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摘要:高等数学能否学好,对学生各方面的影响包括心理上的影响都至关重要。极限概念作为高等数学引入的第一个又是较难的一个概念,处理得当,会对学生的高等数学学习起到事半功倍的作用。否则,会使多数学生失去对数学的兴趣,仅仅停留在被动掌握数学知识的层面上。本文将培养兴趣置于数学教学的首要地位,探讨了还原极限概念发展过程的历史,重视几何直观与运动观念,从而赋予极限概念以趣味性的教学方式。
关键词:极限;兴趣;教学
作者简介:周瑞芳(1970-),女,河南通许人,中原工学院理学院,讲师,理学硕士,主要研究方向:时间序列分析;高永良(1973-),男,河南固始人,中原工学院理学院,讲师,理学硕士,主要研究方向:教学理论研究。(河南 郑州 450007)
基金项目:本文系中原工学院教学改革项目(项目编号:200915)的研究成果。
数学,是科学的“王后”和“仆人”。[1]数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透。同时,数学作为一种文化,已成为人类文明进步的标志。一般来说,一个国家数学发展的水平与其科技发展水平息息相关。不重视数学,会成为制约生产力发展的瓶颈。所以,对工科学生来说,打好数学基础显得非常重要。
获得国际数学界终身成就奖——“沃尔夫”奖的我国数学大师,被国际数学界喻为“微分几何之父”的陈省身先生说“数学是好玩的”。简洁性、抽象性、完备性,是数学最优美的地方。然而,对大多数工科学生来讲,往往感觉“数学太难了!”。如此鲜明的对比,分析其原因,应该来自于数学的高度抽象性,将冗杂的应用背景剥离掉,将其应用空间尽可能地推广,再将一切漏洞补全,已将数学的核心部分引向高度抽象化的道路,这些都已成为学生喜欢数学的最大障碍。
我们认为,数学是简单的、自然的、易学的、有趣的。学生在学习过程中遇到的难点,也正是数学史上许许多多数学家曾经遇到过的难点。数学天才高斯要求他的学生黎曼研究数学时,要像建造大楼一样,完工后,拆除“脚手架”,这一思想,对后世数学界影响至深。拆除过“脚手架”的数学建筑,我们只能“欣赏”,只能“敬尔远之”。一名好的数学教师,在教学过程中,正是要还原这些“脚手架”,还原数学的“简单”,这是初级教学目标。华罗庚说:“高水平的教师总能把复杂的东西讲简单,把难的东西讲容易。反之,如果把简单的东西讲复杂了,把容易的东西讲难了,那就是低水平的表现。”[2]
极限概念是工科高等数学中出现的第一个概念,非常难理解,是微积分的难点之一,也是微积分的基础概念之一,微积分的连续、导数、积分、级数等基本概念都建立在此概念基础之上。虽然高中课改后,学生已对极限有了初步的认识,但对严格极限概念的接受、理解、掌握还是相当困难。一个好的开始,可以说是成功教学的一半,处理好极限概念,绝大部分学生就会喜欢上数学,我们认为培养兴趣应是教学工作中的第一要务。[3]相反,处理不好极限概念的教学,会使很多学生的数学水平停留在被动的,应付考试的级别上。齐民友教授对此现象有一个很生动的说法:在许多学校里,数学被教成一代传一代的固定不变的知识体系,而不问数学是何物。掌握一个科目就是彻底地掌握有关的基本事实[4]——正所谓舍本逐末,买椟还珠。
另一方面,高等数学是工科学生进入大学后的第一批重要基础课之一,学分较多,能否学好,对学生四年的大学学习会产生重要的心理影响。所以,极限概念的教学应引起大学数学教师的重视。
一、数学史上极限概念的出现
极限思想的出现由来已久。中国战国时期庄子(约前369年～前286年)的《天下篇》曾有“一尺之锤,日取其半,万世不竭”的名言;古希腊有芝诺(约公元前490～前425)的阿基里斯追龟悖论;古希腊的安蒂丰(约公元前480～前410)在讨论化圆为方的问题时用内接正多边形来逼近圆的面积等等,而这些只是哲学意义上的极限思想。此外古巴比伦和埃及,在确定面积和体积时用到了朴素的极限思想。数学上极限的应用,较之稍晚。公元263年,我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的 “割圆求周”的方法。这一时期,极限的观念是朴素和直观的,还没有摆脱几何形式的束缚。
1665年夏天,牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究过程中发现了他称为“流数术”的微积分。德国数学家莱布尼茨在1675年发现了微积分。在建立微积分的过程中,必然要涉及极限概念。但是,最初的极限概念是含糊不清的,并且在某些关键处常不能自圆其说。由于当时牛顿、莱布尼茨建立的微积分理论基础并不完善,以至在应用与发展微积分的同时,对它的基础的争论愈来愈多,这样的局面持续了一、二百年之久。最典型的争论便是:无穷小到底是什么?可以把它们当作零吗?
