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函数与导数是高中数学的重要内容，是贯穿高中数学的主线，也是高考命题的热点和难点.下面老师就函数与导数中的核心考点进行盘点，供同学们复习时参考.
一、函数的定义域与值域
例1（1）（2014山东卷理，3）函数f（x）=1（log2x）2-1的定义域为.
（2）已知函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的值域为R，则实数m的取值范围为.
解析：（1）欲使原函数有意义，则需（log2x）2-1>0，即log2x>1或log2x<-1，解得x>2或0 （2）∵函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的值域为R，∴f（x）=2x2-（m 3）x 2m的函数值能取遍所有正数，∴Δ=[-（m 3）]2-4×2×2m≥0，即m2-10m 9≥0，∴m≤1或m≥9，故实数m的取值范围为（-∞，1]∪[9， ∞）.
评注：本题第（1）小题考查对数函数的性质、函数的定义域等基础知识，考查运算求解能力.求函数的定义域即求使函数有意义的自变量的取值集合，尤其要注意对含对数、分式和根式等函数定义域的求解问题.解对数不等式除了注意其本身外，还需要注意其中蕴含的条件“真数大于零”.处理第（2）小题时，注意“函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的定义域为R”和“函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的值域为R”的区别，谨防出现错解.
二、函数的基本性质
例2（1）（2014全国新课标卷II理，15）已知偶函数f（x）在[0， ∞）单调递减，f（2）=0.若f（x-1）>0，则x的取值范围是.
（2）（2013天津卷文，7）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0， ∞）上单调递增.若实数a满足f（log2a） f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是.
解析：（1）因为f（x）是偶函数，所以f（x-1）=f（|x-1|），所以由f（x-1）>0得f（|x-1|）>f（2），由单调性得|x-1|<2，解得-2 （2）由题意知a>0，又log12a=-log2a，且f（x）是R上的偶函数，所以f（log2a）=f（-log2a）=f（log12a）.由f（log2a） f（log12a）≤2f（1）可知，2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）.又因f（x）在[0， ∞）上递增，所以|log2a|≤1，即-1≤log2a≤1，解得a∈[12，2].
评注：本题考查函数的奇偶性、单调性等知识，解与抽象函数有关的不等式常常需要结合图象特征求解，而图象的形态主要由奇偶性和单调性控制，位置由指定点控制.结合函数的图象和性质，就能实现“化抽象为直观”、“化抽象为具体”，从而有效地解决相关问题.
例3（1）（2014安徽卷文，14）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=x（1-x），0≤x<1sinπx，1 （2）（2012江苏卷，10）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=ax 1，-1≤x<0，bx 2x 1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f（12）=f（32），则a 3b的值为.
解析：（1）因为函数f（x）周期是4，且在[0，2]上的解析式为f（x）=x（1-x），0≤x<1sinπx，1 =-f（34）-f（76）=-34×14-sin76π=516.
（2）因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，所以f（-1）=f（1），即-a 1=b 22①；又f（32）=f（-12）=-12a 1，f（12）=f（32），所以-12a 1=b 43②；联立①②，解得a=2，b=-4，所以a 3b=-10.
评注：本题第（1）小题考查函数的周期性、奇偶性以及特殊角的三角求值，考查转化与化归的数学思想.第（2）小题考查分段函数求值、函数的周期性等知识，突破的关键在于利用周期性找出关系式f（-1）=f（1）.
三、函数的图象与解析式
例4（2014湖北卷文，）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若x∈R，f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为.
解析：“x∈R，f（x）>f（x-1）”等价于“函数y=f（x）的图象恒在函数y=f（x-1）的图象的上方”，函数y=f（x-1）的图象是由函数y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，如下图所示.因为a>0，由图知6a<1，所以a的取值范围为（0，16）.
评注：本题考查函数图象的平移及数形结合思想，其突破的难点在于如何表示“x∈R，f（x）>f（x-1）”，将不等式问题转化为图象问题是本题快速求解的关键.
例5（2014陕西卷文，10）如下图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为.
