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【摘要】根据费马猜想等式Xn Yn=Zn成立时X,Y,Z三整數奇偶性的要求,对其中的两数进行一个对称性的设值(如X=a-d,Z=a d),根据二项式定理展开其N次方,合并同类项,研究发现,除n=1及n=2外,合并后多项式的内在特征性使其不能表示为某一整数的N次方,继而证明,当整数n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解,从而提出了一种费马猜想的初等数学证明方法,提示对于费马猜想来说,可能确实存在一种费马当年“巧妙的证明方法”.
【关键词】费马猜想;二项式定理;初等数学
三百多年前,法国数学家费马提出:当整数n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解,其中xyz≠0,这就是著名的费马猜想[1],该问题从提出到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯解决,整整历时358年.一代又一代数学家和数学爱好者为此付出过艰辛的努力.有趣的是,三百多年前,费马本人在一本书的旁边写到:“我已发现了一种巧妙的证法,可惜这里空白太小,写不下[2]”,由于怀尔斯的数学证明足足有600多页,今天几乎所有数学家都认为费马当年并没有证明费马猜想.不过笔者认为,数学家是严谨的,一贯秉承实事求是的科学精神,尤其是对于费马这样的大数学家来说,完全没有必要也不可能去记录自己没有证明的数学方法或灵感.根据费马之后300多年的数学发展史分析,有一点可以肯定的是,费马的“巧妙证法”应该是一种初等数学的证明方法,唯有此,才有可能是一页书的旁白不能写下,而不是需要一整本书才能写下.在这种思维指导下,笔者发现了如下的费马猜想证明方法,不敢说就是费马的证明方法,至少是一种探索吧,供大家参考.
费马猜想:
当n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解,其中xyz≠0.
证明:对于X,Y,Z的奇偶性要求,若要等式成立,考虑以下两种情况:
1.奇(Xn) 偶(Yn)=奇(Zn),
2.奇(Xn) 奇(Yn)=偶(Zn).下面就情况1作讲解:
设X=a-d,Z=a d,由X、Z的奇数性可知,a和d必一奇一偶.得出:(a-d)n Yn=(a d)n.
根据二项式定理[3]:(a d) n=∑nk=0Cknan-kdk展开上式:
C0nan-0d0
C1nan-1d1
C2nan-2d2
C3nan-3d3…… Yn=Zn=
C0nan-0d0
C1nan-1d1
C2nan-2d2 C3nan-3d3……
合并同类项后有:
Yn=2(C1nan-1d1 C3nan-3d3 ……),
为保证等式A的右边是一整数的n次方,首先须提取公因式andn,有:
Yn=2andn(C1nadn-1
C3na3dn-3 ……) (等式A)
初步讨论n的自然数取值,了解Yn的一般规律和使Y有整数解的内在要求.
1.当n=1时,Y1=2ada=2d,显然成立.
2.当n=2时,Y2=2a2d2·2ad=2·2ad,Y=2
,只要a乘d为平方数时,Y即可为整数.
3.当n=3时,Y3=2a3d3(3ad2 1a3),只要a>1,d>1,括号内分数多项式和为分数,而要整个Y3有23因子,必须使括号内的分数多项式的和等于22,此种情况仅有当a=d=1时才成立,而此时和a与d一奇一偶矛盾,且导致X=0,与费马猜想的题设矛盾,故n=3时,费马等式无正整数解.
不失一般性,当n>2时(n=3,4,5,6,7,8……),
由于有组合公式:C1n C3n C5n……=2n-1,因此
研究等式A的多项式组合特征,发现当且仅当a=d=1时,
等式A中Yn=2andn(C1n C3n C5n……)=2andn*2n-1=(2ad)n,
此时,Yn才为完全n次方数,Y才能为正整数.但此时X=a-d=0,与题设X,Y,Z任一不为0矛盾.(情况2的证明同情况1)
综合以上可知:当n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解.
