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摘 要:绝对值是初中数学的重要概念,相关知识难以理解且题目多变,解题方法多样。文章从教学案例入手,展示了一题多解、一题多变等教学方式在绝对值内容讲解上的具体应用,以及对绝对值知识相关内容和方法的拓展、延伸。这种绝对值解题的多角度探究不仅可以提高学生的解题效率,增强学生的解题能力,还能提升学生的逻辑思维能力和数学素养,培养学生的数形结合、转化的核心素养。
关键词:绝对值;多角度;数形结合;核心素养
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:2095-624X(2021)09-0091-02
引 言
数学学习的有效性是每位教师关注的焦点,如何让习题讲解有效、有深度、有延展性?这也是教师提高课堂效率,学生提高学习效率需要探究的问题。罗增儒教授曾说:“一个数学问题,如果我们只有一个解法,不管是自己想出來的还是翻答案看到的,都肯定会存在认识上的局限性。只有在寻得两个或更多的解法之后,才会对问题的实质有真正的了解。”因此,对于一道题目,不同角度地思考很重要,这样的解题方式会提升解题的品质,提高学习的效率,提升数学素养。
绝对值的几何意义是指数轴上表示数a的点A到表示数b的点B之间的距离,用符号语言表示:AB=∣a-b∣或者∣b-a∣。首先,学生要理解的是距离是绝对值的含义。其次,学生要理解到某一点距离为几的点在数轴上的位置有两个,因此,在解绝对值这类题目的时候既要用到图形思维,即要及时切换到数形结合的思想,又要学会用代数的方法解决。因此这部分内容用不同的方法难易程度各不同,学生如果用对方法就会轻而易举解决问题,但这部分题目数形结合思想必不可少。形会让数更直观,数会让形更具体。
下面笔者主要通过绝对值题目讲解中的点滴感悟进行说明。
一、问题呈现
类型1:题目:在数轴上表示的数,离-1.2距离为3的点表示的数是 。
本题是笔者在讲苏教版课课练时归纳题目类型时所发现的,原来课课练和试卷上的题目从本质上来说是同一道题,可以让学生触类旁通,因此,在讲完题目后,笔者在复习时,将这几题,用不同的形式归纳出来,让学生探究,并且鼓励学生在学习中归纳,分享不同解法,剖析题目中用的不同知识点,提升学生的思维品质,提高课堂效率。课后,笔者对有关绝对值解的几道题目进行归纳和总结,并做了深入思考。
二、思路分析
第一种解题方法是数形结合法。绝对值的几何意义就是指表示数x到-1.2距离为3的点,通过画数轴以及绝对值的几何意义知道有两个点,一个在左边一个在右边。通过数形结合抽象成一个规律。
本人在教学中做了如下评析:
(1)学情分析:部分学生能想出这个方法,对于刚学习数轴的学生来说,做题想到画数轴较难,因此部分学生不画图漏解现象严重。后期的学习中要加强学生的作图能力。
(2)体现了数形结合的思想:利用这种方法解题体现了数形结合的思想,要求学生画出数轴,在数轴上观察出两个解。
第二种解题方法是代数法。 右边的数-1.2+3=1.8,左边的数-1.2-3=-4.2,通过有理数的加法得出答案。
本人在教学中做了如下评析。
学情分析:学生观察发现在左边的数小了3个单位长度,在右边的数大了3个单位长度,从而将有理数的加法归纳成代数方法。但这种方法的前提是学生学习了加减法。如果学生加减法的基础不好,错误率会很高。
归纳总结的归类思想:学生通过观察,归纳总结数轴上点的平移规律。一个点向左移动几个单位就是减去几,向右移动几个单位就是加上几。简单记忆,点的平移就是左减右加,这能够为今后的数轴及坐标系中点的平移奠定了一定的基础。
知识学习的方法缺点:在新授绝对值的定义的时候,这种方法不适合,适合已经学过有理数加减或复习的时候才可以用,对学生的归纳能力的要求较高。
三、变式拓展
根据绝对值的定义,这道题可以转化成符号语言。
第三种解题方法是解绝对值方程 | x+1.2 |=3,
具体解题方法为:
x+1.2= ±3
x= ±3-1.2
x1=3-1.2=1.8
x2=-3-1.2=-4.2
本人在教学中做了如下评析:
学情分析:学生要熟悉互为相反数的两个数的绝对值相等。学生对于这一点经常会遗漏。
方程知识的运用,用到了移项,学生要注意移项变号。
要分类解出两个解。