二、精确语言描述:ε-δ (叙述其简洁、严格之美)
现代意义上的极限概念,一般认为是魏尔斯特拉斯给出的。
在18世纪,法国数学家达朗贝尔(1717-1783)明确地将极限作为微积分的基本概念。在一些文章中,给出了极限较明确地定义,该定义是描述性的,通俗的,但已初步摆脱了几何、力学的直观原型。到了19世纪,数学家们开始进行微积分基础的重建,微积分中的重要概念,如极限、函数的连续性和级数的收敛性等都被重新考虑。1817年,捷克数学家波尔查诺(1781-1848)首先抛弃无穷小的概念,用极限观念给出导数和连续性的定义。函数的极限理论是由法国数学家柯西(1789-1857)初建,由德国数学家魏尔斯特拉斯(1815-1897)完成的。柯西使极限概念摆脱了长期以来的几何说明,提出了极限理论的ε-δ方法,把整个极限用不等式来刻画,引入“lim”等现在常用的极限符号。魏尔斯特拉斯继续完善极限概念,成功实现极限概念的代数化。[5]
微积分基础实现了严格化之后,各种争论才算结束。有了极限概念之后,无穷小量的问题便迎刃而解:无穷小是一个随自变量的变化而变化着的变量,极限值为零。
三、极限概念的教学
教学过程中应还原数学的历史发展过程,重视几何直观及运动的观念,多讲历史,少讲定义,以引发学生兴趣——学时如此之短,想讲清严格定义也是枉然,但是,也应适当做一些 ε-δ题目,体会个中滋味。
研究极限概念出现的数学史,我们发现,现代意义上精确极限概念的提出,经过了约两千五百年的时间。甚至微积分的主要思想确立之后,又经过漫长的一百五十多年,才有了现代意义下的极限概念。数学史上出现了先应用,再寻找理论基础的“尴尬”局面。极限概念的难于理解,由此可见一斑。
正因为如此,魏尔斯特拉斯给出极限的严格定义后,主流数学家们总算是“长出一口气”,从此以后,数学界以引入此严格极限定义“为荣”——总算可以理直气壮、毫无瑕疵地叙述极限概念了!我们注意到,极限概念的严格化进程中,以摒弃几何直观、运动背景为主要标志,是经过漫长的一百多年的努力才寻找到的方法。但教学经验表明,一开始就讲严格的ε-δ极限概念,往往置学生于迷雾之中,然后再讲用ε-δ语言证明函数的极限,基本上就将学生引入不知极限为何物的状况中。这种教学过程是一种不正常的情况,有些矫枉过正,在重视定义严格的前提下,拒学生于千里之外。
我们认为,在极限概念的教学过程中,首先应该还原数学史上极限概念的发展过程,[6-8]重视几何直观和运动的观念,先让学生对极限概念有一个良好的“第一印象”。我们认为,为获得一个具有“亲和力”而不是“拒人于千里之外”的极限概念,甚至可以暂时不惜以牺牲概念的严格化为代价,用不太确切的语言将极限思想描述出来。
另一方面,由于学时缩减,能安排给极限概念的教学时间有限。只要触及极限的严格化定义——ε-δ,学生就必然会有或多或少的迷惑和问题。我们认为在教学过程中,教师应该告诉学生“接纳”自己对极限概念的“不甚理解”、“理解不清”状态。如牛顿,莱布尼茨等伟大的数学家都有此“软肋”,并因此遭受长达近一、二百年之久的微积分反对派的尖锐批判。我们即便“犯下”一些错误,也是正常的,甚至也是几百年前某个伟大如牛顿、莱布尼茨这样的学者曾经“犯下”的错误。所以教师应引导学生不能妄自菲薄,要改变高中学习数学为应付高考的模式,不再务求“点点精通”,而是将学习重点放到微积分系统的建立上,消除高中数学学习模式的错误思维定势的影响。
用几何加运动方式,即点函数的观念描述的极限概念,直观、趣味性较强,另一方面,可以很方便地推广到下册多元函数极限的概念,为下册微积分推广到多元打下伏笔。多年来的教学经验表明,让学生对数学有自信、有兴趣,可以帮助学生学好数学。
