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摘 要：依据空间啮合理论对弧齿锥齿轮进行带位置偏差的TCA（tooth contact analysis）仿真，模拟分析了多种位置偏差（径向、轴向和轴交角偏差）对弧齿锥齿轮啮合性能的影响，并经过进一步的图像处理和比较，量化的反映出了弧齿锥齿轮副对各种位置偏差的敏感性。
关键词：弧齿锥齿轮 数字化齿面 位置偏差 敏感性
中图分类号：TH132.4 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）03（c）-0120-06
Abstract： According to the space engagement theory， the TCA（tooth contact analysis）， with position warp， was simulated. Based on which， we analysis the influence of many position warp to the mesh ability of spiral bevel gears. After further image processing and comparison， we quantified the sensitivity of spiral bevel gears’ to position warp.
Key Words： Spiral Bevel Gear； Digital Tooth Flank； Position Warp； Sensitivity
随着设计制造水平的不断提高，弧齿锥齿轮以其承载能力强、传动平稳及噪音小等优点越来越广泛的被用作汽车、飞机、仪器仪表中的关键机械传动部件，但由于其齿面几何拓扑结构极为复杂，与之相应的误差理论和检验技术都远远落后于圆柱齿轮，目前，仍以滚检后的齿面啮合印痕情况作为配对使用的主要检验手段。
可齿面印痕只能反映部分啮合信息，加上传动误差才能更全面的反映弧齿锥齿轮的性能[1-2]，所以，全面的分析位置偏差对齿面印痕和传动误差的影响对实际生产中弧齿锥齿轮副的安装调整及零部件公差的确定都具有重要的指导意义。
本文依据空间啮合理论[3]，并参考文献[4]中的方法，分析了某对实际弧齿锥齿轮齿面的啮合性能随不同方向位置偏差（径向、轴向和轴交角）的变化而发生的改变；经过进一步的图象处理[5]和比较，量化的表示出它们相对无位置偏差时的偏离量，即全面且量化的反映了弧齿锥齿轮副对各种位置偏差的敏感性。
1 实际齿面的TCA
1.1 实际齿面的高精度表达
用三坐标测量机按一定的规律提取得到高精度的实际齿面点坐标后，参考文献[4]中方法，经过反复的插值计算就可得到高精度逼近真实齿面且二阶连续的双三次NURBS曲面，最大拟合误差不超过0.1μm，以此代替真实齿面，可将实际齿面表达成以下参数方程，即数字化齿面：
在给定齿面的弹性变形量时，又可求出每个接触点处瞬时接触椭圆的大小和方向[3]，这一系列的接触椭圆就构成了齿面接触印痕。
2 齿面啮合性能对安装误差的敏感性分析
某对弧齿锥齿轮的部分轮坯参数如表1所示，根据相应加工参数（从略）加工后，齿面误差分布如图2所示。
用三坐标测量机分别提取大小轮相应齿面点，拟合生成高精度的数字化齿面后，进行计算机仿真分析，并以不存在位置偏差的情况为基准进行对比，其中印痕比较时相对方向的定义为：相对基准向右（上）移为“正”，向左（下）移为“负”；印痕迹线夹角比较时，比基准的大为“正”，小为“负”。所有齿面印痕的左边为小端，右边为大端，上为齿顶方向，下为齿根方向。
2.1 径向位置偏差的影响
表2、表3分别是径向位置偏差对齿面接触印痕和传动误差的影响，从表中可知，随着径向偏差的由‘正’到‘负’，印痕位置也明显的由小端向大端移动，但印痕沿齿高方向及迹线夹角的变化都很小；传动误差曲线的对称性也随之变差，整体变化不大，但当径向偏差‘负’向较大时会引起传动误差曲线的严重不对称，从而引起振动与噪声。
