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《概率论与数理统计》,是目前高校理工科专业及部分文科专业开设的一门数学公共基础课。教师应重视在教学中向学生传递数学建模思想、逆事件、图表法等解题思维,帮助学生拓展解题思路,掌握数学解题技巧,提高分析与思考数学难题的能力。
数学难题分析思考一、前言
在当前高等教育数学学科公共基础科目中,《高等代数》《微积分》《线性代数》等均属于研究确定性现象的数学分支,唯独《概率论与数理统计》研究的领域是随机现象。因此,《概率论与数理统计》的教学也应当与其他数学课程有所区别,不单单是要讲授概率统计的相关知识点,更重要的是要向学生传递一种数学思维方式,将概率论纵横交错的逻辑架构清晰地展现在学生眼前,使其眼前“豁然开朗”,感受到“境界的升华”,进而有效地解决数学难题。
二、概率统计课程教学中的数学难题分析要重视学生数学思维的培养
概率论课程从学生高中时就有所接触,那为什么学生们在大学阶段更进一步地深入学习《概率论与数理统计》时,却频频出现学习障碍呢?其中很重要的一点问题,就在于学生在学习课程知识点时,缺乏有意识的思维训练,所掌握的仅仅是零散的知识,未能从整体上把握该课程常需要应用到的数学解题技巧,不利于学生整体上的理解,以致在解题时频频失误。对此,笔者认为,在概率统计教学时,不仅要强调对学生严谨推导问题的归纳能力的培养,也要将归纳和演绎思维的训练纳入教学目标内,要综合运用多种教学手段培养学生的数学思维,使学生的数学应用能力得到本质上的提高。
三、结合概念实际背景融入数学建模思想,解决数学难题
1.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的可行性
总体来看,概率统计教材中所涉及的随机数学问题大致可分为4大类:(1)随机事件与概率;(2)随机变量及其函数的概率分布;(3)大数定律和中心极限定理;(4)随机变量的数字特征等。教师要深入钻研教材,结合相关实例来讲解概率论与数理统计的基本理论,使其确立数学建模的思维理念,引导学生通过“再思维”来展现数学“活生生”的创造活动,逐渐深化对相关知识的理解,进而提高分析问题和解决问题的能力。
2.数学建模解决数学难题的实例分析
教师应当合理地利用教学案例来进行数学难题的讲解,并以此培养学生运用数学建模思想解题的意识。以报刊亭的收益问题为例:
例题:报刊亭每天清晨从报站批发报纸零售,晚上将未卖完的报纸退回。每份报纸零售价a元,批发价b元,回收价c元,且a>b>c,则报刊亭每售出一份报纸可赚取a-b元,退回一份会赔b-c元,问如何确定每天批发报纸的数量,才能获得最大收益。
分析:很明显,求解批发量需要根据需求量来确定,也就是说,报纸的需求量为随机变量,设报刊亭每天报纸的需求量为X=x份,批发量为n份,其概率为P(x)。而需求量x是随机的,因此报刊亭的收益也是随机的,作为优化模型的目标函数,报刊亭每天获取的最大收益应考虑到其长期(半年、一年等)的日平均收入即其期望值(以下简称为平均收入)。
由此,假设报刊亭每日批发n份报纸,日均收入为S(n),若x≤n,则表示当前报刊亭售出报纸x份,退回n-x份;若x>n,则表示报纸完全售出。因此,平均收入,建立数学模型后,只需了解到需求量为x的概率P(x)、a、b、c的具体值,就可以求取S(x)max。
在此基础上,教师还可以进一步提出问题:如模型中需求量x、批发量n取值较大,将x视为连续变量时应如何求解?学生们综合以上模型及所学连续型随机变量概念,将概率P(x)转化为概率密度函数f(x),并套用模型S(x)可得:
进而得出结论:批发量n满足条件
时报刊亭日均收入最高,因为
因此又可以转化为,即每份报纸赚钱与赔钱之比越高时,批发报纸分数也越多。同样的,指导学生运用离散型随机变量概念解题也可以得出相同结论。
通过报刊亭收益问题建立的数学模型,还可以大量引用到其他不同的现实问题中,这对于锻炼学生的思维灵活性及解决数学难题都有着很好的帮助。
四、巧用“逆事件”,解决数学难题
求解古典概率问题时一般会涉及到基本事件总数、有利事件数等,从正面探求这些问题往往不易解决,且学生在复杂的计算中稍不留神,就会陷入到思维陷阱中,脑中一团乱麻,解题就更加麻烦了。对此,教师应当在教学中指导学生熟练应用“逆事件”解题,从问题的反面逆向思维上寻求解决数学难题的方案。以下题为例:
例题:已知4个人在旅社住宿,每个人都等可能地被分配到5个房间中的任一间去住,问:事件A={4人各住一房}的概率,事件B={至少有2人同住一房}的概率?
