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摘要： 托圆球雕塑在支撑期间，因圆球载荷的作用下受到剪切应力和拉伸应力，支撑梁可能会产生变形以及发生断裂。本文从材料力学的基本原理和解决问题的基本思路出发，通过研究端部托球雕塑的受力关系，根据材料力学能量法原理确定自由端的位移，建立了符合实际情况的半圆拱梁弯曲数学模型，忽略轴向变形和剪切变形，确定固定端位置的弯矩值、最大拉应力值、最大压应力值。并在此基础上对端部受集中力半圆拱梁弯曲进行了计算机仿真分析，通过计算与仿真效果，以及施工材料的品质和节约，为雕塑装置的合理设计提供一定的安全余量参数。
关键词：能量法；曲梁受力；计算机仿真
中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）31-0224-04
Abstract： During the support， the support beam may undergo deformation and fracture due to the shear stress and the tensile stress due to the ball load. Based on the basic principle of material mechanics and the basic idea of solving the problem， the displacement of the free end is determined by the principle of mechanics energy method. The mathematical model of semicircular arch beam bending is established according to the actual situation. ， Neglecting the axial deformation and shear deformation， to determine the fixed end position of the bending moment， the maximum tensile stress value， the maximum compressive stress value. Based on this， the computer simulation of the bending of the semicircular arch beam with the concentrated force is carried out. The safety margin parameters are provided for the rational design of the sculpture device through the calculation and simulation results as well as the quality and conservation of the construction material.
Key words： energy method， the stress of curved beam， computer simulation
1 引言
隨着城市建设的发展，美化建筑日益增多，设计的合理和安全问题也引起人们的关注。在某工厂大门有一标志性建筑，用悬臂的1/4圆弧段曲梁端部托一圆球形模型标志，圆球的重量集中于端点，其内半径ri =4000.5rnm，外半径r0 =4030.8mm，厚度h=11.16mm，所对应的圆心角为90°的圆弧形曲梁，在下端固定，上端作用有一直径1000mm的不锈空心钢球，其集中剪力F=488.29N（如图1所示）。
已知材料的弹性模量E=207GPa，泊松比μ=0.3。本文将分别利用材料力学中弯曲杆的能量法、ANSYS分析软件的耦合场固体单元SOLID5和四面体耦合场实体单元SOLID98，确定自由端的挠度和固定端的最大拉应力和压应力。
2 计算半圆拱梁弯曲的应力
（1）用能量法确定自由端的位移
3 端部托圆球半圆拱梁弯曲的仿真模型
应用计算机仿真技术来求解端部托圆球的半圆拱梁弯曲问题，它可以避免一般研究方法由于难于考虑各种因素相互间的动态影响，使研究结果与实际情况相距甚远的缺点，更接近与真实实验结果。
仿真就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系统进行实验和研究。本文就端部托圆球的半圆拱梁弯曲问题建立计算机仿真模型，且应用三维耦合场固体单元SOLID5和四面体耦合场实体单元SOLID98进行求解。由此对比理论计算与仿真实验的结果，为本问题提供分析依据。
SOLID5具有3维磁场、温度场、电场、压电场和结构场之间有限耦合的功能。SOLID5由8个节点定义，每个节点有6个自由度。在静态磁场分析中，可以使用标量势公式。在结构和压电分析中，SOLID5有大变形的应力刚化功能。图2是SOLID5单元的示意图。
