在纸上画三角形，无论怎样画，把三角形里面的3个角加起来，都会等于 180°即使画100个、1000个，也绝对不会有一个例外。
　　那么，能不能找到一种三角形，它的内角和不等于180°呢？
　　19世纪初，有个叫亚诺什·波里亚的匈牙利青年决定献身于这个研究。他父亲是个数学家，听到这个消息时吓坏了，尽管父子俩天天生活在一起。老波里亚为了郑重其事，竟亲笔给儿子写了一封劝告信。
　　波里亚深知父亲的苦恼，但他没有知难而退，义无反顾地闯进了这个“毫无希望的黑夜”。他很快提出了一个新的平行公理：“在平面内，过已知直线外的一个点，至少可以作两条直线与已知直线相平行。”这个新公理否定了平行线的唯一性，一门新的几何学就这样诞生了，叫双曲几何学。凡是与旧的平行公理有关的定理，在双曲几何学中全都变得面目全非，成了许多闻所未闻的新结论。例如，在双曲几何学中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的内角和，而它们又都比180°小！
　　真的能够作出一种三角形，使它的内角和小于180°？对于习惯在传统几何的框框里生活的人来说，这是“荒诞无稽”的奇谈。连老波里亚也无法理解儿子的创造，断然拒绝了帮助他发表的请求。直到1832年，在儿子的再三请求下，老波里亚才勉强同意将它作为一个附录，随同自己的著作一起出版。
　　老波里亚与“数学王子”高斯是大学时代的同窗好友，他把附录的清样寄给高斯，想听听这位数学权威的意见。1832年3月，高斯在回信中热情称赞小波里亚是个天才，但同时又说，他不便公开赞许，因为称赞波里亚就等于称赞他自己。原来，在此之前16年，高斯就已作出了同样的发现。但他小心翼翼地隐藏了自己的研究，唯恐因这种新几何学直观上的“荒诞无稽”而遭人耻笑。
　　早在波里亚著作发表的前6年，在遥远的俄罗斯大地上，已经有位叫罗巴切夫斯基的数学家率先亮出了这门新几何学的旗帜。罗巴切夫斯基是一个伟大的俄国数学家，他也有同样的发现，并为捍卫新几何学战斗了一生。当时，数学家们不理解他，认为内角和小于180°的三角形是一个“笑话”，还有人嘲笑他是“对有学问的数学家的讽刺”。而一些仇视革命思想的人，更是趁机对他进行恶毒的攻击和下流的谩骂。这一切都没有使罗巴切夫斯基退却，他接二连三地发表数学著作，甚至当他已成为一个瞎眼老人时，仍然念念不忘地口授了一部《泛几何学》，为这门新几何学在数学王国里取得合理地位而大声疾呼。由于罗巴切夫斯基最先昭示了新几何学的诞生，所以双曲几何学又叫罗氏几何学。
　　罗巴切夫斯基、波里亚和高斯，用他们创造性的工作，动摇了“只能有一种可能的几何”的传统观念，为创造不同体系的几何开辟了道路。1854年，就在人们仍在抱怨罗氏几何学“不可思议”时，高斯的学生黎曼，又给几何王国增添了一种新的几何学。黎曼提出了另一种新的平行公理：“在平面上，过已知直线外的一个点，不能作直线与已知直线相平行。”这个新公理干脆否定了平行线的存在性。以它为基础，再加上以前的公理，就组成了椭圆几何学，也叫黎曼几何学。在这种新的几何学里，三角形的内角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180°，也不小于180° ，而是大于180° 。
　　罗氏几何学与黎曼几何学更精确地反映了现实空间，但是，在我们的日常生活里，传统几何学已经足够精确了。在我们的视野范围内，水平面是非常接近于平面的。实际上，我们也根本无法测出它的弯曲度。这样，测量水面上一个三角形的内角和，虽然它实际上并不等于180° ，我们却无法测出它与真实值之间的误差。所以，在我们身边这个不大不小的空间里，传统的几何学仍然是适用的。
　　因此，在纸上画三角形，无论怎样画，把它的3个内角加起来，都会等于180° 。但我们也应当知道，在数学王国里，确实存在一些“稀奇古怪”的三角形，它们的内角和不等于180°。