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【前言】
《数学课程标准（2011年版）》提出：“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合，是基于学生已有的知识经验，经历自主探索，在观察、想象、辨别、综合等多方能力下，感悟基本数学思想，在获得深刻数学理解的同时，孕育良好的学科情怀。下面以《奇妙的密铺》为例，谈谈我对“综合与实践”这一教学领域的一些看法。
【案例：课堂实录】
一、初识密铺，感知“奇妙”
师：观察下图，这些图形在拼接时有什么特点？
师：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。
二、探索密铺，揭秘“奇妙”
（一）解“密”活动一：探索密铺一种平面图形
探究一
下面的平面图形，把它们分别尝试密铺，在能密铺的平面图形下面打“√”
探究二
正多边形的密铺
探究三
任意三角形、任意四边形的密铺（每一种单独铺，都是完全一样的三角形和四边形）
1. 学生继续摆拼。
2. 汇报：
生：我们经过验证：任意三角形、任意四边形都可以密铺。
师：你们是怎样摆的？有什么技巧？老师这有一些任意三角形、四边形，能到屏幕上拖动摆拼？
请学生到一体机上摆。
师：你们发现什么？
生：任意三角形可以不用摆，因为两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。刚才已经验证平行四边形可以密铺。
师：你真是活学善用！
生：只要把三角形的各个内角拼在一起，用六个，当中就没有缝了！
师：为什么要6个？
生：因为刚好密铺。
生：只要把四边形各个内角拼在一起，用四个，就可以密铺了！
师：真的吗？我们尝试一下。（屏幕出现内角接合图）
师：刚才两位同学太有才了，真可以这样哦！这说明了在什么情况下能密铺？
生：有发现了，三角形的内角和是180°，两个180°就是360°，这样摆就没有缝隙，能密铺了。
生：对！任意四边形，内角和都是360°，像刚才的正三角形、平行四边形，等腰梯形，都因为这个原因能密铺。
师：那正六边形为什么能密铺？
生：还是跟角度有关！正六边形的内角和为：180°×（6-2）=720°，每个角720°÷6=120°，120°×3=360°，所以能密铺！
师：太精彩！现在你们能用数据去说明了！那能用数据说明正七、八、九、十…边形不能密铺吗？
生：正七边形：180°×（7-2）÷7≈129°，129不能乘一个整数得到360°，其它的也如此类推。
师：真是个小数学家呀！原来密铺还有这样的秘密！你们认为：能密铺的条件是什么？
生：一周有360°，如果能把这360°铺严，就可以进行密铺。
师：这真是一个了不起的发现！回到我们之前的猜想，彦夫同学猜：可能跟内角和有关，只要内角和为180的倍数，就能密铺，这句话对吗？
生：這是对的！刚才我们已经验证了内角和180°、360°、540°、720°都可以，它们是180的倍数。
生：不对的！我们验证的正七、八、九、十…边形，它们的内角和都是180的倍数，它们是不能密铺的！
师：看来“理是越辩越明的！”你们今天太出色了，居然通过动手操作、猜想、验证、推论发现可以密铺的秘密！能密铺的条件是什么？
生：把平面图形铺在一个平面上围绕在公共顶点可以铺成 360°的周角，这样的图形就可以密铺。
师：你说的真周全！请问能密铺的正多边形中，最多是几边形？
生：正六边形！
师：（课件：蜂巢图片） 大自然的能工巧匠、天才数学家、聪明的小蜜蜂就是利用这一原理——用能密铺的正多边形中边数最多的正六边形来做蜂房，使储物空间达到最大。
（二）解“密”活动二：探索密铺两种平面图形