解析：由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y=f（x）=ax3 bx2 cx，则f′（x）=3ax2 2bx c，∴f′（0）=-1，f′（2）=3，可得c=-1，3a b=1.又y=ax3 bx2 cx过点（2，0），∴4a 2b=1，∴a=12，b=-12，c=-1，∴f（x）=12x3-12x2-x.
评注：本题考查同学们运用函数知识解决实际问题的能力和图形观察能力.三次函数是高中阶段的一类重要函数，其图象和性质需要利用导数来解决，其导数为二次函数，在函数学习中起着重要作用，需要熟练掌握. 四、一次函数和二次函数
例6已知函数f（x）=x2-4x a 3，g（x）=mx 5-2m.
（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）.
解析：（1）因为函数f（x）=x2-4x a 3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数.因为函数在区间[-1，1]上存在零点，则必有：f（1）≤0f（-1）≥0即a≤0a 8≥0，解得-8≤a≤0，故实数a的取值范围为[-8，0].
（2）对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，则函数y=f（x）（x∈[1，4]）的值域为函数y=g（x）（x∈[1，4]）的值域的子集.其中f（x）=x2-4x 3（x∈[1，4]）的值域为[-1，3]，下面求g（x）=mx 5-2m的值域.分三类讨论：①当m=0时，g（x）=5为常数，不符合题意舍去；②当m>0时，g（x）的值域为[5-m，5 2m]，要使[-1，3][5-m，5 2m]，则需5-m≤-15 2m≥3，解得m≥6；③当m<0时，g（x）的值域为[5 2m，5-m]，要使[-1，3][5 2m，5-m]，则需5 2m≤-15-m≥3，解得m≤-3；综上，实数m的取值范围为（-∞，-3]∪[6， ∞）.
（3）由题意知t<47-2t>0，可得t<72.分类讨论：①当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，所以f（t）-f（2）=7-2t，即t2-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；②当0 评注：本题考查一次函数、二次函数的性质、定义域和值域等知识，考查函数与方程思想、等价转化思想和分类讨论思想.第（1）小题将“方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根”转化为“函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点”，进而只需比较f（1）、f（-1）与0的大小关系即可；第（2）小题将“对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立”等价转化为“函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集”，进而转化为两集合之间的关系去处理；第（3）小题对t的取值进行分类讨论，分别确定二次函数的值域D，再求其长度并转化为关于t的方程和不等式去求解，解题时注意t的取值范围，谨防增根.
五、分段函数
例7（1）（2014浙江卷文，15）设函数f（x）=x2 2x 2，x≤0-x2，x>0.若f（f（a））=2，则a=.
（2）设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x） x 4，x 解析：（1）令t=f（a），若f（t）=2，则t2 2t 2=2满足条件，此时t=0或t=-2，所以f（a）=0或f（a）=-2，只有-a2=-2满足条件，故a=2.
（2）解x0，则x<-1或x>2.因此x≥g（x）=x2-2的解为-1≤x≤2.于是f（x）=x2 x 2，x<-1或x>2，x2-x-2，-1≤x≤2.当x<-1或x>2时，f（x）>2；当-1≤x≤2时，x2-x-2=（x-12）2-94，则f（x）≥-94；又当x=-1和x=2时，x2-x-2=0，所以-94≤f（x）≤0.由以上，可得f（x）>2或-94≤f（x）≤0，即f（x）的值域是[-94，0]∪（2， ∞）.
评注：本题考查分段函数的概念和求值、值域等知识，对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式.对于分段函数的最值问题，应分别在每段求出最值，再比较各个部分的最值的大小，最终得到该函数的最值；对于分段函数的值域问题，应分别求出每段函数值的取值范围，最后并起来即得到函数的值域.
六、指数函数、对数函数和幂函数
例8（1）（2012上海卷理）已知函数f（x）=e|x-a|（a为常数）.若f（x）在区间[1， ∞）上是增函数，则a的取值范围是.
（2）（2014重庆卷理）函数f（x）=log2x·log2（2x）的最小值为.
