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我们在解决数学问题过程中，经常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，如采用某种手段，就可将问题通过变换，转化为在已有的知识范围内可以解决的问题. 这种解决问题的方法就是重要的
思想方法之一——转化与化归.
转化与化归的基本原则就是将不熟悉的问题转化为熟知的或已解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将实际的问题转化为数学问题，使问题便于求解. 世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”的过程. 每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的，即使是常见的数学思想方法：如数形结合法、函数与方程的思想、分类讨论的思想等也都是转化与化归思想的表现形式.
下面谈谈转化与化归思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型.
◆考向1 等与不等的转化与化归
相等与不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果.
例1 若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
思路点拨：由于已知条件只有一个等式，而需要求的却是一个取值范围，所以应尽量从已知条件中挖掘出不等式.
解答：方法一（看成函数的值域）
∵ ab=a+b+3
∴b=a+3a－1，∵b>0,∴a+3a－1>0，
即a＞1或a＜－3, 又a＞0，
∴a＞1, 故a－1＞0.
∴ab=a•a+3a－1=(a－1)2+5(a－1)+4a－1=(a-1)+4a－1+5≥9.
当且仅当a－1=4a－1时取等号, 即a=3时取等号.
方法二（看成不等式的解集）
∵a，b为正数，∴a+b≥2ab.
又∵ab=a+b+3,∴ab≥2ab+3.
即(ab)2－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1（舍去）∴ab≥9.
将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性或者利用基本不等式来解答这类问题.
◆考向2 正与反的转化与化归
对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面问题得以解决.
例2 已知函数f(x)=4x2－ax+1在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a的取值范围.
思路点拨：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理.
解答：方法一
当函数f(x)=4x2－ax+1在（0，1）内没有零点时4x2－ax+1=0在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，a≠4x+1x.
而当x∈（0，1）时，4x+1x≥24x•1x=4，得4x+1x∈ +∞),
要使a≠4x+1x，必有a<4.
故满足题设的实数的取值范围是a8，注意到f(0)=1>0，故对称轴必须在y轴的右侧.
(1) 当0 有Δ=a2－16≥0,f(0)>0a≤－4或a≥4,a∈Ra≤－4或a≥4，此时4≤a≤8；
(2) 当a8≥1时，有f(1)<05－a<0a>5,此时有a≥8.
综合（1）（2）得实数a的取值范围是◆考向3 常量与变量的转化与化归
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 变更主元实现主与次的转换，能够起到化高次为低次、化繁为简、化生为熟、简捷求解之作用.
例3 设y=(log2x)2+(t－2)log2x－t+1，若t在上变化时，y恒取正值，求x的取值范围.
思路点拨：我们很容易将x看成自变量, 而将t看成常数, 这样势必造成解题的繁复．如果将两者的地位交换一下, 思路将豁然开朗. 题中t的范围是已知的，x的范围为所求，其值是变化的，随t的变化，x的范围也发生了相应的变化，故可整理构建关于t的一次函数f (t)，以x为参数，转化为 上f (t)与0的大小关系进行求解.
解答：令y=f(t)=(log2x－1)t+(log2x)2－2log2x+1.
∵f(t)>0在t∈上恒成立,
∴f(－2)>0f(2)>0, 即(log2x)2－4log2x+3>0(log2x)2－1>0,
解得log2x>3或log2x<－1, ∴x>8或0 在解答这类问题时, 往往是通过变换主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得简洁、明快.
◆考向4 特殊与一般的转化与化归
一般成立，特殊也成立. 特殊可以得到一般性的规律. 这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现.
例4 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1－na2n+an+1an=0,(n∈1,2,3,…)，则它的通项公式an=__________ .
思路点拨：作为填空题就不应该小题大做,特别是对付数列的小题,由特殊情况推一般结论是常用方法.
解答：由a1=1,n∈N，令n=1得：2a22+a2－1=0，解得正数a2=12；
令n=2得：6a23+a3－1=0，解得正数a3=13；
同理：a4=14由此猜想an=1n,n∈N,
故答案为 1n.
例5 已知函数f(x)=axax+a(a>0且a≠1), 求f(1100)+f(2100)+…+f(99100)的值.
思路点拨：直接代入计算较为复杂, 可寻求f (x)与f (1－x)的关系.
解答：f(x)+f(1－x)= axax+a+a1－xa1－x+a=axax+a+aa+axa
=axax+a+aa+ax=a+axax+a=1,
于是f(1100)+f(2100)+…+f(99100)
=1100)+f(99100)〗+2100)+f(98100)〗+…49100)+f(51100)〗+f(50100)
=1×49+12=992.
一般问题特殊化, 使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果.
◆考向5 数式与图形的转化与化归
数与形是数学研究的两类基本对象，由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化. 根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形来解决问题.