这一题的不同解法主要让学生理解数学题的解法不止一种,而不同时期可用不同方法,对于知识的巩固和灵活运用都有着举足轻重的意义。只有将一道题研究透彻,才会触类旁通,举一反三。这道题如果让学生做,学生容易漏解。既然是数轴上的点,教师就要告诉学生画图非常重要,画了图,生不容易漏解。第三种方法需要学生理解的是绝对值的定义,其次会把绝对值方程转化成一元一次方程,从而理解划归的思想。在对这一道题目解答过程中,学生通过一题多解从点线面不同角度学习数学知识,复习了各个知识点,从中了解到不同的表达方式,其实可以划归为一类题的解法,从而感觉到变式练习的重要性、深度理解知识的重要性。
类型2:题目:|x-1|+|x-3|的最小值是 。
解法1:借用数轴,数形结合思想
本人在教学中做了如下评析。
学情分析:这种方法学生很难想到,因为用到数轴,学生要想到把数轴画出来,对绝对值定义的理解较难,要把一个代数的问题划归成图形,学生不太会转化,因此理解后解题简单,但学生较难巩固。 数形结合思想和转化的思想:主要利用绝对值的定义,就是距离。理解|x-1|+|x-3|表示的含义就是x到1和3的距离和,转化成数轴上1和3之间的距离。学生能够从距离角度理解绝对值,利用数轴只要观察就可以得到最小值。
解法2:借用课课练上的课后题结论, |a |+|b|≥
|a+b|,其中a,b同号或者同时为0,
|x-1|+|3-x|≥|x-1+3-x|
|x-1|+|3-x|≥2
x-1﹥0,3-x﹥0,所以最小值是2。
本人在教学中做了如下评析。
学情分析:这种方法学生很难想到,因为要用到学过的习题中的结论,七年级的学生刚学新知识,归纳和转化能力有限。
代数思想转化成定值:通过利用|a|+|b|>|a+b|成立的条件,消去x得到定值,可以得到最小值。
这种思维方式的难度太大,学生只能拓展思维,不能巩固和理解。
解绝对值方程、求最值的方法很多,合理地利用方法,可以提高解决题目的效率,因此,在以上题目的拓展中,笔者让学生认识到的是解题一定要学会从不同角度思考问题,并选用简单直观的方法解题,学会数形结合、转化的思想。另外,在做题时,让学生从过不同角度解题,巩固不同的知识点,如相反数、绝对值、解方程的方法、數轴上点平移规律,多角度解题,多方面巩固,做到点、线、面地复习知识点,从而在多角度的思考问题中,提升数学做题的灵活度,激发学生数学核心素养和钻研问题的能力,提升数学题阅读题目的兴趣。
结 语
数学思想方法教学的关键在于让学生把握核心概念,准确应用不同的解题方法,明确不同方法的解题范围。数学教学的核心就是在数学概念、方法、原理下,采用不同的概念、方法等教学方式,让学生学会用数学的语言观察、解决生活中的数学问题,进一步认识生活中的数学。著名数学家华罗庚先生曾经说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。”绝对值知识虽然在初中数学中属于重要的知识,在解题过程中选择不同的解题方法、解题思路,会产生不同的求解方式,内容方法的拓展、延伸较多。选择不同的方法、转化思想,解题难度也会有明显的区别。最佳的方法会提高学生的解题效率。因此多角度地研究问题有利于提升学生的数学修养,提高学生的解题效率,从而提升思维品质。教师要鼓励学生采用不同的方法解题,增强学生的数学核心素养。学生从不同角度类比、归纳,学会用合理的方法解决问题,可以进一步体现出数学的核心素养。数学核心素养就是学生能够围绕基本概念建构数学模型,利用数学方法合理解决问题,因此在数学教学和实践活动中重要的是让学生掌握数学思想方法,这是解决数学问题的核心和灵魂。学生在解题过程中要通过反复地类比、推理、迁移出新的方法。只有在数学教学中学会一题多解、一题多变等,提高他们运用数学思维方法的能力,他们才能最快地找到合适的方法。教师在教学中要帮学生归纳出数学方法适用的范围,让学生在同一主题下、不同的情境中学会解决问题的不同方法,丰富解答数学问题的情景体验,区分数学知识间的联系,培养学生的思维,从而提升学生创新、探索等数学思维能力。
[参考文献]
[1]潘卫东.由一次意外生成引发的思考[J].中学数学教学参考,2019(33):32-33.
[2]郭芳丽.浅谈绝对值概念教学的几个阶段[J].中学课程(中旬刊),2018(12):91.
[3]左效平.绝对值的几何意义[J].数理天地(初中版),2020(8):4-5.