SOLID98是一种10节点的四面体单元，它是8节点SOLID5的高阶单元。SOLID98单元存在二次位移形函数，适合建立不规则的网格模型（比如由各种CAD/CAM系统生成的网格模型）。
SOLID98单元由10个节点定义，每个节点有6个自由度。单元具有三维的磁场、温度场、电场、压电场及结构场功能与SOLID45单元中所描述的类似。图3是SOLID98单元的示意图。
对于四面体单元，自由端的节点设置为耦合节点，并将荷载直接施加在耦合节点上。下面给出利用SOLID5和SOLID98完成曲梁分析模型（见图5所示）的主要步骤。
（1）定义工程选项、分析类型、单元类型和材料参数 用分析类型定义命令“ANTYPE，STATIC"定义分析类型为静力分析。用单元类型定义命令ET定义第1类单元为6面体三维固体耦合单元SOLID5，用参数2表示使用线位移自由度。
用材料参数定义命令MP定义第1类材料的弹性模量207、泊松比0.3。
（2）在柱坐标系定义关键点、线和体，优化模型
为方便于建立圆弧形曲梁，用CSYS将当前坐标系切换为柱坐标系。用关键点定义命令K在内半径坐标（4000.5rnm， 0 ）定义第1个关键点，在外半径坐标（4030.8mm， 0 ）定义第2个关键点。用节点生成命令KGEN循环2次，按照1号节点到2号节点增量为1的节点范围，Z坐标增量11.16mm，生成前面的节点3和4。再用KGEN循环2次，按照1号节点到4号节点增量为1的节点范围，Y坐标增量90度，生成自由端的4个节点。
使用线定义命令L过1和5号关键点定义线。用线单元尺寸定义命令LESIZE指定1号线的单元剖分段数为20。用体定义命令V过关键点1、2、4、3、5、6、8、7定义体，用单元尺寸定义命令ESIZE指定单元剖分段数为1。建立的计算机仿真模型见图3所示。
为显示直观起见的模型，用/VIEW切换1号窗口的视点到等轴测方向，并用/Device命令打开图形矢量显示开关，可以更清晰地显示网格模型。用体单元网格剖分命令VMESH对1号体执行体单元剖分，得到有限元模型。
4 计算机仿真处理
应用三维耦合场固体单元SOLID5进行求解。
（1）選择节点，施加位移约束和荷载
用节点选择命令NSEL选择位于Y=0°位置固定端节点，用位移约束命令D位移约束所有选择集中节点的所有自由度，即固定端节点被固定。用NSEL选择所有节点。
用荷载定义命令FK给5号关键点施加沿着Y方向的集中力，大小为122.07N，用重复执行命令REPEAT循环4次执行前面施加集中力的命令，每次节点号码增量1。用NOORDER按原始单元次序，对单元排序。
（2）进入求解模块计算，并定义求解完成后处理的宏程序
计算以上定义的求解模型，用宏定义命令CREATE定义完成后处理的宏程序MAC。.
执行/POSTl命令进入一般后处理模块。用CSYS命令切换当前坐标系为直角坐标系。用节点选择命令NSEL选择X=0到X=0.01范围内的节点，忽略坐标正负号。用节点结果显示命令PRNSOL列表显示节点位移值。
用荷载工况定义命令LCDEF按照第1荷载步，定义第1种荷载工况。用荷载工况缩放因子LCFACT给第1荷载工况定义荷载缩放因子（1/4.637）。用读入荷载工况命令LCASE将第1荷载工况计算结果读入到数据库。用PRNSOL列表显示节点位移值，用FINISH退出后处理模块，用END命令表示宏程序定义结束。
（3）提取自由端位移计算结果，保存到文件
用/POST1进入一般后处理模块。用结果提取命令GET提取自由端的5号节点Y方向的位移计算结果UY，并保存到变量Ul。以待以后可查看保存在内存变量中的计算结果。
用显示结果命令图形显示节点环向应力，如图6所示。从图中可以看出，最大环向拉应力-1120.031MPa出现在固定端的内侧，最大环向压应力1116.101MPa出现在固定端外侧。
将所有模型信息及其计算结果保存数据到数据库，用执行宏后处理宏程序MAC。
5 半圆拱曲梁的高阶仿真
应用四面体藕合场单元SOLID98进行求解
（1）采用和前面相似的步骤，重新开始用SOLID98单元进行分析
重新用单元类型定义命令ET定义第1类单元为四面体耦合场单元SOLID98，用参数1表示只使用线位移自由度UX、UY和UZ。
（2）进入求解模块开始求解，并使用前面的宏程序进行相应的后处理
选择自由端节点，提取位移计算结果。用/POST1进入一般后处理模块，然后执行后处理宏程序MAC。选择距离（0，109.7mm， 0 ）位置最近的节点，用GET命令提取节点的Y方向位移UY，并保存到变量UY3。用SET给U3变量赋值。用列表显示变量参数的值，用以观察保存在变量中的结果，并将模型数据和计算结果保存到数据库中。
用节点结果图形显示命令PLNSOL图形显示节点环向应力，以及显示计算出的挠度。如图6显示SOLID98单元计算出的节点环向应力和挠度。从图中可以看出，最大的环向拉应力1116.637MPa出现在固定端的内侧，最大的环向压应力-1120.034MPa出现在固定端的外侧。
6 求解结果和讨论