四、极限概念对人生的启示
哲理都是相通的,数学的极限概念中也蕴含着深刻的哲理。它告诉我们,不要小看一点点改变,只要坚持,终会有巨大收获!学完极限概念,我们至少要教会学生明白一件事,就是做事一定要坚持,每天我们能前进很小很小的一步,最终会有很多收获。这是学极限概念收获的最高境界,也是作为一名教师“教书育人”的最高境界。
参考文献:
[1]叶其孝.数学:科学的王后和仆人[N].中国教育报,2002-11-29.
[2]徐利治.回忆我的老师华罗庚先生[J].数学通报,2000,(12).
[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报,2002,(5).
[4]齐民友.教学用的数学[J].数学通报,2004,(6).
[5]王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究,2001,
4(3).
[6]齐民友.从微积分的发展看微积分的教学[J].高等数学研究,
2003,l4(6).
[7]齐民友.数学的教育的改革要遵循数学科学的发展[J].数学通报,2006,49(9).
[8]齐民友.数学的教育的改革要遵循数学科学的发展(续)[J].数学通报,2006,49(9).
(责任编辑:苏宇嵬)
关键词:极限;兴趣;教学
作者简介:周瑞芳(1970-),女,河南通许人,中原工学院理学院,讲师,理学硕士,主要研究方向:时间序列分析;高永良(1973-),男,河南固始人,中原工学院理学院,讲师,理学硕士,主要研究方向:教学理论研究。(河南 郑州 450007)
基金项目:本文系中原工学院教学改革项目(项目编号:200915)的研究成果。
数学,是科学的“王后”和“仆人”。[1]数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透。同时,数学作为一种文化,已成为人类文明进步的标志。一般来说,一个国家数学发展的水平与其科技发展水平息息相关。不重视数学,会成为制约生产力发展的瓶颈。所以,对工科学生来说,打好数学基础显得非常重要。
获得国际数学界终身成就奖——“沃尔夫”奖的我国数学大师,被国际数学界喻为“微分几何之父”的陈省身先生说“数学是好玩的”。简洁性、抽象性、完备性,是数学最优美的地方。然而,对大多数工科学生来讲,往往感觉“数学太难了!”。如此鲜明的对比,分析其原因,应该来自于数学的高度抽象性,将冗杂的应用背景剥离掉,将其应用空间尽可能地推广,再将一切漏洞补全,已将数学的核心部分引向高度抽象化的道路,这些都已成为学生喜欢数学的最大障碍。
我们认为,数学是简单的、自然的、易学的、有趣的。学生在学习过程中遇到的难点,也正是数学史上许许多多数学家曾经遇到过的难点。数学天才高斯要求他的学生黎曼研究数学时,要像建造大楼一样,完工后,拆除“脚手架”,这一思想,对后世数学界影响至深。拆除过“脚手架”的数学建筑,我们只能“欣赏”,只能“敬尔远之”。一名好的数学教师,在教学过程中,正是要还原这些“脚手架”,还原数学的“简单”,这是初级教学目标。华罗庚说:“高水平的教师总能把复杂的东西讲简单,把难的东西讲容易。反之,如果把简单的东西讲复杂了,把容易的东西讲难了,那就是低水平的表现。”[2]
