函数方程是高中数学的核心内容,又是学习高等数学的基础,历来是高考的重点,常在函数与其他知识的交汇处设计试题;为了突出函数方程在中学数学的点线地位,高考强化了函数方程与其他知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方法,多种能力的综合程度.本文就函数方程在解决概率问题中的应用,归类例析,指在探索题型规律,提示解题方法。
　　例1、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
　　(1)求ξ的分布及数学期望;
　　(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)上单调递增”为事件A,求事件A的概率。
　　解析(1)ξ的分布列为
　　ξ13
　　P0.760.24
　　Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48
　　(2)因为f(x)=x-32ξ2+1-94ξ2,所以函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[ξ,+∞)上单调递增,要使f(x)在[2,+∞)上单调递增,当且仅当32ξ≤2,即ξ≤43,从而P(A)=Pξ≤43=P(ξ=1)=0.76。
　　评注本题将函数知识融入概率,利用函数的单调性解决随机变量的范围问题,考察了学生分析问题解决问题的能力。
　　例2:设轮船A有两个发动机,轮船B有四个发动机,如果半数或半数以上的发动机没有故障,轮船就能够安全航行,现设每个发动机发生故障的概率P是t的函数:P=1-eλt(其中t为发动机启动后所经历的时间,λ为常数,每个发动机工作相互独立)。
　　(1)分别求出轮船A、B安全航行的概率(用P表示);
　　(2)根据时间t的变化,比较轮船A和轮船B哪一个更能安全航行(除发动机发生故障外,不考虑其他因素)。
　　[解析]
　　(1)当轮船A有一个、两个发动机没有故障时,能安全航行,则轮船A安全航行的概率为PA=1-P•P=1-P2
　　当轮船B有两个、三个或四个发动机没有故障时,能安全航行,其安全航行的概率为PB=1-[C44P4+C34P3(1-P)]=1+3P4-4P3
　　(2)PA-PB=(1-P2)-(1+3P4-4P3)=-3P4+4P3-P2=-P2(P-1)(3P-1)
　　由00.
　　①当PA-PB>0时,P>13,1-e-λt>13,故e-λt>32,所以t>1λ1n32.此时轮船A更安全。
　　②当PA-PB=0时,P=13,1-e-λt=13,从而t=1λ1n32.
　　此时,轮船A与轮船B同样安全。
　　③当PA-PB<0时,0　　评注:本题是概率函数,不等式等基本知识的交汇,考察了学生综合应用数学知识解决问题的能力。
　　例3设有关于x一元二次方程x2+2ax+b2=0
　　(1)若a是从0,1,2,3,四个数中任取的一个数,b是从0,1,2,三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
　　(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率。
　　解析:高事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”。
　　当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
　　(1) 基本事件共有12个:
　　(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值。事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)=912=34.
　　(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
　　构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
　　所以所求的概率为:
　　P(A)=3×2-12×223×2=23.
　　评注:本题将方程的知识融入概率,利用二次方程有实根的充要条件来解决概率问题。
　　除概率与函数方程知识的交汇外,概率还常与其他数学知识如:数列、立体几何、平面几何、解析几何向量等.读者可以在学习或教学工作中积极探索,勇于发现,寻求解决数学问题的最佳方法,特别是解决知识交汇点处问题的技巧与方法。