利用ANSYS程序计算出了端部托圆球半圆拱曲梁的平面弯曲的最大挠度和最大应力，如表1所示。
从位移结果看，与仿真结果的精确解相比，材料力学的解答是近似的。自由端挠度的误差值为0.98～0.99%，从内侧的最大拉应力和外侧的最大压应力看，SOLID5和solid98单元计算的结果也比较接近理论计算值，最大弯曲拉应力的误差和最大弯曲压应力的误差分别为-2.3%和2.9%。
从这些误差可以看出，材料力学和仿真结果的精确解差别不大。特别是弯曲变形的误差要远远小于应力的误差。由计算得出该雕塑符合安全要求。
另外，通过对实际工程设计及施工的反馈与分析体会到：
半圆拱曲梁的节点环向应力变化与梁体钢结构温度条件有着重要关系。尤其在高温条件下变化比较大，节点环向应力增幅较大。
半圆拱曲梁的仿真环向应力与曲梁材料有密切关系。低线胀系数、低弹模高强度的梁材料将产生较好的应力条件。
7 结论
本文根据材料力学能量法原理确定自由端的位移，建立了符合实际情况的端部受集中力半圆拱梁弯曲的数学模型，忽略轴向变形和剪切变形，确定固定端位置的弯矩值、固定端应力的最大拉应力值、固定端应力的最大压应力值。并在此基础上对端部受集中力半圆拱梁弯曲进行了仿真，根据仿真效果，所建立的数学模型正确，参数符合建筑安全要求范围（但建议增大曲梁的半径差，使得挠度值更小），这些为端部托圆球的半圆拱梁弯曲雕塑等后续施工与建设奠定了基础。
通过实际的施工中反馈得到，半圆拱曲梁应力的会发生某些变化，存在某些影响因素。而影响曲梁应力变化的各种因素之间，并不存在固定的线性关系。每一种因素变化给半圆拱曲梁体应力场所带来的变化方式也并不相似，其合成效果很可能会相互抵消掉。因此，正确地估算半圆拱曲梁的环向应力，只有通过实际的仿真计算。
参考文献：
[1] 曹天捷. 均布载荷下变形受约束悬臂梁弹性大变形分析[J]. 中国民航大学学报，2009（5） .
[2] 西安交大. 材料力学[M]. 北京： 人民教育出版社，2001.
[3] 杨东全，蒲文国. 梁和框架结构的大变形非线性分析[J]. 山西建筑，2011（21） .
[4] K. H. Lien，Y. J. Chiou，P. A. Hsiao. 受火钢结构非线性性能的向量式有限元分析[J]. 钢结构，2010（2） .
[5] 郭阳明，汪一鸣，韩燕. 悬臂梁大变形的新型优化方法[J]. 江西科学，2010（4） .
[6] 夏云. 基于ANSYS的矩形截面等强度悬臂梁的设计[J]. 中国西部科技，2010（23） .
[7] 沈海宁，杨亚平. 基于ANSYS不同截面悬臂梁性能的有限元分析[J]. 青海大学学报：自然科学版，2009（3）.
关键词：能量法；曲梁受力；计算机仿真
中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）31-0224-04
Abstract： During the support， the support beam may undergo deformation and fracture due to the shear stress and the tensile stress due to the ball load. Based on the basic principle of material mechanics and the basic idea of solving the problem， the displacement of the free end is determined by the principle of mechanics energy method. The mathematical model of semicircular arch beam bending is established according to the actual situation. ， Neglecting the axial deformation and shear deformation， to determine the fixed end position of the bending moment， the maximum tensile stress value， the maximum compressive stress value. Based on this， the computer simulation of the bending of the semicircular arch beam with the concentrated force is carried out. The safety margin parameters are provided for the rational design of the sculpture device through the calculation and simulation results as well as the quality and conservation of the construction material.