解析：（1）令t=|x-a|，则t=|x-a|在区间[a， ∞）上单调递增，而y=et为增函数，所以要使函数f（x）=e|x-a|在[1， ∞）单调递增，则有a≤1，所以a的取值范围是（-∞，1].
（2）因为f（x）=log2x·log2（2x）=12log2x·2log2（2x）=log2x·（1 log2x）=（log2x）2 log2x=（log2x 12）2-14，所以当x=22时，函数f（x）取得最小值-14.
评注：本题第（1）小题主要考查复合函数的单调性的判断和求解，抓住“同增异减”是关键，但要注意定义域优先的基本原则；本题第（2）小题主要考查对数的运算、对数函数的性质、二次函数最值等知识，考查转化和化归思想以及运算能力. 例9（2014全国新课标卷Ⅰ文，15）设函数f（x）=ex-1，x<1x13，x≥1，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是.
解析：当x<1时，由f（x）=ex-1≤2可得x-1≤ln2，即x≤ln2 1，故x<1；当x≥1时，由f（x）=x13≤2可得x≤8，故1≤x≤8.综上可得x≤8.
评注：本题主要考查分段函数、指数函数、幂函数等知识，考查不等式的解法.求解与分段函数有关的不等式的关键是通过分类讨论将其等价转化为多个不等式组解集的并集.
七、三个“二次”关系
例10（1）若关于x方程（m-2）x2 mx （2m 1）=0有两个实根α和β，且-1<α<0，1<β<2，则实数m的取值范围是.
（2）（2014年高考江苏卷，10）已知函数f（x）=x2 mx-1，若对于任意x∈[m，m 1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是.
解析：（1）设f（x）=（m-2）x2 mx （2m 1），则由题意可知，函数f（x）有两个零点α和β，且-1<α<0，1<β<2，数形结合可知，f（-1）×f（0）<0f（1）×f（2）<0，即（2m-1）×（2m 1）<0（4m-1）×（8m-7）<0，解得14 （2）因为f（x）=x2 mx-1是开口向上的二次函数，故函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m 1]，f（x）<0，
只需f（m）<0f（m 1）<0即可，解得-22 评注：一元二次方程区间根的分布问题通常转化为二次函数的零点分布问题去处理.解决此类问题需要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号.三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究二次曲线等内容的基础工具.处理一元二次不等式在闭区间上恒成立问题的策略主要有两种：一是直接转化为二次函数的最值与0的大小关系去处理；二是参变分离之后再求最值.
八、函数与方程
例11函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为.
解析：直接求f（x）的零点或画f（x）的图象都比较困难，于是将f（x）的零点个数转化为2x|log0.5x|-1=0（即|log0.5x|=（12）x）的实根个数，进而转化为函数y=|log0.5x|与函数y=（12）x的图象交点个数问题去处理，然后利用数形结合思想破解.由2x|log0.5x|-1=0可得|log0.5x|=（12）x，在同一坐标系下作出函数y=|log0.5x|与函数y=（12）x的图象（如图所示）.由图可知，函数y=|log0.5x|与函数y=（12）x的图象的交点个数为2个，故函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为2.
评注：判断函数y=f（x）在某区间内的零点个数的方法主要有三种：①解方程f（x）=0，计算方程实数根的个数（重根按1个计算）即为函数零点个数；②作出函数y=f（x）的图象，判断图象与x轴交点个数即为函数零点个数；③转化为求两函数图象的交点个数问题，一般是将f（x）=0的若干项移到等式右边，构造两个基本初等函数，继而在同一直角坐标系内作出两函数图象，两函数图象的交点个数即为函数y=f（x）的零点个数.
例12（2014年高考江苏卷，13）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2-2x 12|.若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.
