意，就会忘记它的存在。
例1.（2012年东北三校二模，18，12分）已知集合A=，B=，且BA，求实数m的取值范围。
分析：要就B是否为空集进行讨论，利用BA列出关于m的不等式（组）求解。
解析：∵BA
（1）当B=Φ 时，，解得
（2）当B≠Φ时，解得
∴ 综合以上得
二、在简易逻辑中易将“否命题和含一个量词命题的否定”混淆
根据否命题的概念知道，否命题是既要将原命题的条件否定，又要否定结论，而命题的否定只需要否定命题的结论。
例2.（1）（2012年，辽宁，4，5分）已知命题，则是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）（2014年，陕西模拟，1，5分）设是向量，命题“若，则”的否命题是（ ）
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
（1）分析：根据含一个量词命题的否定的定义，此类题的解题思路是“改量词，否结论”。依解题思路易知选择（C）
（2）分析：原命题的否定要求是既要否条件，又要否结论。依解题思路易知选择（A）
三、在函数中要弄清函数定义的真面目
在高中数学中，大家接触到了许多函数，如正比例函数、反比例函数、常数函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数、复合函数等，无论何种函数，只要认清函数的三要素“定义域、值域和对应法则（即表达式）”，在解题中就不会丢三落四的了。
例3.（1）（2014年，广西模拟，13，5分）已知，函数的图象在x轴上方，则a的取值范围
分析：一元二次函数的定义是“形如”，其中a≠0是定义中的重要条件，如果没有这个条件，且题目没有说明所给函数是一元二次函数时，则要记得对a的取值进行讨论。
解析： ①当a=0时，满足题设条件;
②当a≠0时，则
综合①②知满足题意的
（2）（2013年，无锡模拟）若，则满足的x的取值范围是
分析：此类题涉及对数函数，而对数函数最让学生大意的是它的定义域的条件“真数大于 0，底数大于 0，且底数不等于 1”，在做题中稍不留神就会漏掉某个条件。
解析：∵
∴而f（x）是增函数
∴
∴或
解得或
四、三角函数中，涉及三角形问题时，很容易淡忘“A+B+C=π”
在解三角形时，除了运用三角函数的各组公式和正、余弦定理外，还应该注意三角形的边角关系，如“A+B+C=π，大边对大角，两边之和大于第三边”等。
例4.（1）在?ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的 条件？
分析：在解此类题时要记住角A、B、C的范围为A+B+C=π，如题目中去掉“在?ABC中”这个条件，则答案是“充分非必要条件”。
解析：根据充要条件的判定方法及在三角形中A+B+C=π知答案为“充要条件”。
（2）在?ABC中，若a=18，b=24，A=45o，则此三角形（ ）
（A）无解 （B）有两解 （C）有一解 （D）解的个数不确定
分析：在解题中，要注意到三角形的边角关系。
解析：∵
∴
又∵a ∴B有两个，即选（B）
五、在平面向量中，常常忽略“零向量”的存在及“共线向量中同向与反向的讨论”
在平面向量这个内容的学习，主要掌握三个方面知识“一是向量的有关概念;二是向量的两种运算方法（几何法与坐标法）;三是向量运算在数学各领域的应用”。其中，在理解向量的概念中，最易忽略的概念是对“零向量和共线向量”的理解。
例5.（1）判断命题“若，则”是不是正确？
分析：在初中所学的平面几何中，已经知道“平行于同一直线的两条直线平行”，但在向量这部分内容中，由于向量的特殊性，会有不同的结论。因为零向量平行任意向量，当时，命题不成立，所以此命题是错误的。 （2）对于非0向量，“”是“”的（ ）条件。
（A）充分非必要 （B）必要 （C）充要 （D）非充分非必要
分析：由于平行向量包括“方向相同和方向相反”两种情况，在解题中要记住从两种情况去分析。根据平行向量的概念及充要条件的判定方法知选择（A）
六、在利用等比数列求和公式时，很容易忘记对q=1的讨论
在等比数列求和公式的推导过程中知道，当q=1时，等比数列是一个非0的常数数列，即a1=a2=a3…，它的前n项和是Sn=na1=na2=na3…;当q≠1时，利用错位相减法推出 ，因此，在利用等比数列的求和公式进行解题时，要记得分类讨论。
例6.（2013承德一模）在等比数列中，a3=7，S3=21，则公比q的值为（ ）
（A）1 （B） （C）1或 （D）-1或