Key words： energy method， the stress of curved beam， computer simulation
1 引言
隨着城市建设的发展，美化建筑日益增多，设计的合理和安全问题也引起人们的关注。在某工厂大门有一标志性建筑，用悬臂的1/4圆弧段曲梁端部托一圆球形模型标志，圆球的重量集中于端点，其内半径ri =4000.5rnm，外半径r0 =4030.8mm，厚度h=11.16mm，所对应的圆心角为90°的圆弧形曲梁，在下端固定，上端作用有一直径1000mm的不锈空心钢球，其集中剪力F=488.29N（如图1所示）。
已知材料的弹性模量E=207GPa，泊松比μ=0.3。本文将分别利用材料力学中弯曲杆的能量法、ANSYS分析软件的耦合场固体单元SOLID5和四面体耦合场实体单元SOLID98，确定自由端的挠度和固定端的最大拉应力和压应力。
2 计算半圆拱梁弯曲的应力
（1）用能量法确定自由端的位移
3 端部托圆球半圆拱梁弯曲的仿真模型
应用计算机仿真技术来求解端部托圆球的半圆拱梁弯曲问题，它可以避免一般研究方法由于难于考虑各种因素相互间的动态影响，使研究结果与实际情况相距甚远的缺点，更接近与真实实验结果。
仿真就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系统进行实验和研究。本文就端部托圆球的半圆拱梁弯曲问题建立计算机仿真模型，且应用三维耦合场固体单元SOLID5和四面体耦合场实体单元SOLID98进行求解。由此对比理论计算与仿真实验的结果，为本问题提供分析依据。
SOLID5具有3维磁场、温度场、电场、压电场和结构场之间有限耦合的功能。SOLID5由8个节点定义，每个节点有6个自由度。在静态磁场分析中，可以使用标量势公式。在结构和压电分析中，SOLID5有大变形的应力刚化功能。图2是SOLID5单元的示意图。
SOLID98是一种10节点的四面体单元，它是8节点SOLID5的高阶单元。SOLID98单元存在二次位移形函数，适合建立不规则的网格模型（比如由各种CAD/CAM系统生成的网格模型）。
SOLID98单元由10个节点定义，每个节点有6个自由度。单元具有三维的磁场、温度场、电场、压电场及结构场功能与SOLID45单元中所描述的类似。图3是SOLID98单元的示意图。
对于四面体单元，自由端的节点设置为耦合节点，并将荷载直接施加在耦合节点上。下面给出利用SOLID5和SOLID98完成曲梁分析模型（见图5所示）的主要步骤。
（1）定义工程选项、分析类型、单元类型和材料参数 用分析类型定义命令“ANTYPE，STATIC"定义分析类型为静力分析。用单元类型定义命令ET定义第1类单元为6面体三维固体耦合单元SOLID5，用参数2表示使用线位移自由度。
用材料参数定义命令MP定义第1类材料的弹性模量207、泊松比0.3。
（2）在柱坐标系定义关键点、线和体，优化模型
为方便于建立圆弧形曲梁，用CSYS将当前坐标系切换为柱坐标系。用关键点定义命令K在内半径坐标（4000.5rnm， 0 ）定义第1个关键点，在外半径坐标（4030.8mm， 0 ）定义第2个关键点。用节点生成命令KGEN循环2次，按照1号节点到2号节点增量为1的节点范围，Z坐标增量11.16mm，生成前面的节点3和4。再用KGEN循环2次，按照1号节点到4号节点增量为1的节点范围，Y坐标增量90度，生成自由端的4个节点。
使用线定义命令L过1和5号关键点定义线。用线单元尺寸定义命令LESIZE指定1号线的单元剖分段数为20。用体定义命令V过关键点1、2、4、3、5、6、8、7定义体，用单元尺寸定义命令ESIZE指定单元剖分段数为1。建立的计算机仿真模型见图3所示。
为显示直观起见的模型，用/VIEW切换1号窗口的视点到等轴测方向，并用/Device命令打开图形矢量显示开关，可以更清晰地显示网格模型。用体单元网格剖分命令VMESH对1号体执行体单元剖分，得到有限元模型。
4 计算机仿真处理
应用三维耦合场固体单元SOLID5进行求解。
（1）選择节点，施加位移约束和荷载
用节点选择命令NSEL选择位于Y=0°位置固定端节点，用位移约束命令D位移约束所有选择集中节点的所有自由度，即固定端节点被固定。用NSEL选择所有节点。
用荷载定义命令FK给5号关键点施加沿着Y方向的集中力，大小为122.07N，用重复执行命令REPEAT循环4次执行前面施加集中力的命令，每次节点号码增量1。用NOORDER按原始单元次序，对单元排序。
（2）进入求解模块计算，并定义求解完成后处理的宏程序
计算以上定义的求解模型，用宏定义命令CREATE定义完成后处理的宏程序MAC。.