例6 如图，M（－2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM+PN=6,
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若PM•PN=21－cos∠MPN,求点P的坐标.
思路点拨：根据已知条件“PM+PN=6”和“轨迹”易转化为利用椭圆的定义得点P的轨迹方程，由（2）中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，在△MPN中研究边与角之间的关系，得出P的轨迹方程，实现向交轨问题转化.
解答：(1) 由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆，
则其c=2，a=3，∴b=a2－c2=5，∴椭圆的方程为x29+y25=1.
(2) 由PM•PN=21－cos∠MPN,
得PM•PNcos∠MPN=PM•PN-2,……①
因为cos∠MPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形,
在△PMN中，MN=4.
由余弦定理有MN 2=PM 2+PN 2-2PM•PNcos∠MPN,……②
将①代入②，得42= PM 2+ PN 2-2(PM•PN-2),
∴（PM-PN）2=12，即|PM-PN|=23
∴点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线x23－y2=1上.
由(1)知，点P的坐标又满足x29+y25=1，所以由方程组5x2+9y2=45,x2－3y2=3,
解得x=±332,y=±52,
即P点坐标为(332,52),(332,－52),(－332,52),(－332,－52).
解析几何问题通常要画出图形，根据图形特征，采用数形结合的方法，实现问题的转化，再求解.
◆考向6 陌生与熟悉的转化与化归
数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉转化的过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化.
例7 对任意函数f(x),x∈D可构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去，现定义f(x)=4x－2x+1,
(1)若输入x0=4965，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
(3)若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn 思路点拨：此题富有新意，综合性、抽象性较强，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
解答：（1）∵f(x)的定义域D=(－∞,－1)∪(－1,+∞)，
∴数列{xn}只有三项，x1=1119，x2=15，x3=－1
（2）∵f(x)=4x－2x+1=x，即x2－3x+2=0，
∴x=1或x=2,即x0=1或2时，xn+1=4xn－2xn+1=xn,
故当x0=1时，xn=1,当x0=2时，xn=2(n∈N+)
（3）解不等式x<4x－2x+1，得x<－1或1 对于函数f(x)=4x－2x+1=4－6x+1，若x1<－1则x2=f(x1)>4,x3=f(x2) 若1x1且1 依此类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1>xn(n∈N+).
综上所述，x1∈(1,2)由x1=f(x0)，得x0∈(1,2)
本题主要考查学生的阅读, 此题属于富有新意、综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解，这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.
总之，转化与化归思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，转化与化归既是科学的手段又是神奇的魔术，“抓基础，重转化”是学好数学的金钥匙！在高考复习时，同学们必须随时注意运用转化与化归思想，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.
（作者：陈蕾,江苏省苏州第十中学）
思想方法之一——转化与化归.
转化与化归的基本原则就是将不熟悉的问题转化为熟知的或已解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将实际的问题转化为数学问题，使问题便于求解. 世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”的过程. 每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的，即使是常见的数学思想方法：如数形结合法、函数与方程的思想、分类讨论的思想等也都是转化与化归思想的表现形式.
下面谈谈转化与化归思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型.
◆考向1 等与不等的转化与化归
相等与不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果.
例1 若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
思路点拨：由于已知条件只有一个等式，而需要求的却是一个取值范围，所以应尽量从已知条件中挖掘出不等式.
解答：方法一（看成函数的值域）
∵ ab=a+b+3
∴b=a+3a－1，∵b>0,∴a+3a－1>0，
即a＞1或a＜－3, 又a＞0，
∴a＞1, 故a－1＞0.
∴ab=a•a+3a－1=(a－1)2+5(a－1)+4a－1=(a-1)+4a－1+5≥9.
当且仅当a－1=4a－1时取等号, 即a=3时取等号.
方法二（看成不等式的解集）
∵a，b为正数，∴a+b≥2ab.
又∵ab=a+b+3,∴ab≥2ab+3.
即(ab)2－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1（舍去）∴ab≥9.
将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性或者利用基本不等式来解答这类问题.
◆考向2 正与反的转化与化归
对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面问题得以解决.
例2 已知函数f(x)=4x2－ax+1在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a的取值范围.
思路点拨：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理.
解答：方法一
当函数f(x)=4x2－ax+1在（0，1）内没有零点时4x2－ax+1=0在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，a≠4x+1x.
而当x∈（0，1）时，4x+1x≥24x•1x=4，得4x+1x∈ +∞),
要使a≠4x+1x，必有a<4.
故满足题设的实数的取值范围是a8，注意到f(0)=1>0，故对称轴必须在y轴的右侧.
(1) 当0
(2) 当a8≥1时，有f(1)<05－a<0a>5,此时有a≥8.