[4]吴乐乐,裴昌根,柏 杨.类比视角下发展数学核心素养的教学策略探究[J].中小学教师培训,2021(1):35-39.
作者简介:范萍莉(1978— ),女,陕西周至人,中学一级教师,本科,研究方向:数学教学。
关键词:绝对值;多角度;数形结合;核心素养
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:2095-624X(2021)09-0091-02
引 言
数学学习的有效性是每位教师关注的焦点,如何让习题讲解有效、有深度、有延展性?这也是教师提高课堂效率,学生提高学习效率需要探究的问题。罗增儒教授曾说:“一个数学问题,如果我们只有一个解法,不管是自己想出來的还是翻答案看到的,都肯定会存在认识上的局限性。只有在寻得两个或更多的解法之后,才会对问题的实质有真正的了解。”因此,对于一道题目,不同角度地思考很重要,这样的解题方式会提升解题的品质,提高学习的效率,提升数学素养。
绝对值的几何意义是指数轴上表示数a的点A到表示数b的点B之间的距离,用符号语言表示:AB=∣a-b∣或者∣b-a∣。首先,学生要理解的是距离是绝对值的含义。其次,学生要理解到某一点距离为几的点在数轴上的位置有两个,因此,在解绝对值这类题目的时候既要用到图形思维,即要及时切换到数形结合的思想,又要学会用代数的方法解决。因此这部分内容用不同的方法难易程度各不同,学生如果用对方法就会轻而易举解决问题,但这部分题目数形结合思想必不可少。形会让数更直观,数会让形更具体。
下面笔者主要通过绝对值题目讲解中的点滴感悟进行说明。
一、问题呈现
类型1:题目:在数轴上表示的数,离-1.2距离为3的点表示的数是 。
本题是笔者在讲苏教版课课练时归纳题目类型时所发现的,原来课课练和试卷上的题目从本质上来说是同一道题,可以让学生触类旁通,因此,在讲完题目后,笔者在复习时,将这几题,用不同的形式归纳出来,让学生探究,并且鼓励学生在学习中归纳,分享不同解法,剖析题目中用的不同知识点,提升学生的思维品质,提高课堂效率。课后,笔者对有关绝对值解的几道题目进行归纳和总结,并做了深入思考。
二、思路分析
第一种解题方法是数形结合法。绝对值的几何意义就是指表示数x到-1.2距离为3的点,通过画数轴以及绝对值的几何意义知道有两个点,一个在左边一个在右边。通过数形结合抽象成一个规律。
本人在教学中做了如下评析:
(1)学情分析:部分学生能想出这个方法,对于刚学习数轴的学生来说,做题想到画数轴较难,因此部分学生不画图漏解现象严重。后期的学习中要加强学生的作图能力。
(2)体现了数形结合的思想:利用这种方法解题体现了数形结合的思想,要求学生画出数轴,在数轴上观察出两个解。
第二种解题方法是代数法。 右边的数-1.2+3=1.8,左边的数-1.2-3=-4.2,通过有理数的加法得出答案。
本人在教学中做了如下评析。
学情分析:学生观察发现在左边的数小了3个单位长度,在右边的数大了3个单位长度,从而将有理数的加法归纳成代数方法。但这种方法的前提是学生学习了加减法。如果学生加减法的基础不好,错误率会很高。
归纳总结的归类思想:学生通过观察,归纳总结数轴上点的平移规律。一个点向左移动几个单位就是减去几,向右移动几个单位就是加上几。简单记忆,点的平移就是左减右加,这能够为今后的数轴及坐标系中点的平移奠定了一定的基础。
知识学习的方法缺点:在新授绝对值的定义的时候,这种方法不适合,适合已经学过有理数加减或复习的时候才可以用,对学生的归纳能力的要求较高。
三、变式拓展
根据绝对值的定义,这道题可以转化成符号语言。
第三种解题方法是解绝对值方程 | x+1.2 |=3,
具体解题方法为:
x+1.2= ±3
x= ±3-1.2
x1=3-1.2=1.8
x2=-3-1.2=-4.2
本人在教学中做了如下评析:
学情分析:学生要熟悉互为相反数的两个数的绝对值相等。学生对于这一点经常会遗漏。
方程知识的运用,用到了移项,学生要注意移项变号。
要分类解出两个解。
