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编者按：用联系的眼光、系统的思维，从整体建构的视角来开展教育教学研究，并不是什么新课题。然而，长期以来，数学碎片化教学非常普遍且根深蒂固。要改变这一现状，必须从数学本质的理解、学科课程的整合、教学行为的改进等方面联合用力，打出“组合拳”。本期推出的许卫兵名师团队成员三篇文章（全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”（课题批准号：DHA190453）），从不同的视角，阐述对小学数学整体建枸教学的探索与思考，期待能引发读者的共鸣，并共同参与到此专题的实践研究中。
[摘要]任何学科的教学都离不开对学科特点和本质的理解与掌握。从“关系”的视角来解读数学的学科特点与内涵本质，整体建构数学课程，建立一种朴素而又深刻的“关系”思维，可以帮助我们更好地深化教学改革，减负增效，并在一定程度上根治长期存在的散点式、碎片化、割裂式等教学顽疾。
[关键词]数学;整体建构;关系;思维发展
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2020）26-0001-03
一、什么是数学
无论是教数学还是学数学，首先要了解什么是数学。关于什么是数学，人们很容易想到词典上的解释：“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科。”其实，对数学的理解并非一成不变。
2001年，我在阅读《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》时，被“前言”中的第一句话吸引：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”为何对数学的描述一改往日的经典定义呢？《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》一书中，是这样说明的：
虽然很多实际工作者希望《标准》有一个关于数学的简单而且强有力的定义，但显然《标准》对数学没有采取简单定义的方法。因为数学不仅是一门知识，更是人类实践活动创造的产物，是由诸多元素构成的多元结构;社会与文化不仅推动着数学的发展，同时数学也是推动社会与文化发展的关键性因素;对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点中去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验;数学发展的动力不仅要从历史的角度度量，更要从数学与人和现实生活的联系中去寻找。无论如何，仅仅用“研究现实世界数量关系和空间形式的科学”来刻画数学或生硬地背诵这些语句已经远远不够了。
2011年，我翻阅《义务教育数学课程标准（ 2011年版）》时发现，前言中的第一句话为：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”有关数学的经典定义为何在十年之后又回到课程标准中了呢？这两种不同的表述有何区别？
我尝试采用语文中的缩写句子来做一个简单比较。“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”缩写为“数学——是——过程”;“数学是研究数量关系和空间形式的科学”缩写为“数学——是——科学”。数学确实是“过程”啊，是人们发现、发展、发明的过程，是不断传承、不断发展、不断丰富、不断完善的过程，数学学习强调过程与方法，也就是表达数学学习和数学发展有着“过程”意义的一致性。不过，数学也确实是“科学”啊，是具有独特语言和价值的自然科学体系。那这两种表述到底谁对谁错？我认为，都没有错，它们只是从不同的角度来描述数学。既然都没错，那为何又改来改去呢？《义务教育数学课程标准（2011年版）》修订核心组专家是这样解释的：