所以，齿面印痕沿齿长方向的位置对径向位置偏差较敏感，而传动误差曲线的状况受其影响相对较小。
实际生产中，径向偏差是不允许调整的，它的大小主要由加工精度和装配精度决定，从表2、表3可知，在不明显改变传动误差曲线的对称性又不至于使印痕位置偏移过大的前提下，允许有一定的径向‘正’偏差，这为加工精度和装配精度的确定提出了一定的范围要求。
2.2 轴向位置偏差的影响
大、小轮轴向位置偏差对齿面印痕的影响分别如表4、表6所示，从表中可知大、小轮轴向位置偏差对印痕沿齿长方向位置的影响都很明显，且两者有一定的对称性，但印痕沿齿高方向及迹线夹角的变化都不大。所以，只需调整大或小轮的轴向位置偏差即可改变齿面印痕位置，调整时两者印痕偏移的方向相反。
表5、表7分别是大、小轮轴向位置偏差对齿面传动误差曲线的影响，它们也有一定的对称性，且都随着齿面印痕向大端的偏移而变得更加不对称，但小轮的轴向偏差的影响更明显。因此，在设计调整时应使齿面印痕分布在齿面中部略偏向小端。
实际生产中，齿面啮合印痕的位置调整主要是通过小轮的轴向位置调整来实现的，从表6可知，印痕沿齿长方向的位置对小轮的轴向偏差是很敏感的，所以调整量要适当，不然會引起印痕向小端或大端的急剧偏移，并伴随有传动误差曲线的严重不对称（见表7），这是齿轮传动中产生振动噪声的主要原因之一。
2.3 轴交角误差的影响
表8反映的是轴交角偏差对齿面印痕的影响，在表中给出的轴交角偏差范围内，齿面印痕沿齿长方向的相对偏移量并不大，且印痕沿齿高方向及接触迹线夹角的变化量都很小，若实际滚检实验所得齿面印痕如表8所示的任一个，都将很可能被认为是“合格”品。 表9对应的是同样的轴交角偏差所引起的传动误差曲线的变化，从表中可知，轻微的轴交角偏差都会造成传动误差曲线不对称性的剧烈变化，特别是轴交角出现‘负’偏差时的影响尤为严重。
所以，齿面印痕沿齿长方向的位置对轴交角偏差不敏感，但传动误差曲线对轴交角偏差的变化非常敏感。这也说明，单纯的以齿面印痕的状况来判断齿轮幅的性能是不全面的，尤其是不能反映齿面传动误差曲线的状况—— 齿轮传动重要的噪音源之一。
为了在保证弧齿锥齿轮传动部件的工艺性的基础上尽量减小轴交角偏差对传动误差的影响，以免在“合格”齿轮幅中出现大的振动与噪声，建议在给定大、小轮轴线垂直度的同时，增加两轴线在有轮齿啮合侧的夹角偏差限制。在设计时，如本文中所分析的那对齿轮的轴角交在原有垂直度的约束下可增加轴交公差带限制[-0.05°～ 0.1°]。
3 结语
（1）径向偏差对齿面印痕的位置影响较大，对传动误差曲线的影响相对较小。
（2）大、小轮的轴向偏差对齿面传动性能的影响都较明显，且有一定的对称性。实际生产中，小轮轴向位置的调整幅度要合适，以免引起较大的振动和噪声。
（3）齿面传动误差曲线对轴交角偏差非常敏感，在齿面印痕偏移不大的情况下就出现严重不对称，容易造成“合格”锥齿轮幅却有较大传动噪声的情况，建议在原有垂直度的基础上增加合适的锥齿轮传动部件的轴交角公差限制。
4）根据以上分析中齿面印痕向大端偏移所对应的传动误差曲线的变化都比向小端偏移更为剧烈的共性，实际调整时应使齿面印痕在齿面中部或略偏向小端。
本文的研究是在对某对实际弧齿锥齿轮幅齿面的数字化仿真分析的基础上进行的，对实际的设计与生产有一定的参考价值，但相关研究还有待大量实践的验证。
参考文献
[1] 方宗德，刘涛，邓效忠. 基于传动误差设计的弧齿锥齿轮啮合分析[J]. 航空学报， 2002，23（3）：226 ～230.
[2] Litvin F. L. Local synthesis and tooth contact analysis of face-milled spiral bevel gears[R]， NASA， CR4342， 1990：23 ～48.
[3] Litvin F. L. Gear geometry and applied theory [M]， Prentice Hall， N.J.，1994：160 ～257.
[4] 张军辉，方宗德，王成. 基于NURBS的弧齿锥齿轮真实齿面的數字化仿真[J]. 航空动力学报，2009 ，24（7）：1 ～5.
