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在日常生活中，一些商家为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上采取了十分灵活的方法，如分期付款。遇到这类问题常常可采用数列知识来解决。
类型一 单利型分期付款问题
例1 某百货公司采用分期付款方式销售某款家用空调机，售价为15000元，分六个月付清，每月付1次，月息按6厘单利计算，问购买者每月应付多少元（不满1元的舍去）？
解析 此题为“单利问题”，应以单利问题的解法列式解之。
设每月每次应付款为x元，则自第一月至付清本利合计为：
x(1+0.006×5)+x(1+0.006×4)+…+x(1+0.006×1)+x=6.09x。
另一方面，15000元在6个月的本利合计为：
15000（1+0.006×6)=15540（元）。
即6.09 x=15540，
x=2551.724（元）。
故每月应付2551元。
评注 单利问题可采取设每月（或年）付款x（元），得x［1+(n-1)a］+x［1+(n-2)a］+…+x(1+a)+x（其中a为月息或年息）来解决问题。
类型二 复利型分期付款问题
1.不等额付款
例2 用分期付款方式购买家用电器1件，价格为1150元，购买时当天先付150元，以后每月的这一天交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若将交付150元后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这种家电实际花了多少钱？
解析 购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an}。
a1=50+1000×0.01=60（元），
a2=50+(1000-50)×0.01=（60-0.5）(元），
a3=50+(1000-50×2)×0.01=60-0.5×2=59（元），
……
a10=60-0.5×9=55.5（元），
an=60-0.5(n-1)?摇(1≤n≤20)（元）。
付款数{an}为等差数列，公差d=-0.5。
故第十个月该交付55.5元，全部货款付清后，实际付了1255元。
评注 从特殊情况入手，分析与探索数列的形成过程。由题目可知，每月均比上个月少付50×0.01=0.5元的利息，所以，数列{an}为等差数列。
2.等额付款
预备问题 某人从1995年起，每年1月1日到银行新存入a元，一年到期，若年利率r保持不变，每年到期存款办理新的一年定期，则到2000年1月1日将所有存款及利息全部取回时，此人可得多少钱？
分析 若从字意上看，1996年1月1日共有a(1+r)+a元，
1997年1月1日共有［a(1+r)+a］(1+r)+a元，……
若换角度从1999年倒过来看，每次存期分别为1，2，…，5年，将每年存款所得本利和记为{an}，则{an}成等比数列。
本题旨在求数列的前5项和S5。
依题意知每年存款所得本利和为an，有an=a(1+r)n。
例3 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，在购买10万元一辆轿车需一年内将款全部付清的前提下，分12次付款，即购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后12个月第12次付款。规定分期付款中每次款额相同，月利率为0.8%,每月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金。问：每月要付多少元？
解析 第一步 在汽车购买后一年货款全部付清时，其售价增值到：
10×(1+0.8%)12万元。
第二步 在货款全部付清时，各期所付款额增值情况：
设每期付款x万元，则第12次付款（即最后一次付款）x万元时，款已全部付清。因此，这一次所付款没有利息；
第11次付款x万元，过1个月款全部付清后，所付款连同利息之和为x(1+0.008)=1.008x万元;
第10次付款x万元，过2个月款全部付清后，所付款连同利息之和为x(1+0.008)2万元;
……
第1次付款x万元，所付款连同利息之和x（1+0.008）11万元。
按照分期付款的规定，各期所付款额连同最后一次付款时所生利息之和，等于商品售价从购买到最后一次付款时利息之和。
x+x(1+0.8%)+…+x(1+0.8%)11=10×(1+0.8%)12。
x≈0.88（万元）。
继续研究 若改为分三次付清，购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款，求出每次付款多少？
略解 y×1.0088+y×1.0084+y=10×1.00812。
y≈3.53（万元）。
评注 一般地，购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时要求在m个月将款付清，月利率为p，分n(n为m的约数）次付款，那么每次付款数的计算公式为
类比应用 某林场原有森林木材存量a,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐木材量为x，为了实现经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x最大值是多少？（lg2=0.3）