数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化。然而纵观数学的全部历史，人们可以达成这样的共识：尽管经过由古到今的漫长发展，现代数学已是一个分支众多的庞大的知识系统，但整个数学始终是围绕着“数”与“形”这两个基本概念的抽象、提炼而发展的。数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个基本概念而进行的。需要说明的是，这里所说的数量关系和空间形式，并不限于现实世界，而是包括一切可能的数量关系和空间形式：它们既可以来源于现实世界，也可以是数学自身逻辑的产物。《义务教育数学课程标准（2011年版）》对什么是数学的这一陈述，反映了以往作为自然科学传统学科之一的数学发展到我们这个时代所经历的深刻变化。
我认为，这样的对比研究，可以帮助我们建立多维、立体、动态的数学观。
二、数学是一门“关系学”
上述关于数学的解释，比较理论，也比较抽象。对小学生而言，要想据此来理解什么是数学，难度很大，既不现实，也不可行。
张奠宙、孔凡哲等人撰写的《小学数学研究》中的一个题目吸引了我——数学是一门研究“关系”的学问，意思是说，数学中的任何知识、方法、思想，都不是孤立的，而是跟其他的知识、方法、思想等有著密切的联系。也就是说，数学很奇妙，“关系”最重要！
举个简单的例子。低年级要学习乘法，乘法是相同加数相加求和的简便运算，习惯上说成是“几个几在相加”。乘法有三个基本数量：每份数（相同的加数）、份数（相同加数的个数）、总数（得出的和）。二年级学习了乘法，后面的年级就有了好多的乘法应用类型（或模型）。小学阶段的乘法应用模型主要有四种：第一种，“倍”的模型，基本数量是“一倍数”“几倍数”“倍数”;第二种，长方形的面积计算模型，“长”表示一行摆了几个面积单位，“宽”是一共可以摆几行，面积就是“长×宽”（几个几）;第三种，常见的数量关系模型，如单价、数量、总价，速度、时间、路程，工作效率、工作时间、工作总量等;第四种，“搭配”模型，类似于几件上衣、几条裤子可以搭配出几套不同的服装。有了这样一种结构化、体系化的理解，不仅教师教得清晰，学生也学得轻松。
关系的前提和基础是“元素”，一个独立的事物是没有什么关系可言的，多个元素之间才能产生关系。比如，一年级开始学习人民币，人民币有三个单位“元、角、分”，这三个单位可以看成是三个“元素”。它们之间的关系是：1元=10角，1角=10分，1元=100分。 这两幅板书，都呈现了人民币的单位及相互关系，具有一定的结构感。但是，相比而言，右边的板书结构感更强。首先，它将表达等式关系的等号变成双向箭头，进率写在箭头的中间，直观地表达了等号蕴含的双向关系（比如，1元等于10角，10角等于1元）;其次，它把三组相等关系同图呈现，更容易看出两个“10”和“100”的内在关联，即10个10就是100;最后，它怎么看都更像是一个整体，而左边的板书给人的感觉依然是三道关系式。
这就表明，关联性、系统化的知识需要有结构化的表达。在考虑结构化表达时，往往需要有三个追问：是不是所有的元素都出现了？元素与元素之间的关系是不是都明确了？元素与关系的组合是不是更像一个整体？
三、数学学习重在培育“关系”思维
如果说，把握关系建构整体、借助整体明晰关系，是数学学科整体性和结构性特征对数学教学提出的要求，那么，从学习的角度来讲，让学生学会理顺关系，建立联系，培育和发展“关系”思维就显得尤为重要。因而，教师要充分发掘隐藏在知识背后的结构关联和思维含量，将数学思维发展和数学知识学习有机结合起来。
一年级上册“1-5的认识”是小学生认数的起始课。大多数教材都是提供一幅主题图，图上画有1个、2个、3个、4个、5个数量不同的物品。不少教师教学时都是采用看图说话的方式，让学生先观察情景图，说一说图中还有什么。当学生随机说出图中有1只小狗、5个南瓜、3盆花、2只鹅……后，出示1、2、3、4、5这5个数，然后再进行抽象，用小棒摆数、写数等。这样的教学过程，从本质上来说是把1、2、3、4、5看成独立的5个数。实际上，认识1-5，不只是认识1、2、3、4、5，更重要的是初步认识自然数列，而自然数列一个鲜明的特征是每相邻的两个数相差1（等差数列），因此，“1-5的认识”的教学应该放在数列中。