分析：根据等比数列求和公式的特点，切记分类讨论进行解题。
解析：①当q=1时，S3=3，a3=21，满足题意;②当q≠1时，利用通项公式及求和公式列出方程组解出q=，综合以上，选择（C）
七、在解对数不等式时，要记住先保证对数符号有意义
在对数的学习中知道，要使对数符号有意义，必须使对数符号中的真数大于0、底数大于0且不等于1。
例7.解不等式log2（x2-3x）﹤2
分析：根据对数的特殊性，解对数不等式的思路是“先化同底，在有意义的前提下利用单调性去底后，再求出交集”。
解析：由log2（x2-3x）﹤2
∴ 不等式的解集为
八、判断或证明立体几何平行与垂直各定理的条件要充分
对立体几何的学习，有一块重要的内容，即判断或证明线线、线面、面面的平行与垂直问题，这个大问题的证明方法通常有两个：一是定理法;二是向量法。如果用定理来解决，则应该注意各定理成立的條件要充分，不要丢三落四。
例8.已知m，n为两条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：这是一道判断线线、线面、面面关系的客观题，此类题的解题思路是运用判断线线、线面、面面关系的判定定理及性质定理，但前提是要熟练记住各定理的条件。
解析：因为判断，不仅需要，还要这个条件，所以A错误;B错误，因为结论不仅是，没有m与n异面;C也错误，因为结论没有;所以选择D。
九、解析几何中斜率是否存在的讨论容易漏掉
解析几何主要研究五条特殊线即直线、圆、椭圆、双曲线、 抛物线的方程、要素（如直线有倾斜角、斜率等）和关系（点线、直线和直线、直线和曲线的关系），在直线的要素中，最容易出错的是它的斜率，因为当直线的倾斜角为90°时，它的斜率不存在。
例9.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2。
（I）求椭圆的标准方程;
（II）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程。
分析：在解析几何的题目中，如果遇到直线的斜率没有确定是否存在时，要记得讨论它的存在性。
解析：（I）由已知得，解得
∴
∴所求椭圆的方程为
（II）由（I）得F1（-1，0）、F2（-1，0）
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，由得
设、，
∴
，这与已知相矛盾。
②若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）。
设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴
∴
又∵
∴
∴
化简得，解得k2=1或（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1
十、排列与组合的解题中切记“与顺序有关是排列问题，反之是组合问题”
根据排列与组合的定义知道，区别它们最根本的方法就是抓住“是否跟参与元素的顺序有关”，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题。
例10.（1）将5个男生和3个女生排成一行，要求女生不在一起的排法有 种？
（2）将5个相同红球和3个相同蓝球排成一行，要求蓝球不在一起的排法有 种？
分析：第一个问题是不同元素的排，跟元素排的顺序有关，所以是排列问题，而第二个问题是相同元素的排，跟元素排的顺序无关，故是组合问题。
解析：（1）用排列的插空法，=14400种
（2）用组合的插空法，=20种
总之，到了临近高考的关键时候，我们要将每章节易错及易漏之处系统归纳与总结，培养自己慎之又慎的良好品质，并将平时的练习和每次模拟测试自己做错之处变为正确，从而达到“会、对、快”的效果，则高考成功绝对不是一句空话！
【作者简介】黄怀芳（1969- ），男，壮族，来宾高级中学教师。
（责编 卢建龙）
【关键词】数学 高考复习 易错题 整合
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）12B-0123-03
