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摘 要：洛朗级数求解积分问题在工程数学课程中占有一定比重，学习者在工程数学的学习过程中，对求积分问题通常存在着一定的困难，本文从洛朗级数求积分问题的实例出发，对求积分的过程及方法进行了详细的归纳总结，对洛朗级数求积分问题在工程数学中的应用进行了深入的研究。
关键词：洛朗级数 工程数学 积分问题
近年来，相关部门及学者对工程数学课程的教学方法以及教学内容进行了深入的探讨和积极的改革创新，涉及到了工程数学的教学方式、教学策略、教学工具以及应用分析等多个方面。由于教学课时以及教学方法等多方面存在着不足，使得人们在学习工程数学的过程中对计算复变函数沿着闭曲线积分问题的理解不够深入，使得对整个知识体系的把握存在着一定的问题，在工程数学中如何利用洛朗级数来求解积分问题时，是人们需要认真思考的一项内容。
一、工程数学中的洛朗级数
高校开设工程数学课程的重点目标是，使学生通过学习工程数学后，能够充分结合所学习的理论知识，在实际情况背景下能够深入分析客观现象，从分析过程中找出其所存在的问题，并最终为解决问题策划出科学合理的方案。因此，无论是教师在开展工程数学教学还是学生学习工程数学课程时都应扩宽学习面，积极了解不同领域工程数学的应用实例，在充分结合课程理论知識的同时将自身的实践能力得到有效的提升。工程数学课程是在高等院校学生具备高等数学理论知识的基础上，运用更加便捷、方便的理论知识来解决工程中的常见问题开设的一门课程。
二、工程数学中的洛朗级数教学
洛朗级数相关问题在工程数学课程的复变函数部分进行了详细的介绍，并对运用洛朗级数展开计算沿闭曲线问题进行了细致的探讨，进而又介绍了运用留数（即洛朗级数展开式中负一次项系数）对沿闭曲线进行计算的相关问题，但由于上述两部分内容所处位置较为相近，并且都需要对进行计算，因此学习者在学习过程中通常容易混淆。
工程数学所包含的概念定理较多，并且课程内容较为抽象，在实际计算过程中过程较为繁琐，但这些抽象的问题都源于实际生活。若在工程数学课程的实际教学和学习过程中，都能够将工程数学的理论知识同实际生活相结合，准确把握其课程的主要内容，教师在设计例题时也应以实际生活作为背景对相关问题进行讲解，使抽象的工程数学问题变得形象化，使其成为有效解决工程相关问题的数学工具，转变了传统教学“算数学”的被动局面，使其真正成为了一种能够有效使用的数学工具，转变成了“用数学”的主动局面，使学习者能够对工程数学的学习产生浓厚的兴趣，对工程数学能够据有感性的认识，能够积极深入的研究工程数学的相关问题，真正能够在学习过程中发现问题、解决问题。学生通过对数学知识的学习，使其能够更好的适应数学本身发展的同时，还能够使其数学专业素养得到有效提升。在工程数学的实际教学当中，适当的运用教学实例能够有效促进学习者的实际应用能力，使其综合素质得到全面提高。
一个函数f （z）可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。函数可以在以z0为中心的（由奇点隔开的）不同圆环域内解析， 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式（包括泰勒展开式作为它的特例）。我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性， 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的。
例如在 z=i 和z=-i处展开函数为洛朗级数。在复平面内有两个奇点： z=0与z=-i， 分别在以i为中心的圆周： |z-i|=1与|z-i|=2上。因此， f （z）在以i为中心的圆环域（包括圆域）内的展开式有三个：
（1）在|z-i|<1中的泰勒展开式；
（2）在1<|z-i|<2中的洛朗展开式；
（3）在2<|z-i|<+∞中的洛朗展开式；
在复平面内有一个奇点： z=0在以-i为中心的圆周：|z+i|=1上. 因此， f （z）在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个：
（1）在0< |z+i|<1中的洛朗展开式；
（2）在1<|z+i|< +∞中的洛朗展开式。
特别的，当洛朗级数的系数公式
。
（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1<|z-z0| 因此，我们在对沿闭曲线复变函数积分进行求解时，首先要对被积函数以及积分曲线的特征进行详细的分析与研究，根据不同的问题灵活具体的采用不同的求解方法。就笔者个人而言，在工程数学的课程中对沿闭曲线的复变函数积分进行计算时，首先要牢固掌握留数有关的相关解法，因为在复变函数知识体系当中留数是较为重要的一部分知识，并且与工程技术的实际应用存在着里切的联系，例如Laplace变换以及Laplace逆变换等知识。
洛朗级数展开方法在工程数学课程体系中是一个相对较为独立的知识部分，并具有重要的地位，除此之外，通过对洛朗级数展开的深入探讨与分析，才能够对不变函数奇点的理解十分有帮助，能够对不同类型奇点的留数计算具有重要作用，在此基础上，还能够为课程后面Laplace逆变换等知识的学习打下坚实的基础。
三、结语
近年来，工程数学领域的发展取得了长足的进步，工程数学的研究也推动了工程技术的应用，使工程数学作为一种科学的数学工具有效解决工程当中的常见问题。随着高校教育改革的不断深入，有效推进了工程数学课程的改革，在工程数学的实际教学中以实际生活作为教学背景，引入教学实例对相关问题进行讲解，以此来培养学习者的学习兴趣。通过本文对上述问题的分析与探讨，能够使读者初步掌握利用洛朗级数展开对沿闭曲线积分进行求解的方法，有助于对工程数学知识体系的整体把握，更好的为工程技术应用进行服务。
参考文献：
[1]侍红军；孙永征；张祥芝.工程数学中利用洛朗级数求积分问题浅析[J].学园.2015（23）：61-62.