我的设想是：开始呈现生活情景图时，每种物品只呈现1个，如1只狗、1只鹅、1只鸟、1只鸡、1盆花、1个南瓜等，让学生观察图中都有什么，它们各是多少个，最后得出它们都是1个。在此基础上，又呈现“走来了1只鹅”，问学生：“现在鹅的数量还是1只吗？”学生都知道不是1而是2了，由此得出“1加1就变成了2”。“那么，你能让其他物品也都变成2吗？”于是，增加1只鸡、1只狗、1只鸟、1盆花、1个南瓜，让所有物品数量都变成2，强化“l加1就变成2”的感受。在此基础上，再呈现“飞来1只小鸟”，问学生：“现在有几只小鸟呢？”学生回答：“3。”顺着这样的思路，“2加上l就变成3”“3加上1就变成4”“4加上1就变成5”的认识就自然生成了。回顾总结时，教师只要适当点拨“数学很奇妙，关系最重要”，学生“关系”思维就能在不知不觉中开始生长。
思维发展需要经历孕育、点拨、提示、引导、感悟、内省、转化、应用等过程，不可能一蹴而就，要尽早渗透，从小抓起，持续发力，长期培养。在课堂教学中，教师可多用箭头来表达关联，多用文字来说明关系，让课堂板书尽可能呈现一种结构化的形态，就是努力给学生以直观感受和启蒙。严格说来，每一节课学习的内容，都会跟其他内容存在着千丝万缕的联系，或是知识层面，或是方法层面，或是思想层面，只要充分挖掘，用心构架，就能充分体现数学的严谨与逻辑，展现数学之美。
对学生而言，在关联和结构中学习数学也便于记忆、理解、掌握和应用。例如，小学阶段学习长度单位，先学“厘米”，再学“米”，有了两个单位以后，就要揭示它们之间的关联——进率100;接下来学习“毫米”和“分米”，就需要把这两个新的长度单位和已学的两个长度单位做一次整合，按照一定的顺序排列后，就发现相邻两个单位之间的进率是10，十进制的关系就开始显现出来了。在此基础之上，对于第5个长度单位“千米”，最简单直白的教法，就是直接出示“千米”，然后说清楚l千米有多长，及“千米”和“米”之间的进率是1000。但是，这样教，学生对长度单位间的关系感受比较肤浅，印象也不深刻。教学时，如果让学生结合已有的四个长度单位的关系结构图示，围绕问题“如果人们发明了第5个单位，你觉得它可能在什么位置？它跟已有的长度单位之间会有什么关系？”去展开研究，学生的主要研究方向可能是2个，一个是比“毫米”还要小，一个是比“米”还要大，那如果比“毫米”还要小，会是谁？它跟“毫米”之间又有什么关系？比“米”还大又可能是谁？它跟“米”之间又有什么关系？在已有的长度单位之间十进制的启发下，很容易构建出了一个更加宽广的长度单位体系（……微米、忽米、丝米、毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米……）。經过这样的学习，学生就会感慨：“数学真美啊！”“人们在发明数学的时候，都是按照一定的规律来进行的，”当然，这里把“十米”“百米”引入课堂，并不是要求学生去掌握“十米”和“百米”，毕竟这并不是教材内容，而是借助它们来更好地感受长度单位体系，更好地理解“为什么千米和米之间的进率是1000”。
进一步思考，这个长度单位的序列表还有助于学生学好面积单位。小学里一共学习五个面积单位——平方厘米、平方分米、平方米、公顷（平方百米）、平方千米，每个面积单位都对应着相应的长度单位——厘米、分米、米、百米、千米。为什么“平方米”和“公顷”之间的进率是10000，而其他相邻的面积单位之间的进率都是1007原因就在它们之间还有一个面积单位“平方十米”，即“公亩”。现在的教材里已经没有“公亩”了，如果把“公亩”放进来，相邻的两个面积单位之间进率是100的关系就变得很完美，也能很好地解释“平方米”和“公顷”之间的进率为什么是10000（100个100）。
因而，是简单地去教知识，还是基于知识让学生感受数学知识之间那种严密的、严谨的逻辑体系，充分依据结构、生成结构、拓展结构、发展结构思维，培育数学素养，是教师必须直面的重要话题。
总的说来，数学是一门“关系学”的表述，虽不是关于数学的严密的科学定义，但它为我们更好地理解数学、教数学、学数学提供了一个视角，透过这样的视角，数学教学、数学学习别有洞天。
【本文系全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”的阶段研究成果，课题批准号：DHA190453。】