综合（1）（2）得实数a的取值范围是◆考向3 常量与变量的转化与化归
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 变更主元实现主与次的转换，能够起到化高次为低次、化繁为简、化生为熟、简捷求解之作用.
例3 设y=(log2x)2+(t－2)log2x－t+1，若t在上变化时，y恒取正值，求x的取值范围.
思路点拨：我们很容易将x看成自变量, 而将t看成常数, 这样势必造成解题的繁复．如果将两者的地位交换一下, 思路将豁然开朗. 题中t的范围是已知的，x的范围为所求，其值是变化的，随t的变化，x的范围也发生了相应的变化，故可整理构建关于t的一次函数f (t)，以x为参数，转化为 上f (t)与0的大小关系进行求解.
解答：令y=f(t)=(log2x－1)t+(log2x)2－2log2x+1.
∵f(t)>0在t∈上恒成立,
∴f(－2)>0f(2)>0, 即(log2x)2－4log2x+3>0(log2x)2－1>0,
解得log2x>3或log2x<－1, ∴x>8或0
◆考向4 特殊与一般的转化与化归
一般成立，特殊也成立. 特殊可以得到一般性的规律. 这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现.
例4 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1－na2n+an+1an=0,(n∈1,2,3,…)，则它的通项公式an=__________ .
思路点拨：作为填空题就不应该小题大做,特别是对付数列的小题,由特殊情况推一般结论是常用方法.
解答：由a1=1,n∈N，令n=1得：2a22+a2－1=0，解得正数a2=12；
令n=2得：6a23+a3－1=0，解得正数a3=13；
同理：a4=14由此猜想an=1n,n∈N,
故答案为 1n.
例5 已知函数f(x)=axax+a(a>0且a≠1), 求f(1100)+f(2100)+…+f(99100)的值.
思路点拨：直接代入计算较为复杂, 可寻求f (x)与f (1－x)的关系.
解答：f(x)+f(1－x)= axax+a+a1－xa1－x+a=axax+a+aa+axa
=axax+a+aa+ax=a+axax+a=1,
于是f(1100)+f(2100)+…+f(99100)
=1100)+f(99100)〗+2100)+f(98100)〗+…49100)+f(51100)〗+f(50100)
=1×49+12=992.
一般问题特殊化, 使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果.
◆考向5 数式与图形的转化与化归
数与形是数学研究的两类基本对象，由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化. 根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形来解决问题.
例6 如图，M（－2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM+PN=6,
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若PM•PN=21－cos∠MPN,求点P的坐标.
思路点拨：根据已知条件“PM+PN=6”和“轨迹”易转化为利用椭圆的定义得点P的轨迹方程，由（2）中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，在△MPN中研究边与角之间的关系，得出P的轨迹方程，实现向交轨问题转化.
解答：(1) 由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆，
则其c=2，a=3，∴b=a2－c2=5，∴椭圆的方程为x29+y25=1.
(2) 由PM•PN=21－cos∠MPN,
得PM•PNcos∠MPN=PM•PN-2,……①
因为cos∠MPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形,
在△PMN中，MN=4.
由余弦定理有MN 2=PM 2+PN 2-2PM•PNcos∠MPN,……②
将①代入②，得42= PM 2+ PN 2-2(PM•PN-2),
∴（PM-PN）2=12，即|PM-PN|=23
∴点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线x23－y2=1上.
由(1)知，点P的坐标又满足x29+y25=1，所以由方程组5x2+9y2=45,x2－3y2=3,
解得x=±332,y=±52,
即P点坐标为(332,52),(332,－52),(－332,52),(－332,－52).
解析几何问题通常要画出图形，根据图形特征，采用数形结合的方法，实现问题的转化，再求解.
◆考向6 陌生与熟悉的转化与化归
数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉转化的过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化.
例7 对任意函数f(x),x∈D可构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去，现定义f(x)=4x－2x+1,
(1)若输入x0=4965，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
(3)若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn
解答：（1）∵f(x)的定义域D=(－∞,－1)∪(－1,+∞)，
∴数列{xn}只有三项，x1=1119，x2=15，x3=－1
（2）∵f(x)=4x－2x+1=x，即x2－3x+2=0，
∴x=1或x=2,即x0=1或2时，xn+1=4xn－2xn+1=xn,
故当x0=1时，xn=1,当x0=2时，xn=2(n∈N+)
（3）解不等式x<4x－2x+1，得x<－1或1
综上所述，x1∈(1,2)由x1=f(x0)，得x0∈(1,2)
本题主要考查学生的阅读, 此题属于富有新意、综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解，这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.
总之，转化与化归思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，转化与化归既是科学的手段又是神奇的魔术，“抓基础，重转化”是学好数学的金钥匙！在高考复习时，同学们必须随时注意运用转化与化归思想，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.
（作者：陈蕾,江苏省苏州第十中学）