执行/POSTl命令进入一般后处理模块。用CSYS命令切换当前坐标系为直角坐标系。用节点选择命令NSEL选择X=0到X=0.01范围内的节点，忽略坐标正负号。用节点结果显示命令PRNSOL列表显示节点位移值。
用荷载工况定义命令LCDEF按照第1荷载步，定义第1种荷载工况。用荷载工况缩放因子LCFACT给第1荷载工况定义荷载缩放因子（1/4.637）。用读入荷载工况命令LCASE将第1荷载工况计算结果读入到数据库。用PRNSOL列表显示节点位移值，用FINISH退出后处理模块，用END命令表示宏程序定义结束。
（3）提取自由端位移计算结果，保存到文件
用/POST1进入一般后处理模块。用结果提取命令GET提取自由端的5号节点Y方向的位移计算结果UY，并保存到变量Ul。以待以后可查看保存在内存变量中的计算结果。
用显示结果命令图形显示节点环向应力，如图6所示。从图中可以看出，最大环向拉应力-1120.031MPa出现在固定端的内侧，最大环向压应力1116.101MPa出现在固定端外侧。
将所有模型信息及其计算结果保存数据到数据库，用执行宏后处理宏程序MAC。
5 半圆拱曲梁的高阶仿真
应用四面体藕合场单元SOLID98进行求解
（1）采用和前面相似的步骤，重新开始用SOLID98单元进行分析
重新用单元类型定义命令ET定义第1类单元为四面体耦合场单元SOLID98，用参数1表示只使用线位移自由度UX、UY和UZ。
（2）进入求解模块开始求解，并使用前面的宏程序进行相应的后处理
选择自由端节点，提取位移计算结果。用/POST1进入一般后处理模块，然后执行后处理宏程序MAC。选择距离（0，109.7mm， 0 ）位置最近的节点，用GET命令提取节点的Y方向位移UY，并保存到变量UY3。用SET给U3变量赋值。用列表显示变量参数的值，用以观察保存在变量中的结果，并将模型数据和计算结果保存到数据库中。
用节点结果图形显示命令PLNSOL图形显示节点环向应力，以及显示计算出的挠度。如图6显示SOLID98单元计算出的节点环向应力和挠度。从图中可以看出，最大的环向拉应力1116.637MPa出现在固定端的内侧，最大的环向压应力-1120.034MPa出现在固定端的外侧。
6 求解结果和讨论
利用ANSYS程序计算出了端部托圆球半圆拱曲梁的平面弯曲的最大挠度和最大应力，如表1所示。
从位移结果看，与仿真结果的精确解相比，材料力学的解答是近似的。自由端挠度的误差值为0.98～0.99%，从内侧的最大拉应力和外侧的最大压应力看，SOLID5和solid98单元计算的结果也比较接近理论计算值，最大弯曲拉应力的误差和最大弯曲压应力的误差分别为-2.3%和2.9%。
从这些误差可以看出，材料力学和仿真结果的精确解差别不大。特别是弯曲变形的误差要远远小于应力的误差。由计算得出该雕塑符合安全要求。
另外，通过对实际工程设计及施工的反馈与分析体会到：
半圆拱曲梁的节点环向应力变化与梁体钢结构温度条件有着重要关系。尤其在高温条件下变化比较大，节点环向应力增幅较大。
半圆拱曲梁的仿真环向应力与曲梁材料有密切关系。低线胀系数、低弹模高强度的梁材料将产生较好的应力条件。
7 结论
本文根据材料力学能量法原理确定自由端的位移，建立了符合实际情况的端部受集中力半圆拱梁弯曲的数学模型，忽略轴向变形和剪切变形，确定固定端位置的弯矩值、固定端应力的最大拉应力值、固定端应力的最大压应力值。并在此基础上对端部受集中力半圆拱梁弯曲进行了仿真，根据仿真效果，所建立的数学模型正确，参数符合建筑安全要求范围（但建议增大曲梁的半径差，使得挠度值更小），这些为端部托圆球的半圆拱梁弯曲雕塑等后续施工与建设奠定了基础。
通过实际的施工中反馈得到，半圆拱曲梁应力的会发生某些变化，存在某些影响因素。而影响曲梁应力变化的各种因素之间，并不存在固定的线性关系。每一种因素变化给半圆拱曲梁体应力场所带来的变化方式也并不相似，其合成效果很可能会相互抵消掉。因此，正确地估算半圆拱曲梁的环向应力，只有通过实际的仿真计算。
参考文献：
[1] 曹天捷. 均布载荷下变形受约束悬臂梁弹性大变形分析[J]. 中国民航大学学报，2009（5） .
[2] 西安交大. 材料力学[M]. 北京： 人民教育出版社，2001.
[3] 杨东全，蒲文国. 梁和框架结构的大变形非线性分析[J]. 山西建筑，2011（21） .
[4] K. H. Lien，Y. J. Chiou，P. A. Hsiao. 受火钢结构非线性性能的向量式有限元分析[J]. 钢结构，2010（2） .
[5] 郭阳明，汪一鸣，韩燕. 悬臂梁大变形的新型优化方法[J]. 江西科学，2010（4） .
[6] 夏云. 基于ANSYS的矩形截面等强度悬臂梁的设计[J]. 中国西部科技，2010（23） .
[7] 沈海宁，杨亚平. 基于ANSYS不同截面悬臂梁性能的有限元分析[J]. 青海大学学报：自然科学版，2009（3）.