[参考文献]
[1]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[2]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
（责编金铃）
[摘要]任何学科的教学都离不开对学科特点和本质的理解与掌握。从“关系”的视角来解读数学的学科特点与内涵本质，整体建构数学课程，建立一种朴素而又深刻的“关系”思维，可以帮助我们更好地深化教学改革，减负增效，并在一定程度上根治长期存在的散点式、碎片化、割裂式等教学顽疾。
[关键词]数学;整体建构;关系;思维发展
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2020）26-0001-03
一、什么是数学
无论是教数学还是学数学，首先要了解什么是数学。关于什么是数学，人们很容易想到词典上的解释：“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科。”其实，对数学的理解并非一成不变。
2001年，我在阅读《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》时，被“前言”中的第一句话吸引：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”为何对数学的描述一改往日的经典定义呢？《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》一书中，是这样说明的：
虽然很多实际工作者希望《标准》有一个关于数学的简单而且强有力的定义，但显然《标准》对数学没有采取简单定义的方法。因为数学不仅是一门知识，更是人类实践活动创造的产物，是由诸多元素构成的多元结构;社会与文化不仅推动着数学的发展，同时数学也是推动社会与文化发展的关键性因素;对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点中去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验;数学发展的动力不仅要从历史的角度度量，更要从数学与人和现实生活的联系中去寻找。无论如何，仅仅用“研究现实世界数量关系和空间形式的科学”来刻画数学或生硬地背诵这些语句已经远远不够了。
2011年，我翻阅《义务教育数学课程标准（ 2011年版）》时发现，前言中的第一句话为：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”有关数学的经典定义为何在十年之后又回到课程标准中了呢？这两种不同的表述有何区别？
我尝试采用语文中的缩写句子来做一个简单比较。“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”缩写为“数学——是——过程”;“数学是研究数量关系和空间形式的科学”缩写为“数学——是——科学”。数学确实是“过程”啊，是人们发现、发展、发明的过程，是不断传承、不断发展、不断丰富、不断完善的过程，数学学习强调过程与方法，也就是表达数学学习和数学发展有着“过程”意义的一致性。不过，数学也确实是“科学”啊，是具有独特语言和价值的自然科学体系。那这两种表述到底谁对谁错？我认为，都没有错，它们只是从不同的角度来描述数学。既然都没错，那为何又改来改去呢？《义务教育数学课程标准（2011年版）》修订核心组专家是这样解释的：
数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化。然而纵观数学的全部历史，人们可以达成这样的共识：尽管经过由古到今的漫长发展，现代数学已是一个分支众多的庞大的知识系统，但整个数学始终是围绕着“数”与“形”这两个基本概念的抽象、提炼而发展的。数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个基本概念而进行的。需要说明的是，这里所说的数量关系和空间形式，并不限于现实世界，而是包括一切可能的数量关系和空间形式：它们既可以来源于现实世界，也可以是数学自身逻辑的产物。《义务教育数学课程标准（2011年版）》对什么是数学的这一陈述，反映了以往作为自然科学传统学科之一的数学发展到我们这个时代所经历的深刻变化。