【参考文献】
[1].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.数学指南[M].北京:科学出版社,2012.806,826.
[2]西蒙·辛格.费马大定理—一个困惑了世间智者358年的谜[M].上海:上海译文出版社,2005.
[3].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.数学指南[M].北京:科学出版社,2012.29.
【关键词】费马猜想;二项式定理;初等数学
三百多年前,法国数学家费马提出:当整数n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解,其中xyz≠0,这就是著名的费马猜想[1],该问题从提出到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯解决,整整历时358年.一代又一代数学家和数学爱好者为此付出过艰辛的努力.有趣的是,三百多年前,费马本人在一本书的旁边写到:“我已发现了一种巧妙的证法,可惜这里空白太小,写不下[2]”,由于怀尔斯的数学证明足足有600多页,今天几乎所有数学家都认为费马当年并没有证明费马猜想.不过笔者认为,数学家是严谨的,一贯秉承实事求是的科学精神,尤其是对于费马这样的大数学家来说,完全没有必要也不可能去记录自己没有证明的数学方法或灵感.根据费马之后300多年的数学发展史分析,有一点可以肯定的是,费马的“巧妙证法”应该是一种初等数学的证明方法,唯有此,才有可能是一页书的旁白不能写下,而不是需要一整本书才能写下.在这种思维指导下,笔者发现了如下的费马猜想证明方法,不敢说就是费马的证明方法,至少是一种探索吧,供大家参考.
费马猜想:
当n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解,其中xyz≠0.
证明:对于X,Y,Z的奇偶性要求,若要等式成立,考虑以下两种情况:
1.奇(Xn) 偶(Yn)=奇(Zn),
2.奇(Xn) 奇(Yn)=偶(Zn).下面就情况1作讲解:
设X=a-d,Z=a d,由X、Z的奇数性可知,a和d必一奇一偶.得出:(a-d)n Yn=(a d)n.
根据二项式定理[3]:(a d) n=∑nk=0Cknan-kdk展开上式:
C0nan-0d0
C1nan-1d1
C2nan-2d2
C3nan-3d3…… Yn=Zn=
C0nan-0d0
C1nan-1d1
C2nan-2d2 C3nan-3d3……
合并同类项后有:
Yn=2(C1nan-1d1 C3nan-3d3 ……),
为保证等式A的右边是一整数的n次方,首先须提取公因式andn,有:
Yn=2andn(C1nadn-1
C3na3dn-3 ……) (等式A)
初步讨论n的自然数取值,了解Yn的一般规律和使Y有整数解的内在要求.
1.当n=1时,Y1=2ada=2d,显然成立.
2.当n=2时,Y2=2a2d2·2ad=2·2ad,Y=2
,只要a乘d为平方数时,Y即可为整数.
3.当n=3时,Y3=2a3d3(3ad2 1a3),只要a>1,d>1,括号内分数多项式和为分数,而要整个Y3有23因子,必须使括号内的分数多项式的和等于22,此种情况仅有当a=d=1时才成立,而此时和a与d一奇一偶矛盾,且导致X=0,与费马猜想的题设矛盾,故n=3时,费马等式无正整数解.
不失一般性,当n>2时(n=3,4,5,6,7,8……),
由于有组合公式:C1n C3n C5n……=2n-1,因此
研究等式A的多项式组合特征,发现当且仅当a=d=1时,
等式A中Yn=2andn(C1n C3n C5n……)=2andn*2n-1=(2ad)n,
此时,Yn才为完全n次方数,Y才能为正整数.但此时X=a-d=0,与题设X,Y,Z任一不为0矛盾.(情况2的证明同情况1)
综合以上可知:当n>2时,Xn Yn=Zn无正整数解.
【参考文献】
[1].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.数学指南[M].北京:科学出版社,2012.806,826.
[2]西蒙·辛格.费马大定理—一个困惑了世间智者358年的谜[M].上海:上海译文出版社,2005.
[3].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.数学指南[M].北京:科学出版社,2012.29.