众所周知，为了让学生更有底气地应对高考，高三数学教师基本上都采用“四回合：一过关斩将阶段（本阶段主要是通过找出各章节的基础知识、基本技能和基本思想进行梳理，并将之连成系统有机的知识结构网络）;二混战体验阶段（通过训练系列练习，让学生将各章节知识结构形成基本题型、基本解题技能和基本解题方法）;三突破拓展阶段（本阶段是通过重点章节专题突破，主要是针对大题，特别是一些压轴题的突破及各综合知识整合与拓展，从而拓宽学生的解题思维能力）;四查缺补漏阶段（再通过训练系列练习，让学生查摆每章节的知识缺漏及习题中的典型错误问题）”。以达到将高中数学知识“找点—联线—构面—成体”的复习效果。特别是后期，已经准备到了高考的阶段，要特别注重将平时错题本中积累的易错之处进行汇总，让学生更加胸有成竹地面对高考的到来。笔者细心研究了高中数学各章节的内容，发现每部分都有易错的陷阱。
一、“集合”中容易忽略空集的讨论
空集是特殊的集合，稍微不注意，就会忘记它的存在。
例1.（2012年东北三校二模，18，12分）已知集合A=，B=，且BA，求实数m的取值范围。
分析：要就B是否为空集进行讨论，利用BA列出关于m的不等式（组）求解。
解析：∵BA
（1）当B=Φ 时，，解得
（2）当B≠Φ时，解得
∴ 综合以上得
二、在简易逻辑中易将“否命题和含一个量词命题的否定”混淆
根据否命题的概念知道，否命题是既要将原命题的条件否定，又要否定结论，而命题的否定只需要否定命题的结论。
例2.（1）（2012年，辽宁，4，5分）已知命题，则是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）（2014年，陕西模拟，1，5分）设是向量，命题“若，则”的否命题是（ ）
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
（1）分析：根据含一个量词命题的否定的定义，此类题的解题思路是“改量词，否结论”。依解题思路易知选择（C）
（2）分析：原命题的否定要求是既要否条件，又要否结论。依解题思路易知选择（A）
三、在函数中要弄清函数定义的真面目
在高中数学中，大家接触到了许多函数，如正比例函数、反比例函数、常数函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数、复合函数等，无论何种函数，只要认清函数的三要素“定义域、值域和对应法则（即表达式）”，在解题中就不会丢三落四的了。
例3.（1）（2014年，广西模拟，13，5分）已知，函数的图象在x轴上方，则a的取值范围
分析：一元二次函数的定义是“形如”，其中a≠0是定义中的重要条件，如果没有这个条件，且题目没有说明所给函数是一元二次函数时，则要记得对a的取值进行讨论。
解析： ①当a=0时，满足题设条件;
②当a≠0时，则
综合①②知满足题意的
（2）（2013年，无锡模拟）若，则满足的x的取值范围是
分析：此类题涉及对数函数，而对数函数最让学生大意的是它的定义域的条件“真数大于 0，底数大于 0，且底数不等于 1”，在做题中稍不留神就会漏掉某个条件。
解析：∵
∴而f（x）是增函数
∴
∴或
解得或
四、三角函数中，涉及三角形问题时，很容易淡忘“A+B+C=π”
在解三角形时，除了运用三角函数的各组公式和正、余弦定理外，还应该注意三角形的边角关系，如“A+B+C=π，大边对大角，两边之和大于第三边”等。
例4.（1）在?ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的 条件？
分析：在解此类题时要记住角A、B、C的范围为A+B+C=π，如题目中去掉“在?ABC中”这个条件，则答案是“充分非必要条件”。
解析：根据充要条件的判定方法及在三角形中A+B+C=π知答案为“充要条件”。
（2）在?ABC中，若a=18，b=24，A=45o，则此三角形（ ）
（A）无解 （B）有两解 （C）有一解 （D）解的个数不确定
分析：在解题中，要注意到三角形的边角关系。
解析：∵
∴
又∵a ∴B有两个，即选（B）
五、在平面向量中，常常忽略“零向量”的存在及“共线向量中同向与反向的讨论”
在平面向量这个内容的学习，主要掌握三个方面知识“一是向量的有关概念;二是向量的两种运算方法（几何法与坐标法）;三是向量运算在数学各领域的应用”。其中，在理解向量的概念中，最易忽略的概念是对“零向量和共线向量”的理解。
例5.（1）判断命题“若，则”是不是正确？
分析：在初中所学的平面几何中，已经知道“平行于同一直线的两条直线平行”，但在向量这部分内容中，由于向量的特殊性，会有不同的结论。因为零向量平行任意向量，当时，命题不成立，所以此命题是错误的。 （2）对于非0向量，“”是“”的（ ）条件。
（A）充分非必要 （B）必要 （C）充要 （D）非充分非必要
分析：由于平行向量包括“方向相同和方向相反”两种情况，在解题中要记住从两种情况去分析。根据平行向量的概念及充要条件的判定方法知选择（A）