我认为，这样的对比研究，可以帮助我们建立多维、立体、动态的数学观。
二、数学是一门“关系学”
上述关于数学的解释，比较理论，也比较抽象。对小学生而言，要想据此来理解什么是数学，难度很大，既不现实，也不可行。
张奠宙、孔凡哲等人撰写的《小学数学研究》中的一个题目吸引了我——数学是一门研究“关系”的学问，意思是说，数学中的任何知识、方法、思想，都不是孤立的，而是跟其他的知识、方法、思想等有著密切的联系。也就是说，数学很奇妙，“关系”最重要！
举个简单的例子。低年级要学习乘法，乘法是相同加数相加求和的简便运算，习惯上说成是“几个几在相加”。乘法有三个基本数量：每份数（相同的加数）、份数（相同加数的个数）、总数（得出的和）。二年级学习了乘法，后面的年级就有了好多的乘法应用类型（或模型）。小学阶段的乘法应用模型主要有四种：第一种，“倍”的模型，基本数量是“一倍数”“几倍数”“倍数”;第二种，长方形的面积计算模型，“长”表示一行摆了几个面积单位，“宽”是一共可以摆几行，面积就是“长×宽”（几个几）;第三种，常见的数量关系模型，如单价、数量、总价，速度、时间、路程，工作效率、工作时间、工作总量等;第四种，“搭配”模型，类似于几件上衣、几条裤子可以搭配出几套不同的服装。有了这样一种结构化、体系化的理解，不仅教师教得清晰，学生也学得轻松。
关系的前提和基础是“元素”，一个独立的事物是没有什么关系可言的，多个元素之间才能产生关系。比如，一年级开始学习人民币，人民币有三个单位“元、角、分”，这三个单位可以看成是三个“元素”。它们之间的关系是：1元=10角，1角=10分，1元=100分。 这两幅板书，都呈现了人民币的单位及相互关系，具有一定的结构感。但是，相比而言，右边的板书结构感更强。首先，它将表达等式关系的等号变成双向箭头，进率写在箭头的中间，直观地表达了等号蕴含的双向关系（比如，1元等于10角，10角等于1元）;其次，它把三组相等关系同图呈现，更容易看出两个“10”和“100”的内在关联，即10个10就是100;最后，它怎么看都更像是一个整体，而左边的板书给人的感觉依然是三道关系式。
这就表明，关联性、系统化的知识需要有结构化的表达。在考虑结构化表达时，往往需要有三个追问：是不是所有的元素都出现了？元素与元素之间的关系是不是都明确了？元素与关系的组合是不是更像一个整体？
三、数学学习重在培育“关系”思维
如果说，把握关系建构整体、借助整体明晰关系，是数学学科整体性和结构性特征对数学教学提出的要求，那么，从学习的角度来讲，让学生学会理顺关系，建立联系，培育和发展“关系”思维就显得尤为重要。因而，教师要充分发掘隐藏在知识背后的结构关联和思维含量，将数学思维发展和数学知识学习有机结合起来。
一年级上册“1-5的认识”是小学生认数的起始课。大多数教材都是提供一幅主题图，图上画有1个、2个、3个、4个、5个数量不同的物品。不少教师教学时都是采用看图说话的方式，让学生先观察情景图，说一说图中还有什么。当学生随机说出图中有1只小狗、5个南瓜、3盆花、2只鹅……后，出示1、2、3、4、5这5个数，然后再进行抽象，用小棒摆数、写数等。这样的教学过程，从本质上来说是把1、2、3、4、5看成独立的5个数。实际上，认识1-5，不只是认识1、2、3、4、5，更重要的是初步认识自然数列，而自然数列一个鲜明的特征是每相邻的两个数相差1（等差数列），因此，“1-5的认识”的教学应该放在数列中。我的设想是：开始呈现生活情景图时，每种物品只呈现1个，如1只狗、1只鹅、1只鸟、1只鸡、1盆花、1个南瓜等，让学生观察图中都有什么，它们各是多少个，最后得出它们都是1个。在此基础上，又呈现“走来了1只鹅”，问学生：“现在鹅的数量还是1只吗？”学生都知道不是1而是2了，由此得出“1加1就变成了2”。“那么，你能让其他物品也都变成2吗？”于是，增加1只鸡、1只狗、1只鸟、1盆花、1个南瓜，让所有物品数量都变成2，强化“l加1就变成2”的感受。在此基础上，再呈现“飞来1只小鸟”，问学生：“现在有几只小鸟呢？”学生回答：“3。”顺着这样的思路，“2加上l就变成3”“3加上1就变成4”“4加上1就变成5”的认识就自然生成了。回顾总结时，教师只要适当点拨“数学很奇妙，关系最重要”，学生“关系”思维就能在不知不觉中开始生长。