探究四
探索从七巧板中任取两种平面图形的密铺情况
1. 验证：想一想，尽可能使用较少的块数证明；将作品直接铺在展示区内。
2. 交流展示：学生对照画面介绍自己的作品。
3. 总结：同样的选择，有不同的铺法；不同的选择，共同的结论——课件展示七巧板中任意两种图形的十种不同组合密铺结果：七巧板中任意两种图形都能组合成密铺的作品。七巧板真“巧”啊！那么，任意三种、四种图形的组合也能进行密铺吗？欢迎同学们课后进行研究。
三、运用密铺，创造“奇妙”
1. 了解密铺历史与欣赏荷兰著名版画艺术家埃舍尔作品。
2. 欣赏绚烂多彩的“密铺世界”。
3. 创造属于我们的美。
【思考】
经历了这么一节孩子们不肯下课的课堂，看着课后还在一直摆弄的孩子，此时孩子们摆拼的愿望写在他们的脸上，写在他们的行动上。正所谓：言有尽而意无穷，余言尽在不言中，此时的我们，教者舒心，学者快乐，奇妙的密铺，带给孩子意外的惊喜，思考的冲突，以及美的享受；更让孩子感受数学知识的奥妙，激发学习的浓厚兴趣，也让我对这课堂产生一定的思考：
“综合与实践”的实施既然是以问题为载体、以学生自主参与为主，以获得丰富数学活动经验的学习活动。这种实践活动，必须依托合理的活动设计，通过学生自主参与、亲身实践、交流分享、反思总结，逐步将感性认识上升为理性思考。所以教师在进行活动设计时特别的要关注学生能否发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这“四能”的培养。 一、创造时机，让学生发现问题并提出问题
在《奇妙的密铺》中，我创设情境，让学生欣赏“密铺的图案”时让学生发现：“这些图案没有重叠，中间没有空隙”；欣赏“生活中的密铺”时，学生提出：怎样才能密铺？能密铺，必需具备什么条件？问题由学生始，才能激发学生的主体意识。这些由学生提出的问题将是我们探究式学习的起点。培养学生有一双数学的眼睛，一颗数学的大脑，带着自己提出的问题学习，学习探索就更投入，更带劲。
二、围绕问题，让学生分析问题和解决问题
问题提出后，围绕问题，这时的教师应创设活动，层层推进。首先，让学生有据可依地进行猜想。本案例中，我先让学生摆拼六种基本平面图形，然后再让学生猜测：能密铺可能跟什么有关？学生借助摆拼的经验，猜测跟边有关、跟边的奇偶性有关、跟角的度数有关……无疑，他们都是有一定根据的，这样的猜测是孩子们已经运用了在操作过程所得到的经验，通过思索、不完全的归纳、类比、想象得到的。接着我们以这样的猜测为验证目标，为下一步探索提供了方向和思路。故此，我们呼吁：教师应该创设条件，让学生的猜想以一定的数学事实为根据，再添加自己可贵的想象成分，大胆进行猜想，然后进行小心的求证，培养学生良好的探究习惯。
其次，让学生一丝不苟地进行探索。在本案例中，我创设条件，让学生自发提出问题，而后为探讨“能密铺的条件”这问题，展开四次探究。纵观这些探究活动，可以说学生是投入的，甚至是幸福的，因为是他们自己提出问题并解决了问题！我们的教学不能给予学生探究的错觉：一探准成。让学生探究活动要充分，甚至要逐步摆脱直观思维的依赖，创造条件，让学生从小就学会像数学家那样探究思考。
三、巩固成果，让学生应用原理激发创作
通常普通的数学课堂，数学知识的应用，总感觉有人为编造的痕迹。但是在“综合与实践”中注重的就是数学与生活的联系，强调的是数学知识在生活的应用。让学生学有所成地应用创作是综合与实践的提升。在本案例中，我两次播放密铺在生活中被广泛应用的实例，除了让学生感受密铺的奇妙外，更是让学生感受这知识在生活中的应用。课后介绍密铺历史以及荷兰版画艺术家埃舍尔作品，激发孩子们的创作熱情。最后以点睛之笔，一个小小的创作镶嵌制作过程，让学生明白：原来镶嵌艺术离我们并不遥远，美丽在你我手中……