[2]王斌；李璇；冯明勇.洛朗级数求积分问题在工程数学中的应用[J].数学学习与研究，2016（07）：85-86.
[3]周畅.洛朗级数及其应用[J].价值工程，2011（11）：45-46.
[4]许湘.洛朗级数展开的探讨[J].佳木斯职业学院学报，2016（05）：101-102.
作者简介：申皓天（1995.12—）男。民族：汉。陕西西安人。在校大学生。
关键词：洛朗级数 工程数学 积分问题
近年来，相关部门及学者对工程数学课程的教学方法以及教学内容进行了深入的探讨和积极的改革创新，涉及到了工程数学的教学方式、教学策略、教学工具以及应用分析等多个方面。由于教学课时以及教学方法等多方面存在着不足，使得人们在学习工程数学的过程中对计算复变函数沿着闭曲线积分问题的理解不够深入，使得对整个知识体系的把握存在着一定的问题，在工程数学中如何利用洛朗级数来求解积分问题时，是人们需要认真思考的一项内容。
一、工程数学中的洛朗级数
高校开设工程数学课程的重点目标是，使学生通过学习工程数学后，能够充分结合所学习的理论知识，在实际情况背景下能够深入分析客观现象，从分析过程中找出其所存在的问题，并最终为解决问题策划出科学合理的方案。因此，无论是教师在开展工程数学教学还是学生学习工程数学课程时都应扩宽学习面，积极了解不同领域工程数学的应用实例，在充分结合课程理论知識的同时将自身的实践能力得到有效的提升。工程数学课程是在高等院校学生具备高等数学理论知识的基础上，运用更加便捷、方便的理论知识来解决工程中的常见问题开设的一门课程。
二、工程数学中的洛朗级数教学
洛朗级数相关问题在工程数学课程的复变函数部分进行了详细的介绍，并对运用洛朗级数展开计算沿闭曲线问题进行了细致的探讨，进而又介绍了运用留数（即洛朗级数展开式中负一次项系数）对沿闭曲线进行计算的相关问题，但由于上述两部分内容所处位置较为相近，并且都需要对进行计算，因此学习者在学习过程中通常容易混淆。
工程数学所包含的概念定理较多，并且课程内容较为抽象，在实际计算过程中过程较为繁琐，但这些抽象的问题都源于实际生活。若在工程数学课程的实际教学和学习过程中，都能够将工程数学的理论知识同实际生活相结合，准确把握其课程的主要内容，教师在设计例题时也应以实际生活作为背景对相关问题进行讲解，使抽象的工程数学问题变得形象化，使其成为有效解决工程相关问题的数学工具，转变了传统教学“算数学”的被动局面，使其真正成为了一种能够有效使用的数学工具，转变成了“用数学”的主动局面，使学习者能够对工程数学的学习产生浓厚的兴趣，对工程数学能够据有感性的认识，能够积极深入的研究工程数学的相关问题，真正能够在学习过程中发现问题、解决问题。学生通过对数学知识的学习，使其能够更好的适应数学本身发展的同时，还能够使其数学专业素养得到有效提升。在工程数学的实际教学当中，适当的运用教学实例能够有效促进学习者的实际应用能力，使其综合素质得到全面提高。
一个函数f （z）可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。函数可以在以z0为中心的（由奇点隔开的）不同圆环域内解析， 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式（包括泰勒展开式作为它的特例）。我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性， 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的。
例如在 z=i 和z=-i处展开函数为洛朗级数。在复平面内有两个奇点： z=0与z=-i， 分别在以i为中心的圆周： |z-i|=1与|z-i|=2上。因此， f （z）在以i为中心的圆环域（包括圆域）内的展开式有三个：
（1）在|z-i|<1中的泰勒展开式；
（2）在1<|z-i|<2中的洛朗展开式；
（3）在2<|z-i|<+∞中的洛朗展开式；
在复平面内有一个奇点： z=0在以-i为中心的圆周：|z+i|=1上. 因此， f （z）在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个：
（1）在0< |z+i|<1中的洛朗展开式；
（2）在1<|z+i|< +∞中的洛朗展开式。
特别的，当洛朗级数的系数公式
。
（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1<|z-z0|
洛朗级数展开方法在工程数学课程体系中是一个相对较为独立的知识部分，并具有重要的地位，除此之外，通过对洛朗级数展开的深入探讨与分析，才能够对不变函数奇点的理解十分有帮助，能够对不同类型奇点的留数计算具有重要作用，在此基础上，还能够为课程后面Laplace逆变换等知识的学习打下坚实的基础。
三、结语
近年来，工程数学领域的发展取得了长足的进步，工程数学的研究也推动了工程技术的应用，使工程数学作为一种科学的数学工具有效解决工程当中的常见问题。随着高校教育改革的不断深入，有效推进了工程数学课程的改革，在工程数学的实际教学中以实际生活作为教学背景，引入教学实例对相关问题进行讲解，以此来培养学习者的学习兴趣。通过本文对上述问题的分析与探讨，能够使读者初步掌握利用洛朗级数展开对沿闭曲线积分进行求解的方法，有助于对工程数学知识体系的整体把握，更好的为工程技术应用进行服务。
参考文献：
[1]侍红军；孙永征；张祥芝.工程数学中利用洛朗级数求积分问题浅析[J].学园.2015（23）：61-62.
[2]王斌；李璇；冯明勇.洛朗级数求积分问题在工程数学中的应用[J].数学学习与研究，2016（07）：85-86.
[3]周畅.洛朗级数及其应用[J].价值工程，2011（11）：45-46.
[4]许湘.洛朗级数展开的探讨[J].佳木斯职业学院学报，2016（05）：101-102.
作者简介：申皓天（1995.12—）男。民族：汉。陕西西安人。在校大学生。