思维发展需要经历孕育、点拨、提示、引导、感悟、内省、转化、应用等过程，不可能一蹴而就，要尽早渗透，从小抓起，持续发力，长期培养。在课堂教学中，教师可多用箭头来表达关联，多用文字来说明关系，让课堂板书尽可能呈现一种结构化的形态，就是努力给学生以直观感受和启蒙。严格说来，每一节课学习的内容，都会跟其他内容存在着千丝万缕的联系，或是知识层面，或是方法层面，或是思想层面，只要充分挖掘，用心构架，就能充分体现数学的严谨与逻辑，展现数学之美。
对学生而言，在关联和结构中学习数学也便于记忆、理解、掌握和应用。例如，小学阶段学习长度单位，先学“厘米”，再学“米”，有了两个单位以后，就要揭示它们之间的关联——进率100;接下来学习“毫米”和“分米”，就需要把这两个新的长度单位和已学的两个长度单位做一次整合，按照一定的顺序排列后，就发现相邻两个单位之间的进率是10，十进制的关系就开始显现出来了。在此基础之上，对于第5个长度单位“千米”，最简单直白的教法，就是直接出示“千米”，然后说清楚l千米有多长，及“千米”和“米”之间的进率是1000。但是，这样教，学生对长度单位间的关系感受比较肤浅，印象也不深刻。教学时，如果让学生结合已有的四个长度单位的关系结构图示，围绕问题“如果人们发明了第5个单位，你觉得它可能在什么位置？它跟已有的长度单位之间会有什么关系？”去展开研究，学生的主要研究方向可能是2个，一个是比“毫米”还要小，一个是比“米”还要大，那如果比“毫米”还要小，会是谁？它跟“毫米”之间又有什么关系？比“米”还大又可能是谁？它跟“米”之间又有什么关系？在已有的长度单位之间十进制的启发下，很容易构建出了一个更加宽广的长度单位体系（……微米、忽米、丝米、毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米……）。經过这样的学习，学生就会感慨：“数学真美啊！”“人们在发明数学的时候，都是按照一定的规律来进行的，”当然，这里把“十米”“百米”引入课堂，并不是要求学生去掌握“十米”和“百米”，毕竟这并不是教材内容，而是借助它们来更好地感受长度单位体系，更好地理解“为什么千米和米之间的进率是1000”。
进一步思考，这个长度单位的序列表还有助于学生学好面积单位。小学里一共学习五个面积单位——平方厘米、平方分米、平方米、公顷（平方百米）、平方千米，每个面积单位都对应着相应的长度单位——厘米、分米、米、百米、千米。为什么“平方米”和“公顷”之间的进率是10000，而其他相邻的面积单位之间的进率都是1007原因就在它们之间还有一个面积单位“平方十米”，即“公亩”。现在的教材里已经没有“公亩”了，如果把“公亩”放进来，相邻的两个面积单位之间进率是100的关系就变得很完美，也能很好地解释“平方米”和“公顷”之间的进率为什么是10000（100个100）。
因而，是简单地去教知识，还是基于知识让学生感受数学知识之间那种严密的、严谨的逻辑体系，充分依据结构、生成结构、拓展结构、发展结构思维，培育数学素养，是教师必须直面的重要话题。
总的说来，数学是一门“关系学”的表述，虽不是关于数学的严密的科学定义，但它为我们更好地理解数学、教数学、学数学提供了一个视角，透过这样的视角，数学教学、数学学习别有洞天。
【本文系全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”的阶段研究成果，课题批准号：DHA190453。】
[参考文献]
[1]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[2]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
（责编金铃）