解析：由于函数y=f（x）-a解析式中含参数a，直接画其图象较为麻烦，于是将函数y=f（x）-a的零点个数转化为函数y=f（x）与直线y=a的交点个数问题去处理，然后在同一坐标系中画出它们的图象，平行移动直线y=a，找出满足条件的实数a的取值范围.先画出y=x2-2x 12，x∈[0，3）的图象，将x轴下方的图象对称到上方，即得到f（x），x∈[0，3）的图象，再利用周期为3，作出f（x）在区间[-3，4]上的图象（如图所示），其中f（-3）=f（0）=f（3）=0.5，f（-2）=f（1）=f（4）=0.5.因为函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）的图象与直线y=a共有10个不同的交点，所以a∈（0，12）.
评注：已知函数有零点（方程有实根）或已知函数零点个数（方程实根个数）求参数的取值范围是考查的热点和难点，其突破的方法主要有：①直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法，即先将参数分离，转化为求函数值域或最值问题去解决；③数形结合法，即先对函数解析式变形，转化为两函数图象的交点个数问题，并在同一直角坐标系中画出两函数图象，然后数形结合求解.
九、导数的几何意义
例13（2014江苏卷，11）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2 bx（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 3=0平行，则a b的值是.
解析：根据P点在曲线上，曲线在点P处的导函数值等于切线斜率，y′=2ax-bx2，k=-72，将P（2，-5）代入得-5=4a b24a-b4=-72，解得a=-1b=-2，则a b=-3.
评注：本题主要考查导数的应用，求切线问题，题目很基础，点在曲线上，以及在切点处的导数等于切线的斜率，而直线平行提供切线斜率，建立关于a，b的方程组.
十、函数与导数的综合问题
例14（2014江苏卷，19）已知函数f（x）=ex e-x，其中e是自然对数的底数. （1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x m-1在（0， ∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1， ∞），使得f（x0） 解析：（1）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称；又因为f（-x）=e-x ex=f（x），所以函数f（x）是R上的偶函数.
（2）mf（x）≤e-x m-1m（ex e-x）≤e-x m-1，即m（ex e-x-1）≤e-x-1.因为ex e-x-1>0，故m≤e-x-1ex e-x-1=1-exex e-x-1=1-1（e-x）2-e-x 1=1-1（e-x-12）2 34.因为x∈（0， ∞），所以e-x∈（0，1），所以
34≤（e-x-12）2 34<1，即1<1（e-x-12）2 34≤43，即-13≤1-1（ex-12）2 34<0，所以m≤-13.
（3）令g（x0）=f（x0）-a（-x30 3x0），只要在x0∈[1， ∞）上，g（x0）min<0即可.g′（x0）=（ex0）2-1ex0 3a（x20-1）.当x0≥1时，x20-1>0，（ex0）2-1>0，a>0，则g′（x0）>0.故在区间[1， ∞）上，g′（x0）≥0，即函数g（x0）为[1， ∞）的增函数，则gmin（x0）=g（1）=e e-1-2a<0，解得a>e e-12.
要比较ea-1与ae-1的大小，由于ae-1=e（e-1）lna，那么ae-1ea-1=e[（e-1）lna-（a-1）]，故只要比较a-1与（e-1）lna的大小.令h（x）=（e-1）lnx-（x-1），那么h′（x）=e-1x-1，当x>e-1时，h′（x）<0；当00；所以在区间（0，e-1）上，h（x）为增函数；在区间（e-1， ∞）上，h（x）为减函数.又h（e）=0，h（1）=0，则h（e-1）>0，h（e e-12）>0.那么：①当e e-120，eh（a）>1，从而ae-1>ea-1；②当a=e时，ea-1=ae-1；③当a>e时，h（a）<0，0 综上所述，当e e-12ea-1；当a=e时，ea-1=ae-1；当a>e时，ae-1 评注：本题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用、不等式等知识，考查综合应用数学思想方法分析与解决问题的能力.含参不等式恒成立问题直接求最值困难时，可先参变分离之后再求值域或最值.第（3）小题突破的关键在于将“存在x0∈[1， ∞），使得f（x0） （作者：何晓勤，南京师范大学第二附属高级中学）
一、函数的定义域与值域
例1（1）（2014山东卷理，3）函数f（x）=1（log2x）2-1的定义域为.
（2）已知函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的值域为R，则实数m的取值范围为.