责任编辑 徐国坚
《数学课程标准（2011年版）》提出：“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合，是基于学生已有的知识经验，经历自主探索，在观察、想象、辨别、综合等多方能力下，感悟基本数学思想，在获得深刻数学理解的同时，孕育良好的学科情怀。下面以《奇妙的密铺》为例，谈谈我对“综合与实践”这一教学领域的一些看法。
【案例：课堂实录】
一、初识密铺，感知“奇妙”
师：观察下图，这些图形在拼接时有什么特点？
师：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。
二、探索密铺，揭秘“奇妙”
（一）解“密”活动一：探索密铺一种平面图形
探究一
下面的平面图形，把它们分别尝试密铺，在能密铺的平面图形下面打“√”
探究二
正多边形的密铺
探究三
任意三角形、任意四边形的密铺（每一种单独铺，都是完全一样的三角形和四边形）
1. 学生继续摆拼。
2. 汇报：
生：我们经过验证：任意三角形、任意四边形都可以密铺。
师：你们是怎样摆的？有什么技巧？老师这有一些任意三角形、四边形，能到屏幕上拖动摆拼？
请学生到一体机上摆。
师：你们发现什么？
生：任意三角形可以不用摆，因为两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。刚才已经验证平行四边形可以密铺。
师：你真是活学善用！
生：只要把三角形的各个内角拼在一起，用六个，当中就没有缝了！
师：为什么要6个？
生：因为刚好密铺。
生：只要把四边形各个内角拼在一起，用四个，就可以密铺了！
师：真的吗？我们尝试一下。（屏幕出现内角接合图）
师：刚才两位同学太有才了，真可以这样哦！这说明了在什么情况下能密铺？
生：有发现了，三角形的内角和是180°，两个180°就是360°，这样摆就没有缝隙，能密铺了。
生：对！任意四边形，内角和都是360°，像刚才的正三角形、平行四边形，等腰梯形，都因为这个原因能密铺。
师：那正六边形为什么能密铺？
生：还是跟角度有关！正六边形的内角和为：180°×（6-2）=720°，每个角720°÷6=120°，120°×3=360°，所以能密铺！
师：太精彩！现在你们能用数据去说明了！那能用数据说明正七、八、九、十…边形不能密铺吗？
生：正七边形：180°×（7-2）÷7≈129°，129不能乘一个整数得到360°，其它的也如此类推。
师：真是个小数学家呀！原来密铺还有这样的秘密！你们认为：能密铺的条件是什么？
生：一周有360°，如果能把这360°铺严，就可以进行密铺。
师：这真是一个了不起的发现！回到我们之前的猜想，彦夫同学猜：可能跟内角和有关，只要内角和为180的倍数，就能密铺，这句话对吗？
生：這是对的！刚才我们已经验证了内角和180°、360°、540°、720°都可以，它们是180的倍数。
生：不对的！我们验证的正七、八、九、十…边形，它们的内角和都是180的倍数，它们是不能密铺的！
师：看来“理是越辩越明的！”你们今天太出色了，居然通过动手操作、猜想、验证、推论发现可以密铺的秘密！能密铺的条件是什么？
生：把平面图形铺在一个平面上围绕在公共顶点可以铺成 360°的周角，这样的图形就可以密铺。
师：你说的真周全！请问能密铺的正多边形中，最多是几边形？
生：正六边形！
师：（课件：蜂巢图片） 大自然的能工巧匠、天才数学家、聪明的小蜜蜂就是利用这一原理——用能密铺的正多边形中边数最多的正六边形来做蜂房，使储物空间达到最大。
（二）解“密”活动二：探索密铺两种平面图形
探究四
探索从七巧板中任取两种平面图形的密铺情况