按照一般的解题思路,首先需要求解A、B事件的有利事件数和基本事件总数,如事件A包含的有利事件数为P54,;事件B也同样如此,。如果问题中住宿人数或房间数进一步增加,计算也会变得更加繁琐,甚至出现遗漏或重复计算等情况。在此情况下,运用逆事件求解就简单多了。如事件B的发生概率可由定理P(A)=1-P(A)推导得出,P(B)=P(A)=1-P(A)=1-0.192=0.808。同样的,将住宿人数、房间数放大,设已知n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间去住,且n≤N,求A、B事件的概率。在此问题中,可以简单地计算出基本事件总数Nn,进而得出事件A的有利事件数PNn,得出结果,。其他的常见数学题如“生日问题”“电梯问题”,U检验法、X2检验法进行的假设检验中临界值的确定,也可以借鉴“逆事件”来解决,此处不再一一赘述。
五、结语
所谓“通达善变”,“通”是数学学习的基础,是基本保证,立足通法,才能准确地应用各种解题技巧,才能发展可靠的逻辑思维和发散思维,生出巧法。在大学数学公共基础课程的教学过程中,教师应当客观准确地把握学生的数学能力状况,在课堂教学中融入多种解题技巧教学,帮助学生拓展解题思路,提高其分析难题与解决难题的能力,以更好更深入地学习数学知识。
参考文献:
[1]教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组.数学学科专业发展战略研究报告[J].中国大学教学,2005,(3).
[2]徐海静,何立官.矩阵思想在《线性代数》教学中的应用[J].西南师范大学学报(自然科学版),2012,(5).
[3]李毛亲.矩阵乘积的精彩——贯穿于《线性代数》始终的矩阵乘积的教学方法探讨[J].台州学院学报,2012,(3).
[4]邬学军,唐明.线性代数是蓝色的——大学非数学专业《线性代数》的课程设计[J].大学数学,2008,(6).
数学难题分析思考一、前言
在当前高等教育数学学科公共基础科目中,《高等代数》《微积分》《线性代数》等均属于研究确定性现象的数学分支,唯独《概率论与数理统计》研究的领域是随机现象。因此,《概率论与数理统计》的教学也应当与其他数学课程有所区别,不单单是要讲授概率统计的相关知识点,更重要的是要向学生传递一种数学思维方式,将概率论纵横交错的逻辑架构清晰地展现在学生眼前,使其眼前“豁然开朗”,感受到“境界的升华”,进而有效地解决数学难题。
二、概率统计课程教学中的数学难题分析要重视学生数学思维的培养
概率论课程从学生高中时就有所接触,那为什么学生们在大学阶段更进一步地深入学习《概率论与数理统计》时,却频频出现学习障碍呢?其中很重要的一点问题,就在于学生在学习课程知识点时,缺乏有意识的思维训练,所掌握的仅仅是零散的知识,未能从整体上把握该课程常需要应用到的数学解题技巧,不利于学生整体上的理解,以致在解题时频频失误。对此,笔者认为,在概率统计教学时,不仅要强调对学生严谨推导问题的归纳能力的培养,也要将归纳和演绎思维的训练纳入教学目标内,要综合运用多种教学手段培养学生的数学思维,使学生的数学应用能力得到本质上的提高。
三、结合概念实际背景融入数学建模思想,解决数学难题
1.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的可行性
总体来看,概率统计教材中所涉及的随机数学问题大致可分为4大类:(1)随机事件与概率;(2)随机变量及其函数的概率分布;(3)大数定律和中心极限定理;(4)随机变量的数字特征等。教师要深入钻研教材,结合相关实例来讲解概率论与数理统计的基本理论,使其确立数学建模的思维理念,引导学生通过“再思维”来展现数学“活生生”的创造活动,逐渐深化对相关知识的理解,进而提高分析问题和解决问题的能力。
2.数学建模解决数学难题的实例分析
教师应当合理地利用教学案例来进行数学难题的讲解,并以此培养学生运用数学建模思想解题的意识。以报刊亭的收益问题为例:
例题:报刊亭每天清晨从报站批发报纸零售,晚上将未卖完的报纸退回。每份报纸零售价a元,批发价b元,回收价c元,且a>b>c,则报刊亭每售出一份报纸可赚取a-b元,退回一份会赔b-c元,问如何确定每天批发报纸的数量,才能获得最大收益。
分析:很明显,求解批发量需要根据需求量来确定,也就是说,报纸的需求量为随机变量,设报刊亭每天报纸的需求量为X=x份,批发量为n份,其概率为P(x)。而需求量x是随机的,因此报刊亭的收益也是随机的,作为优化模型的目标函数,报刊亭每天获取的最大收益应考虑到其长期(半年、一年等)的日平均收入即其期望值(以下简称为平均收入)。
由此,假设报刊亭每日批发n份报纸,日均收入为S(n),若x≤n,则表示当前报刊亭售出报纸x份,退回n-x份;若x>n,则表示报纸完全售出。因此,平均收入,建立数学模型后,只需了解到需求量为x的概率P(x)、a、b、c的具体值,就可以求取S(x)max。
在此基础上,教师还可以进一步提出问题:如模型中需求量x、批发量n取值较大,将x视为连续变量时应如何求解?学生们综合以上模型及所学连续型随机变量概念,将概率P(x)转化为概率密度函数f(x),并套用模型S(x)可得:
进而得出结论:批发量n满足条件
时报刊亭日均收入最高,因为
因此又可以转化为,即每份报纸赚钱与赔钱之比越高时,批发报纸分数也越多。同样的,指导学生运用离散型随机变量概念解题也可以得出相同结论。
通过报刊亭收益问题建立的数学模型,还可以大量引用到其他不同的现实问题中,这对于锻炼学生的思维灵活性及解决数学难题都有着很好的帮助。
四、巧用“逆事件”,解决数学难题
求解古典概率问题时一般会涉及到基本事件总数、有利事件数等,从正面探求这些问题往往不易解决,且学生在复杂的计算中稍不留神,就会陷入到思维陷阱中,脑中一团乱麻,解题就更加麻烦了。对此,教师应当在教学中指导学生熟练应用“逆事件”解题,从问题的反面逆向思维上寻求解决数学难题的方案。以下题为例:
例题:已知4个人在旅社住宿,每个人都等可能地被分配到5个房间中的任一间去住,问:事件A={4人各住一房}的概率,事件B={至少有2人同住一房}的概率?
按照一般的解题思路,首先需要求解A、B事件的有利事件数和基本事件总数,如事件A包含的有利事件数为P54,;事件B也同样如此,。如果问题中住宿人数或房间数进一步增加,计算也会变得更加繁琐,甚至出现遗漏或重复计算等情况。在此情况下,运用逆事件求解就简单多了。如事件B的发生概率可由定理P(A)=1-P(A)推导得出,P(B)=P(A)=1-P(A)=1-0.192=0.808。同样的,将住宿人数、房间数放大,设已知n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间去住,且n≤N,求A、B事件的概率。在此问题中,可以简单地计算出基本事件总数Nn,进而得出事件A的有利事件数PNn,得出结果,。其他的常见数学题如“生日问题”“电梯问题”,U检验法、X2检验法进行的假设检验中临界值的确定,也可以借鉴“逆事件”来解决,此处不再一一赘述。
五、结语
所谓“通达善变”,“通”是数学学习的基础,是基本保证,立足通法,才能准确地应用各种解题技巧,才能发展可靠的逻辑思维和发散思维,生出巧法。在大学数学公共基础课程的教学过程中,教师应当客观准确地把握学生的数学能力状况,在课堂教学中融入多种解题技巧教学,帮助学生拓展解题思路,提高其分析难题与解决难题的能力,以更好更深入地学习数学知识。
参考文献:
[1]教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组.数学学科专业发展战略研究报告[J].中国大学教学,2005,(3).
[2]徐海静,何立官.矩阵思想在《线性代数》教学中的应用[J].西南师范大学学报(自然科学版),2012,(5).
[3]李毛亲.矩阵乘积的精彩——贯穿于《线性代数》始终的矩阵乘积的教学方法探讨[J].台州学院学报,2012,(3).
[4]邬学军,唐明.线性代数是蓝色的——大学非数学专业《线性代数》的课程设计[J].大学数学,2008,(6).