解析：（1）欲使原函数有意义，则需（log2x）2-1>0，即log2x>1或log2x<-1，解得x>2或0
评注：本题第（1）小题考查对数函数的性质、函数的定义域等基础知识，考查运算求解能力.求函数的定义域即求使函数有意义的自变量的取值集合，尤其要注意对含对数、分式和根式等函数定义域的求解问题.解对数不等式除了注意其本身外，还需要注意其中蕴含的条件“真数大于零”.处理第（2）小题时，注意“函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的定义域为R”和“函数y=log2[2x2-（m 3）x 2m]的值域为R”的区别，谨防出现错解.
二、函数的基本性质
例2（1）（2014全国新课标卷II理，15）已知偶函数f（x）在[0， ∞）单调递减，f（2）=0.若f（x-1）>0，则x的取值范围是.
（2）（2013天津卷文，7）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0， ∞）上单调递增.若实数a满足f（log2a） f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是.
解析：（1）因为f（x）是偶函数，所以f（x-1）=f（|x-1|），所以由f（x-1）>0得f（|x-1|）>f（2），由单调性得|x-1|<2，解得-2
评注：本题考查函数的奇偶性、单调性等知识，解与抽象函数有关的不等式常常需要结合图象特征求解，而图象的形态主要由奇偶性和单调性控制，位置由指定点控制.结合函数的图象和性质，就能实现“化抽象为直观”、“化抽象为具体”，从而有效地解决相关问题.
例3（1）（2014安徽卷文，14）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=x（1-x），0≤x<1sinπx，1
解析：（1）因为函数f（x）周期是4，且在[0，2]上的解析式为f（x）=x（1-x），0≤x<1sinπx，1
（2）因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，所以f（-1）=f（1），即-a 1=b 22①；又f（32）=f（-12）=-12a 1，f（12）=f（32），所以-12a 1=b 43②；联立①②，解得a=2，b=-4，所以a 3b=-10.
评注：本题第（1）小题考查函数的周期性、奇偶性以及特殊角的三角求值，考查转化与化归的数学思想.第（2）小题考查分段函数求值、函数的周期性等知识，突破的关键在于利用周期性找出关系式f（-1）=f（1）.
三、函数的图象与解析式
例4（2014湖北卷文，）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若x∈R，f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为.
解析：“x∈R，f（x）>f（x-1）”等价于“函数y=f（x）的图象恒在函数y=f（x-1）的图象的上方”，函数y=f（x-1）的图象是由函数y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，如下图所示.因为a>0，由图知6a<1，所以a的取值范围为（0，16）.
评注：本题考查函数图象的平移及数形结合思想，其突破的难点在于如何表示“x∈R，f（x）>f（x-1）”，将不等式问题转化为图象问题是本题快速求解的关键.
例5（2014陕西卷文，10）如下图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为.
解析：由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y=f（x）=ax3 bx2 cx，则f′（x）=3ax2 2bx c，∴f′（0）=-1，f′（2）=3，可得c=-1，3a b=1.又y=ax3 bx2 cx过点（2，0），∴4a 2b=1，∴a=12，b=-12，c=-1，∴f（x）=12x3-12x2-x.
评注：本题考查同学们运用函数知识解决实际问题的能力和图形观察能力.三次函数是高中阶段的一类重要函数，其图象和性质需要利用导数来解决，其导数为二次函数，在函数学习中起着重要作用，需要熟练掌握. 四、一次函数和二次函数
例6已知函数f（x）=x2-4x a 3，g（x）=mx 5-2m.
（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）.
解析：（1）因为函数f（x）=x2-4x a 3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数.因为函数在区间[-1，1]上存在零点，则必有：f（1）≤0f（-1）≥0即a≤0a 8≥0，解得-8≤a≤0，故实数a的取值范围为[-8，0].