六、在利用等比数列求和公式时，很容易忘记对q=1的讨论
在等比数列求和公式的推导过程中知道，当q=1时，等比数列是一个非0的常数数列，即a1=a2=a3…，它的前n项和是Sn=na1=na2=na3…;当q≠1时，利用错位相减法推出 ，因此，在利用等比数列的求和公式进行解题时，要记得分类讨论。
例6.（2013承德一模）在等比数列中，a3=7，S3=21，则公比q的值为（ ）
（A）1 （B） （C）1或 （D）-1或
分析：根据等比数列求和公式的特点，切记分类讨论进行解题。
解析：①当q=1时，S3=3，a3=21，满足题意;②当q≠1时，利用通项公式及求和公式列出方程组解出q=，综合以上，选择（C）
七、在解对数不等式时，要记住先保证对数符号有意义
在对数的学习中知道，要使对数符号有意义，必须使对数符号中的真数大于0、底数大于0且不等于1。
例7.解不等式log2（x2-3x）﹤2
分析：根据对数的特殊性，解对数不等式的思路是“先化同底，在有意义的前提下利用单调性去底后，再求出交集”。
解析：由log2（x2-3x）﹤2
∴ 不等式的解集为
八、判断或证明立体几何平行与垂直各定理的条件要充分
对立体几何的学习，有一块重要的内容，即判断或证明线线、线面、面面的平行与垂直问题，这个大问题的证明方法通常有两个：一是定理法;二是向量法。如果用定理来解决，则应该注意各定理成立的條件要充分，不要丢三落四。
例8.已知m，n为两条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：这是一道判断线线、线面、面面关系的客观题，此类题的解题思路是运用判断线线、线面、面面关系的判定定理及性质定理，但前提是要熟练记住各定理的条件。
解析：因为判断，不仅需要，还要这个条件，所以A错误;B错误，因为结论不仅是，没有m与n异面;C也错误，因为结论没有;所以选择D。
九、解析几何中斜率是否存在的讨论容易漏掉
解析几何主要研究五条特殊线即直线、圆、椭圆、双曲线、 抛物线的方程、要素（如直线有倾斜角、斜率等）和关系（点线、直线和直线、直线和曲线的关系），在直线的要素中，最容易出错的是它的斜率，因为当直线的倾斜角为90°时，它的斜率不存在。
例9.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2。
（I）求椭圆的标准方程;
（II）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程。
分析：在解析几何的题目中，如果遇到直线的斜率没有确定是否存在时，要记得讨论它的存在性。
解析：（I）由已知得，解得
∴
∴所求椭圆的方程为
（II）由（I）得F1（-1，0）、F2（-1，0）
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，由得
设、，
∴
，这与已知相矛盾。
②若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）。
设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴
∴
又∵
∴
∴
化简得，解得k2=1或（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1
十、排列与组合的解题中切记“与顺序有关是排列问题，反之是组合问题”
根据排列与组合的定义知道，区别它们最根本的方法就是抓住“是否跟参与元素的顺序有关”，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题。
例10.（1）将5个男生和3个女生排成一行，要求女生不在一起的排法有 种？
（2）将5个相同红球和3个相同蓝球排成一行，要求蓝球不在一起的排法有 种？
分析：第一个问题是不同元素的排，跟元素排的顺序有关，所以是排列问题，而第二个问题是相同元素的排，跟元素排的顺序无关，故是组合问题。
解析：（1）用排列的插空法，=14400种
（2）用组合的插空法，=20种
总之，到了临近高考的关键时候，我们要将每章节易错及易漏之处系统归纳与总结，培养自己慎之又慎的良好品质，并将平时的练习和每次模拟测试自己做错之处变为正确，从而达到“会、对、快”的效果，则高考成功绝对不是一句空话！
【作者简介】黄怀芳（1969- ），男，壮族，来宾高级中学教师。
（责编 卢建龙）