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摘要: 本文针对2013年全国大学生数学建模竞赛中古塔的变形中的弯曲问题,应用曲率的知识,分析其挠度,给出了弯曲变形情况的数学分析方法。
关键词: 古塔变形;曲率;挠度;拟合
【中图分类号】P25【文献标识码】A【文章编号】2236-1879(2017)18-0033-01
一、相关问题
某古塔已有上千年历史,是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。根据提供的观测数据,分析该塔的弯曲变形情况。
二、古塔的弯曲情况的分析
1.预备知识。梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移(横向位移)称为该点的挠度。
可以把古塔看成一个建筑上的梁,同样是相同的立体图形其中梁平面弯曲时其变形特点是:梁轴线既不伸长也不缩短,其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线,我们可以把古塔的中心线看做一个梁的一个面的投影求解。
2.问题的解决方法。
对一般的观测经验可知,首先在建筑物的周围建立一个局部坐标系,根据墙面积的大小来确定观察点的个数,用无反光棱镜全站仪进行坐标的观测。
对该古塔的弯曲,主要从各层中心点考虑整体趋势,利用中心的坐标可以画出古塔中心线主视图、俯视图、侧视图。
观察对古塔中心线可以看出:
(1)主視图只显示的是中心的扭曲情况,如果主视图显示的一条直线,则可以认为该古塔没有发生扭曲,否则发生了扭曲。即古塔的外形发生扭曲变形。
(2)侧视图和主视图只显示了在xoz,yoz 的关系程度,如果该图显示的是一条垂直的直线,则没发生倾斜和弯曲,否则可以认为该中心线发生了倾斜和弯曲。即古塔发生弯曲和倾斜。
首先任意选取一个平面来分析画古塔的是否弯曲,可以选取平面,用拟合和曲率来刻画古塔的弯曲建立模型为:
选取二次函数为拟合函数,求出的各监测时间的函数为:
由模型可以求出各年各点曲率变化函数:
根据各年的各古塔曲率函数和各古塔的中心点,就可以得到各中心点的曲率值,进而算出弯曲程度。
参考文献
[1]王有良.高层建筑倾斜变形数据处理.测绘学,33-2:3,2008
[2]《建筑物沉降观测方法》 DGJ32/J18-2006
[3]《建筑变形测量规范》 JGJ8-2007
关键词: 古塔变形;曲率;挠度;拟合
【中图分类号】P25【文献标识码】A【文章编号】2236-1879(2017)18-0033-01
一、相关问题
某古塔已有上千年历史,是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。根据提供的观测数据,分析该塔的弯曲变形情况。
二、古塔的弯曲情况的分析
1.预备知识。梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移(横向位移)称为该点的挠度。
可以把古塔看成一个建筑上的梁,同样是相同的立体图形其中梁平面弯曲时其变形特点是:梁轴线既不伸长也不缩短,其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线,我们可以把古塔的中心线看做一个梁的一个面的投影求解。
2.问题的解决方法。
对一般的观测经验可知,首先在建筑物的周围建立一个局部坐标系,根据墙面积的大小来确定观察点的个数,用无反光棱镜全站仪进行坐标的观测。
对该古塔的弯曲,主要从各层中心点考虑整体趋势,利用中心的坐标可以画出古塔中心线主视图、俯视图、侧视图。
观察对古塔中心线可以看出:
(1)主視图只显示的是中心的扭曲情况,如果主视图显示的一条直线,则可以认为该古塔没有发生扭曲,否则发生了扭曲。即古塔的外形发生扭曲变形。
(2)侧视图和主视图只显示了在xoz,yoz 的关系程度,如果该图显示的是一条垂直的直线,则没发生倾斜和弯曲,否则可以认为该中心线发生了倾斜和弯曲。即古塔发生弯曲和倾斜。
首先任意选取一个平面来分析画古塔的是否弯曲,可以选取平面,用拟合和曲率来刻画古塔的弯曲建立模型为:
选取二次函数为拟合函数,求出的各监测时间的函数为:
由模型可以求出各年各点曲率变化函数:
根据各年的各古塔曲率函数和各古塔的中心点,就可以得到各中心点的曲率值,进而算出弯曲程度。
参考文献
[1]王有良.高层建筑倾斜变形数据处理.测绘学,33-2:3,2008
[2]《建筑物沉降观测方法》 DGJ32/J18-2006
[3]《建筑变形测量规范》 JGJ8-2007