（2）对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，则函数y=f（x）（x∈[1，4]）的值域为函数y=g（x）（x∈[1，4]）的值域的子集.其中f（x）=x2-4x 3（x∈[1，4]）的值域为[-1，3]，下面求g（x）=mx 5-2m的值域.分三类讨论：①当m=0时，g（x）=5为常数，不符合题意舍去；②当m>0时，g（x）的值域为[5-m，5 2m]，要使[-1，3][5-m，5 2m]，则需5-m≤-15 2m≥3，解得m≥6；③当m<0时，g（x）的值域为[5 2m，5-m]，要使[-1，3][5 2m，5-m]，则需5 2m≤-15-m≥3，解得m≤-3；综上，实数m的取值范围为（-∞，-3]∪[6， ∞）.
（3）由题意知t<47-2t>0，可得t<72.分类讨论：①当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，所以f（t）-f（2）=7-2t，即t2-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；②当0
五、分段函数
例7（1）（2014浙江卷文，15）设函数f（x）=x2 2x 2，x≤0-x2，x>0.若f（f（a））=2，则a=.
（2）设函数g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x） x 4，x
（2）解x
评注：本题考查分段函数的概念和求值、值域等知识，对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式.对于分段函数的最值问题，应分别在每段求出最值，再比较各个部分的最值的大小，最终得到该函数的最值；对于分段函数的值域问题，应分别求出每段函数值的取值范围，最后并起来即得到函数的值域.
六、指数函数、对数函数和幂函数
例8（1）（2012上海卷理）已知函数f（x）=e|x-a|（a为常数）.若f（x）在区间[1， ∞）上是增函数，则a的取值范围是.
（2）（2014重庆卷理）函数f（x）=log2x·log2（2x）的最小值为.
解析：（1）令t=|x-a|，则t=|x-a|在区间[a， ∞）上单调递增，而y=et为增函数，所以要使函数f（x）=e|x-a|在[1， ∞）单调递增，则有a≤1，所以a的取值范围是（-∞，1].
（2）因为f（x）=log2x·log2（2x）=12log2x·2log2（2x）=log2x·（1 log2x）=（log2x）2 log2x=（log2x 12）2-14，所以当x=22时，函数f（x）取得最小值-14.
评注：本题第（1）小题主要考查复合函数的单调性的判断和求解，抓住“同增异减”是关键，但要注意定义域优先的基本原则；本题第（2）小题主要考查对数的运算、对数函数的性质、二次函数最值等知识，考查转化和化归思想以及运算能力. 例9（2014全国新课标卷Ⅰ文，15）设函数f（x）=ex-1，x<1x13，x≥1，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是.
解析：当x<1时，由f（x）=ex-1≤2可得x-1≤ln2，即x≤ln2 1，故x<1；当x≥1时，由f（x）=x13≤2可得x≤8，故1≤x≤8.综上可得x≤8.
评注：本题主要考查分段函数、指数函数、幂函数等知识，考查不等式的解法.求解与分段函数有关的不等式的关键是通过分类讨论将其等价转化为多个不等式组解集的并集.
七、三个“二次”关系
例10（1）若关于x方程（m-2）x2 mx （2m 1）=0有两个实根α和β，且-1<α<0，1<β<2，则实数m的取值范围是.
（2）（2014年高考江苏卷，10）已知函数f（x）=x2 mx-1，若对于任意x∈[m，m 1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是.
解析：（1）设f（x）=（m-2）x2 mx （2m 1），则由题意可知，函数f（x）有两个零点α和β，且-1<α<0，1<β<2，数形结合可知，f（-1）×f（0）<0f（1）×f（2）<0，即（2m-1）×（2m 1）<0（4m-1）×（8m-7）<0，解得14
只需f（m）<0f（m 1）<0即可，解得-22
八、函数与方程
例11函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为.
解析：直接求f（x）的零点或画f（x）的图象都比较困难，于是将f（x）的零点个数转化为2x|log0.5x|-1=0（即|log0.5x|=（12）x）的实根个数，进而转化为函数y=|log0.5x|与函数y=（12）x的图象交点个数问题去处理，然后利用数形结合思想破解.由2x|log0.5x|-1=0可得|log0.5x|=（12）x，在同一坐标系下作出函数y=|log0.5x|与函数y=（12）x的图象（如图所示）.由图可知，函数y=|log0.5x|与函数y=（12）x的图象的交点个数为2个，故函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为2.