极限概念是工科高等数学中出现的第一个概念,非常难理解,是微积分的难点之一,也是微积分的基础概念之一,微积分的连续、导数、积分、级数等基本概念都建立在此概念基础之上。虽然高中课改后,学生已对极限有了初步的认识,但对严格极限概念的接受、理解、掌握还是相当困难。一个好的开始,可以说是成功教学的一半,处理好极限概念,绝大部分学生就会喜欢上数学,我们认为培养兴趣应是教学工作中的第一要务。[3]相反,处理不好极限概念的教学,会使很多学生的数学水平停留在被动的,应付考试的级别上。齐民友教授对此现象有一个很生动的说法:在许多学校里,数学被教成一代传一代的固定不变的知识体系,而不问数学是何物。掌握一个科目就是彻底地掌握有关的基本事实[4]——正所谓舍本逐末,买椟还珠。
另一方面,高等数学是工科学生进入大学后的第一批重要基础课之一,学分较多,能否学好,对学生四年的大学学习会产生重要的心理影响。所以,极限概念的教学应引起大学数学教师的重视。
一、数学史上极限概念的出现
极限思想的出现由来已久。中国战国时期庄子(约前369年～前286年)的《天下篇》曾有“一尺之锤,日取其半,万世不竭”的名言;古希腊有芝诺(约公元前490～前425)的阿基里斯追龟悖论;古希腊的安蒂丰(约公元前480～前410)在讨论化圆为方的问题时用内接正多边形来逼近圆的面积等等,而这些只是哲学意义上的极限思想。此外古巴比伦和埃及,在确定面积和体积时用到了朴素的极限思想。数学上极限的应用,较之稍晚。公元263年,我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的 “割圆求周”的方法。这一时期,极限的观念是朴素和直观的,还没有摆脱几何形式的束缚。
1665年夏天,牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究过程中发现了他称为“流数术”的微积分。德国数学家莱布尼茨在1675年发现了微积分。在建立微积分的过程中,必然要涉及极限概念。但是,最初的极限概念是含糊不清的,并且在某些关键处常不能自圆其说。由于当时牛顿、莱布尼茨建立的微积分理论基础并不完善,以至在应用与发展微积分的同时,对它的基础的争论愈来愈多,这样的局面持续了一、二百年之久。最典型的争论便是:无穷小到底是什么?可以把它们当作零吗?
二、精确语言描述:ε-δ (叙述其简洁、严格之美)
现代意义上的极限概念,一般认为是魏尔斯特拉斯给出的。
在18世纪,法国数学家达朗贝尔(1717-1783)明确地将极限作为微积分的基本概念。在一些文章中,给出了极限较明确地定义,该定义是描述性的,通俗的,但已初步摆脱了几何、力学的直观原型。到了19世纪,数学家们开始进行微积分基础的重建,微积分中的重要概念,如极限、函数的连续性和级数的收敛性等都被重新考虑。1817年,捷克数学家波尔查诺(1781-1848)首先抛弃无穷小的概念,用极限观念给出导数和连续性的定义。函数的极限理论是由法国数学家柯西(1789-1857)初建,由德国数学家魏尔斯特拉斯(1815-1897)完成的。柯西使极限概念摆脱了长期以来的几何说明,提出了极限理论的ε-δ方法,把整个极限用不等式来刻画,引入“lim”等现在常用的极限符号。魏尔斯特拉斯继续完善极限概念,成功实现极限概念的代数化。[5]
微积分基础实现了严格化之后,各种争论才算结束。有了极限概念之后,无穷小量的问题便迎刃而解:无穷小是一个随自变量的变化而变化着的变量,极限值为零。
三、极限概念的教学
教学过程中应还原数学的历史发展过程,重视几何直观及运动的观念,多讲历史,少讲定义,以引发学生兴趣——学时如此之短,想讲清严格定义也是枉然,但是,也应适当做一些 ε-δ题目,体会个中滋味。