[5] 曹雪梅，高性能航空弧齿锥齿轮设计技术研究[D] . 西北工业大学博士论文，2008：78 ～80.
关键词：弧齿锥齿轮 数字化齿面 位置偏差 敏感性
中图分类号：TH132.4 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）03（c）-0120-06
Abstract： According to the space engagement theory， the TCA（tooth contact analysis）， with position warp， was simulated. Based on which， we analysis the influence of many position warp to the mesh ability of spiral bevel gears. After further image processing and comparison， we quantified the sensitivity of spiral bevel gears’ to position warp.
Key Words： Spiral Bevel Gear； Digital Tooth Flank； Position Warp； Sensitivity
随着设计制造水平的不断提高，弧齿锥齿轮以其承载能力强、传动平稳及噪音小等优点越来越广泛的被用作汽车、飞机、仪器仪表中的关键机械传动部件，但由于其齿面几何拓扑结构极为复杂，与之相应的误差理论和检验技术都远远落后于圆柱齿轮，目前，仍以滚检后的齿面啮合印痕情况作为配对使用的主要检验手段。
可齿面印痕只能反映部分啮合信息，加上传动误差才能更全面的反映弧齿锥齿轮的性能[1-2]，所以，全面的分析位置偏差对齿面印痕和传动误差的影响对实际生产中弧齿锥齿轮副的安装调整及零部件公差的确定都具有重要的指导意义。
本文依据空间啮合理论[3]，并参考文献[4]中的方法，分析了某对实际弧齿锥齿轮齿面的啮合性能随不同方向位置偏差（径向、轴向和轴交角）的变化而发生的改变；经过进一步的图象处理[5]和比较，量化的表示出它们相对无位置偏差时的偏离量，即全面且量化的反映了弧齿锥齿轮副对各种位置偏差的敏感性。
1 实际齿面的TCA
1.1 实际齿面的高精度表达
用三坐标测量机按一定的规律提取得到高精度的实际齿面点坐标后，参考文献[4]中方法，经过反复的插值计算就可得到高精度逼近真实齿面且二阶连续的双三次NURBS曲面，最大拟合误差不超过0.1μm，以此代替真实齿面，可将实际齿面表达成以下参数方程，即数字化齿面：
在给定齿面的弹性变形量时，又可求出每个接触点处瞬时接触椭圆的大小和方向[3]，这一系列的接触椭圆就构成了齿面接触印痕。
2 齿面啮合性能对安装误差的敏感性分析
某对弧齿锥齿轮的部分轮坯参数如表1所示，根据相应加工参数（从略）加工后，齿面误差分布如图2所示。
用三坐标测量机分别提取大小轮相应齿面点，拟合生成高精度的数字化齿面后，进行计算机仿真分析，并以不存在位置偏差的情况为基准进行对比，其中印痕比较时相对方向的定义为：相对基准向右（上）移为“正”，向左（下）移为“负”；印痕迹线夹角比较时，比基准的大为“正”，小为“负”。所有齿面印痕的左边为小端，右边为大端，上为齿顶方向，下为齿根方向。
2.1 径向位置偏差的影响
表2、表3分别是径向位置偏差对齿面接触印痕和传动误差的影响，从表中可知，随着径向偏差的由‘正’到‘负’，印痕位置也明显的由小端向大端移动，但印痕沿齿高方向及迹线夹角的变化都很小；传动误差曲线的对称性也随之变差，整体变化不大，但当径向偏差‘负’向较大时会引起传动误差曲线的严重不对称，从而引起振动与噪声。
所以，齿面印痕沿齿长方向的位置对径向位置偏差较敏感，而传动误差曲线的状况受其影响相对较小。
实际生产中，径向偏差是不允许调整的，它的大小主要由加工精度和装配精度决定，从表2、表3可知，在不明显改变传动误差曲线的对称性又不至于使印痕位置偏移过大的前提下，允许有一定的径向‘正’偏差，这为加工精度和装配精度的确定提出了一定的范围要求。