评注：判断函数y=f（x）在某区间内的零点个数的方法主要有三种：①解方程f（x）=0，计算方程实数根的个数（重根按1个计算）即为函数零点个数；②作出函数y=f（x）的图象，判断图象与x轴交点个数即为函数零点个数；③转化为求两函数图象的交点个数问题，一般是将f（x）=0的若干项移到等式右边，构造两个基本初等函数，继而在同一直角坐标系内作出两函数图象，两函数图象的交点个数即为函数y=f（x）的零点个数.
例12（2014年高考江苏卷，13）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2-2x 12|.若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.
解析：由于函数y=f（x）-a解析式中含参数a，直接画其图象较为麻烦，于是将函数y=f（x）-a的零点个数转化为函数y=f（x）与直线y=a的交点个数问题去处理，然后在同一坐标系中画出它们的图象，平行移动直线y=a，找出满足条件的实数a的取值范围.先画出y=x2-2x 12，x∈[0，3）的图象，将x轴下方的图象对称到上方，即得到f（x），x∈[0，3）的图象，再利用周期为3，作出f（x）在区间[-3，4]上的图象（如图所示），其中f（-3）=f（0）=f（3）=0.5，f（-2）=f（1）=f（4）=0.5.因为函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）的图象与直线y=a共有10个不同的交点，所以a∈（0，12）.
评注：已知函数有零点（方程有实根）或已知函数零点个数（方程实根个数）求参数的取值范围是考查的热点和难点，其突破的方法主要有：①直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法，即先将参数分离，转化为求函数值域或最值问题去解决；③数形结合法，即先对函数解析式变形，转化为两函数图象的交点个数问题，并在同一直角坐标系中画出两函数图象，然后数形结合求解.
九、导数的几何意义
例13（2014江苏卷，11）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2 bx（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 3=0平行，则a b的值是.
解析：根据P点在曲线上，曲线在点P处的导函数值等于切线斜率，y′=2ax-bx2，k=-72，将P（2，-5）代入得-5=4a b24a-b4=-72，解得a=-1b=-2，则a b=-3.
评注：本题主要考查导数的应用，求切线问题，题目很基础，点在曲线上，以及在切点处的导数等于切线的斜率，而直线平行提供切线斜率，建立关于a，b的方程组.
十、函数与导数的综合问题
例14（2014江苏卷，19）已知函数f（x）=ex e-x，其中e是自然对数的底数. （1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x m-1在（0， ∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1， ∞），使得f（x0）
（2）mf（x）≤e-x m-1m（ex e-x）≤e-x m-1，即m（ex e-x-1）≤e-x-1.因为ex e-x-1>0，故m≤e-x-1ex e-x-1=1-exex e-x-1=1-1（e-x）2-e-x 1=1-1（e-x-12）2 34.因为x∈（0， ∞），所以e-x∈（0，1），所以
34≤（e-x-12）2 34<1，即1<1（e-x-12）2 34≤43，即-13≤1-1（ex-12）2 34<0，所以m≤-13.
（3）令g（x0）=f（x0）-a（-x30 3x0），只要在x0∈[1， ∞）上，g（x0）min<0即可.g′（x0）=（ex0）2-1ex0 3a（x20-1）.当x0≥1时，x20-1>0，（ex0）2-1>0，a>0，则g′（x0）>0.故在区间[1， ∞）上，g′（x0）≥0，即函数g（x0）为[1， ∞）的增函数，则gmin（x0）=g（1）=e e-1-2a<0，解得a>e e-12.
要比较ea-1与ae-1的大小，由于ae-1=e（e-1）lna，那么ae-1ea-1=e[（e-1）lna-（a-1）]，故只要比较a-1与（e-1）lna的大小.令h（x）=（e-1）lnx-（x-1），那么h′（x）=e-1x-1，当x>e-1时，h′（x）<0；当0