略解 x(1+25%)19+x(1+25%)18+…+x=a(1+25%)20。
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类型一 单利型分期付款问题
例1 某百货公司采用分期付款方式销售某款家用空调机，售价为15000元，分六个月付清，每月付1次，月息按6厘单利计算，问购买者每月应付多少元（不满1元的舍去）？
解析 此题为“单利问题”，应以单利问题的解法列式解之。
设每月每次应付款为x元，则自第一月至付清本利合计为：
x(1+0.006×5)+x(1+0.006×4)+…+x(1+0.006×1)+x=6.09x。
另一方面，15000元在6个月的本利合计为：
15000（1+0.006×6)=15540（元）。
即6.09 x=15540，
x=2551.724（元）。
故每月应付2551元。
评注 单利问题可采取设每月（或年）付款x（元），得x［1+(n-1)a］+x［1+(n-2)a］+…+x(1+a)+x（其中a为月息或年息）来解决问题。
类型二 复利型分期付款问题
1.不等额付款
例2 用分期付款方式购买家用电器1件，价格为1150元，购买时当天先付150元，以后每月的这一天交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若将交付150元后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这种家电实际花了多少钱？
解析 购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an}。
a1=50+1000×0.01=60（元），
a2=50+(1000-50)×0.01=（60-0.5）(元），
a3=50+(1000-50×2)×0.01=60-0.5×2=59（元），
……
a10=60-0.5×9=55.5（元），
an=60-0.5(n-1)?摇(1≤n≤20)（元）。
付款数{an}为等差数列，公差d=-0.5。
故第十个月该交付55.5元，全部货款付清后，实际付了1255元。
评注 从特殊情况入手，分析与探索数列的形成过程。由题目可知，每月均比上个月少付50×0.01=0.5元的利息，所以，数列{an}为等差数列。
2.等额付款
预备问题 某人从1995年起，每年1月1日到银行新存入a元，一年到期，若年利率r保持不变，每年到期存款办理新的一年定期，则到2000年1月1日将所有存款及利息全部取回时，此人可得多少钱？
分析 若从字意上看，1996年1月1日共有a(1+r)+a元，
1997年1月1日共有［a(1+r)+a］(1+r)+a元，……
若换角度从1999年倒过来看，每次存期分别为1，2，…，5年，将每年存款所得本利和记为{an}，则{an}成等比数列。
本题旨在求数列的前5项和S5。
依题意知每年存款所得本利和为an，有an=a(1+r)n。
例3 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，在购买10万元一辆轿车需一年内将款全部付清的前提下，分12次付款，即购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后12个月第12次付款。规定分期付款中每次款额相同，月利率为0.8%,每月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金。问：每月要付多少元？
解析 第一步 在汽车购买后一年货款全部付清时，其售价增值到：
10×(1+0.8%)12万元。
第二步 在货款全部付清时，各期所付款额增值情况：
设每期付款x万元，则第12次付款（即最后一次付款）x万元时，款已全部付清。因此，这一次所付款没有利息；
第11次付款x万元，过1个月款全部付清后，所付款连同利息之和为x(1+0.008)=1.008x万元;
第10次付款x万元，过2个月款全部付清后，所付款连同利息之和为x(1+0.008)2万元;
……
第1次付款x万元，所付款连同利息之和x（1+0.008）11万元。
按照分期付款的规定，各期所付款额连同最后一次付款时所生利息之和，等于商品售价从购买到最后一次付款时利息之和。
x+x(1+0.8%)+…+x(1+0.8%)11=10×(1+0.8%)12。
x≈0.88（万元）。
继续研究 若改为分三次付清，购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款，求出每次付款多少？
略解 y×1.0088+y×1.0084+y=10×1.00812。
y≈3.53（万元）。
评注 一般地，购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时要求在m个月将款付清，月利率为p，分n(n为m的约数）次付款，那么每次付款数的计算公式为
类比应用 某林场原有森林木材存量a,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐木材量为x，为了实现经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x最大值是多少？（lg2=0.3）
略解 x(1+25%)19+x(1+25%)18+…+x=a(1+25%)20。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”