2.2 轴向位置偏差的影响
大、小轮轴向位置偏差对齿面印痕的影响分别如表4、表6所示，从表中可知大、小轮轴向位置偏差对印痕沿齿长方向位置的影响都很明显，且两者有一定的对称性，但印痕沿齿高方向及迹线夹角的变化都不大。所以，只需调整大或小轮的轴向位置偏差即可改变齿面印痕位置，调整时两者印痕偏移的方向相反。
表5、表7分别是大、小轮轴向位置偏差对齿面传动误差曲线的影响，它们也有一定的对称性，且都随着齿面印痕向大端的偏移而变得更加不对称，但小轮的轴向偏差的影响更明显。因此，在设计调整时应使齿面印痕分布在齿面中部略偏向小端。
实际生产中，齿面啮合印痕的位置调整主要是通过小轮的轴向位置调整来实现的，从表6可知，印痕沿齿长方向的位置对小轮的轴向偏差是很敏感的，所以调整量要适当，不然會引起印痕向小端或大端的急剧偏移，并伴随有传动误差曲线的严重不对称（见表7），这是齿轮传动中产生振动噪声的主要原因之一。
2.3 轴交角误差的影响
表8反映的是轴交角偏差对齿面印痕的影响，在表中给出的轴交角偏差范围内，齿面印痕沿齿长方向的相对偏移量并不大，且印痕沿齿高方向及接触迹线夹角的变化量都很小，若实际滚检实验所得齿面印痕如表8所示的任一个，都将很可能被认为是“合格”品。 表9对应的是同样的轴交角偏差所引起的传动误差曲线的变化，从表中可知，轻微的轴交角偏差都会造成传动误差曲线不对称性的剧烈变化，特别是轴交角出现‘负’偏差时的影响尤为严重。
所以，齿面印痕沿齿长方向的位置对轴交角偏差不敏感，但传动误差曲线对轴交角偏差的变化非常敏感。这也说明，单纯的以齿面印痕的状况来判断齿轮幅的性能是不全面的，尤其是不能反映齿面传动误差曲线的状况—— 齿轮传动重要的噪音源之一。
为了在保证弧齿锥齿轮传动部件的工艺性的基础上尽量减小轴交角偏差对传动误差的影响，以免在“合格”齿轮幅中出现大的振动与噪声，建议在给定大、小轮轴线垂直度的同时，增加两轴线在有轮齿啮合侧的夹角偏差限制。在设计时，如本文中所分析的那对齿轮的轴角交在原有垂直度的约束下可增加轴交公差带限制[-0.05°～ 0.1°]。
3 结语
（1）径向偏差对齿面印痕的位置影响较大，对传动误差曲线的影响相对较小。
（2）大、小轮的轴向偏差对齿面传动性能的影响都较明显，且有一定的对称性。实际生产中，小轮轴向位置的调整幅度要合适，以免引起较大的振动和噪声。
（3）齿面传动误差曲线对轴交角偏差非常敏感，在齿面印痕偏移不大的情况下就出现严重不对称，容易造成“合格”锥齿轮幅却有较大传动噪声的情况，建议在原有垂直度的基础上增加合适的锥齿轮传动部件的轴交角公差限制。
4）根据以上分析中齿面印痕向大端偏移所对应的传动误差曲线的变化都比向小端偏移更为剧烈的共性，实际调整时应使齿面印痕在齿面中部或略偏向小端。
本文的研究是在对某对实际弧齿锥齿轮幅齿面的数字化仿真分析的基础上进行的，对实际的设计与生产有一定的参考价值，但相关研究还有待大量实践的验证。
参考文献
[1] 方宗德，刘涛，邓效忠. 基于传动误差设计的弧齿锥齿轮啮合分析[J]. 航空学报， 2002，23（3）：226 ～230.
[2] Litvin F. L. Local synthesis and tooth contact analysis of face-milled spiral bevel gears[R]， NASA， CR4342， 1990：23 ～48.
[3] Litvin F. L. Gear geometry and applied theory [M]， Prentice Hall， N.J.，1994：160 ～257.
[4] 张军辉，方宗德，王成. 基于NURBS的弧齿锥齿轮真实齿面的數字化仿真[J]. 航空动力学报，2009 ，24（7）：1 ～5.
[5] 曹雪梅，高性能航空弧齿锥齿轮设计技术研究[D] . 西北工业大学博士论文，2008：78 ～80.