研究极限概念出现的数学史,我们发现,现代意义上精确极限概念的提出,经过了约两千五百年的时间。甚至微积分的主要思想确立之后,又经过漫长的一百五十多年,才有了现代意义下的极限概念。数学史上出现了先应用,再寻找理论基础的“尴尬”局面。极限概念的难于理解,由此可见一斑。
正因为如此,魏尔斯特拉斯给出极限的严格定义后,主流数学家们总算是“长出一口气”,从此以后,数学界以引入此严格极限定义“为荣”——总算可以理直气壮、毫无瑕疵地叙述极限概念了!我们注意到,极限概念的严格化进程中,以摒弃几何直观、运动背景为主要标志,是经过漫长的一百多年的努力才寻找到的方法。但教学经验表明,一开始就讲严格的ε-δ极限概念,往往置学生于迷雾之中,然后再讲用ε-δ语言证明函数的极限,基本上就将学生引入不知极限为何物的状况中。这种教学过程是一种不正常的情况,有些矫枉过正,在重视定义严格的前提下,拒学生于千里之外。
我们认为,在极限概念的教学过程中,首先应该还原数学史上极限概念的发展过程,[6-8]重视几何直观和运动的观念,先让学生对极限概念有一个良好的“第一印象”。我们认为,为获得一个具有“亲和力”而不是“拒人于千里之外”的极限概念,甚至可以暂时不惜以牺牲概念的严格化为代价,用不太确切的语言将极限思想描述出来。
另一方面,由于学时缩减,能安排给极限概念的教学时间有限。只要触及极限的严格化定义——ε-δ,学生就必然会有或多或少的迷惑和问题。我们认为在教学过程中,教师应该告诉学生“接纳”自己对极限概念的“不甚理解”、“理解不清”状态。如牛顿,莱布尼茨等伟大的数学家都有此“软肋”,并因此遭受长达近一、二百年之久的微积分反对派的尖锐批判。我们即便“犯下”一些错误,也是正常的,甚至也是几百年前某个伟大如牛顿、莱布尼茨这样的学者曾经“犯下”的错误。所以教师应引导学生不能妄自菲薄,要改变高中学习数学为应付高考的模式,不再务求“点点精通”,而是将学习重点放到微积分系统的建立上,消除高中数学学习模式的错误思维定势的影响。
用几何加运动方式,即点函数的观念描述的极限概念,直观、趣味性较强,另一方面,可以很方便地推广到下册多元函数极限的概念,为下册微积分推广到多元打下伏笔。多年来的教学经验表明,让学生对数学有自信、有兴趣,可以帮助学生学好数学。
四、极限概念对人生的启示
哲理都是相通的,数学的极限概念中也蕴含着深刻的哲理。它告诉我们,不要小看一点点改变,只要坚持,终会有巨大收获!学完极限概念,我们至少要教会学生明白一件事,就是做事一定要坚持,每天我们能前进很小很小的一步,最终会有很多收获。这是学极限概念收获的最高境界,也是作为一名教师“教书育人”的最高境界。
参考文献:
[1]叶其孝.数学:科学的王后和仆人[N].中国教育报,2002-11-29.
[2]徐利治.回忆我的老师华罗庚先生[J].数学通报,2000,(12).
[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报,2002,(5).
[4]齐民友.教学用的数学[J].数学通报,2004,(6).
[5]王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究,2001,
4(3).
[6]齐民友.从微积分的发展看微积分的教学[J].高等数学研究,
2003,l4(6).
[7]齐民友.数学的教育的改革要遵循数学科学的发展[J].数学通报,2006,49(9).
[8]齐民友.数学的教育的改革要遵循数学科学的发展(续)[J].数学通报,2006,49(9).
(责任编辑:苏宇嵬)