1. 验证：想一想，尽可能使用较少的块数证明；将作品直接铺在展示区内。
2. 交流展示：学生对照画面介绍自己的作品。
3. 总结：同样的选择，有不同的铺法；不同的选择，共同的结论——课件展示七巧板中任意两种图形的十种不同组合密铺结果：七巧板中任意两种图形都能组合成密铺的作品。七巧板真“巧”啊！那么，任意三种、四种图形的组合也能进行密铺吗？欢迎同学们课后进行研究。
三、运用密铺，创造“奇妙”
1. 了解密铺历史与欣赏荷兰著名版画艺术家埃舍尔作品。
2. 欣赏绚烂多彩的“密铺世界”。
3. 创造属于我们的美。
【思考】
经历了这么一节孩子们不肯下课的课堂，看着课后还在一直摆弄的孩子，此时孩子们摆拼的愿望写在他们的脸上，写在他们的行动上。正所谓：言有尽而意无穷，余言尽在不言中，此时的我们，教者舒心，学者快乐，奇妙的密铺，带给孩子意外的惊喜，思考的冲突，以及美的享受；更让孩子感受数学知识的奥妙，激发学习的浓厚兴趣，也让我对这课堂产生一定的思考：
“综合与实践”的实施既然是以问题为载体、以学生自主参与为主，以获得丰富数学活动经验的学习活动。这种实践活动，必须依托合理的活动设计，通过学生自主参与、亲身实践、交流分享、反思总结，逐步将感性认识上升为理性思考。所以教师在进行活动设计时特别的要关注学生能否发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这“四能”的培养。 一、创造时机，让学生发现问题并提出问题
在《奇妙的密铺》中，我创设情境，让学生欣赏“密铺的图案”时让学生发现：“这些图案没有重叠，中间没有空隙”；欣赏“生活中的密铺”时，学生提出：怎样才能密铺？能密铺，必需具备什么条件？问题由学生始，才能激发学生的主体意识。这些由学生提出的问题将是我们探究式学习的起点。培养学生有一双数学的眼睛，一颗数学的大脑，带着自己提出的问题学习，学习探索就更投入，更带劲。
二、围绕问题，让学生分析问题和解决问题
问题提出后，围绕问题，这时的教师应创设活动，层层推进。首先，让学生有据可依地进行猜想。本案例中，我先让学生摆拼六种基本平面图形，然后再让学生猜测：能密铺可能跟什么有关？学生借助摆拼的经验，猜测跟边有关、跟边的奇偶性有关、跟角的度数有关……无疑，他们都是有一定根据的，这样的猜测是孩子们已经运用了在操作过程所得到的经验，通过思索、不完全的归纳、类比、想象得到的。接着我们以这样的猜测为验证目标，为下一步探索提供了方向和思路。故此，我们呼吁：教师应该创设条件，让学生的猜想以一定的数学事实为根据，再添加自己可贵的想象成分，大胆进行猜想，然后进行小心的求证，培养学生良好的探究习惯。
其次，让学生一丝不苟地进行探索。在本案例中，我创设条件，让学生自发提出问题，而后为探讨“能密铺的条件”这问题，展开四次探究。纵观这些探究活动，可以说学生是投入的，甚至是幸福的，因为是他们自己提出问题并解决了问题！我们的教学不能给予学生探究的错觉：一探准成。让学生探究活动要充分，甚至要逐步摆脱直观思维的依赖，创造条件，让学生从小就学会像数学家那样探究思考。
三、巩固成果，让学生应用原理激发创作
通常普通的数学课堂，数学知识的应用，总感觉有人为编造的痕迹。但是在“综合与实践”中注重的就是数学与生活的联系，强调的是数学知识在生活的应用。让学生学有所成地应用创作是综合与实践的提升。在本案例中，我两次播放密铺在生活中被广泛应用的实例，除了让学生感受密铺的奇妙外，更是让学生感受这知识在生活中的应用。课后介绍密铺历史以及荷兰版画艺术家埃舍尔作品，激发孩子们的创作熱情。最后以点睛之笔，一个小小的创作镶嵌制作过程，让学生明白：原来镶嵌艺术离我们并不遥远，美丽在你我手中……
责任编辑 徐国坚