这一题的不同解法主要让学生理解数学题的解法不止一种,而不同时期可用不同方法,对于知识的巩固和灵活运用都有着举足轻重的意义。只有将一道题研究透彻,才会触类旁通,举一反三。这道题如果让学生做,学生容易漏解。既然是数轴上的点,教师就要告诉学生画图非常重要,画了图,生不容易漏解。第三种方法需要学生理解的是绝对值的定义,其次会把绝对值方程转化成一元一次方程,从而理解划归的思想。在对这一道题目解答过程中,学生通过一题多解从点线面不同角度学习数学知识,复习了各个知识点,从中了解到不同的表达方式,其实可以划归为一类题的解法,从而感觉到变式练习的重要性、深度理解知识的重要性。
类型2:题目:|x-1|+|x-3|的最小值是 。
解法1:借用数轴,数形结合思想
本人在教学中做了如下评析。
学情分析:这种方法学生很难想到,因为用到数轴,学生要想到把数轴画出来,对绝对值定义的理解较难,要把一个代数的问题划归成图形,学生不太会转化,因此理解后解题简单,但学生较难巩固。 数形结合思想和转化的思想:主要利用绝对值的定义,就是距离。理解|x-1|+|x-3|表示的含义就是x到1和3的距离和,转化成数轴上1和3之间的距离。学生能够从距离角度理解绝对值,利用数轴只要观察就可以得到最小值。
解法2:借用课课练上的课后题结论, |a |+|b|≥
|a+b|,其中a,b同号或者同时为0,
|x-1|+|3-x|≥|x-1+3-x|
|x-1|+|3-x|≥2
x-1﹥0,3-x﹥0,所以最小值是2。
本人在教学中做了如下评析。
学情分析:这种方法学生很难想到,因为要用到学过的习题中的结论,七年级的学生刚学新知识,归纳和转化能力有限。
代数思想转化成定值:通过利用|a|+|b|>|a+b|成立的条件,消去x得到定值,可以得到最小值。
这种思维方式的难度太大,学生只能拓展思维,不能巩固和理解。
解绝对值方程、求最值的方法很多,合理地利用方法,可以提高解决题目的效率,因此,在以上题目的拓展中,笔者让学生认识到的是解题一定要学会从不同角度思考问题,并选用简单直观的方法解题,学会数形结合、转化的思想。另外,在做题时,让学生从过不同角度解题,巩固不同的知识点,如相反数、绝对值、解方程的方法、數轴上点平移规律,多角度解题,多方面巩固,做到点、线、面地复习知识点,从而在多角度的思考问题中,提升数学做题的灵活度,激发学生数学核心素养和钻研问题的能力,提升数学题阅读题目的兴趣。
结 语
数学思想方法教学的关键在于让学生把握核心概念,准确应用不同的解题方法,明确不同方法的解题范围。数学教学的核心就是在数学概念、方法、原理下,采用不同的概念、方法等教学方式,让学生学会用数学的语言观察、解决生活中的数学问题,进一步认识生活中的数学。著名数学家华罗庚先生曾经说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。”绝对值知识虽然在初中数学中属于重要的知识,在解题过程中选择不同的解题方法、解题思路,会产生不同的求解方式,内容方法的拓展、延伸较多。选择不同的方法、转化思想,解题难度也会有明显的区别。最佳的方法会提高学生的解题效率。因此多角度地研究问题有利于提升学生的数学修养,提高学生的解题效率,从而提升思维品质。教师要鼓励学生采用不同的方法解题,增强学生的数学核心素养。学生从不同角度类比、归纳,学会用合理的方法解决问题,可以进一步体现出数学的核心素养。数学核心素养就是学生能够围绕基本概念建构数学模型,利用数学方法合理解决问题,因此在数学教学和实践活动中重要的是让学生掌握数学思想方法,这是解决数学问题的核心和灵魂。学生在解题过程中要通过反复地类比、推理、迁移出新的方法。只有在数学教学中学会一题多解、一题多变等,提高他们运用数学思维方法的能力,他们才能最快地找到合适的方法。教师在教学中要帮学生归纳出数学方法适用的范围,让学生在同一主题下、不同的情境中学会解决问题的不同方法,丰富解答数学问题的情景体验,区分数学知识间的联系,培养学生的思维,从而提升学生创新、探索等数学思维能力。
[参考文献]
[1]潘卫东.由一次意外生成引发的思考[J].中学数学教学参考,2019(33):32-33.
[2]郭芳丽.浅谈绝对值概念教学的几个阶段[J].中学课程(中旬刊),2018(12):91.
[3]左效平.绝对值的几何意义[J].数理天地(初中版),2020(8):4-5.
[4]吴乐乐,裴昌根,柏 杨.类比视角下发展数学核心素养的教学策略探究[J].中小学教师培训,2021(1):35-39.
作者简介:范萍莉(1978— ),女,陕西周至人,中学一级教师,本科,研究方向:数学教学。