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摘 要 在中学数学中，对称的图形、对称的解题方法、对称的思维方式、对称的数字排序等，都给人一种新奇与和谐的美感。文章认为，教师要引导学生发现普通数学概念中美的东西，更好地利用好有限的时间和空间，激发出学生无限的渴求知识的欲望。
关键词 数学教学 数学 对称美
中图分类号：G633.6文献标识码：A
Application of Symmetry in Mathematics Teaching
LI Yaqing
(Qingyanggang Middle School,Kunshan, Jiangsu 215300)
Abstract In the middle school mathematics, the symmetry of the graph, symmetric solutions in symmetric way of thinking, symmetric digital sorting, give a new sense of beauty and harmony. The article states the teachers should guide students to discover mathematical concepts of ordinary American things, better use of the limited time and space, inspire the students desire unlimited thirst for knowledge.
Key words mathematics teaching; math; symmetry
对称作为中学数学中不可或缺的一个数学概念，在数学教学中也扮演了一个重要的角色，适时而巧妙地应用对称的概念在数学教学中，不仅有利于更好地理解数学概念，而且能培养学生对数学浓厚的学习兴趣和进一步探索数学奥秘的强大动力。
1 对称是一种令人叹为观止的美
数学中很多的图形，从最简单的正方形、圆、直线，到正方体、长方体、球、平面，无不体现出美妙的对称与和谐。
例如，函数y = |x2 - 4|x|-5|的图像为
y = tanx的图像为
最简单的图象给人一种简洁的对称美感，在日后的学习中会遇到更多的轴对称、中心对称图形，使人们的视野更为开阔。
2 对称是一种审美的理念
黑格尔说：“审美带有令人解放的性质”。一切事物倘能与美相接便立即会焕发出动人的光彩，引得主体跃跃欲试，产生追求的强烈愿望，这正是美的神奇力量之所在。“对称”既是数学概念，又是美学的一个重要概念。
在现实生活中，常常可以看到对称美。以学生的学习的心理过程来看，认知过程与审美情感本身就是深刻地渗透在一起的。学生对知识的掌握理解以及由知识到智力的转化都需要借助情感媒介而实现，而审美情感正是知识向智力转化的最有效的动力。
著名的“将军饮马问题”：据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？
提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。但是，这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢？
把河看作是一条直线，经过A点到河边饮水，再到达B点，可以作点A关于直线的对称点C，连接直线BC，BC和直线的交点D就是要饮水的地方。如图：
因为点A关于直线的对称点C，所以线段CD = AD，且C、D、B三点共线，所以在D点饮水是走的距离最短。
高斯在计算中，也利用了对称的思想，1+100=101;2+99=101; 3+98=101; ……99+2=101; 100+1=101,于是就得到了50个101，就巧妙地计算出了前100个自然数之和，同时也奠定了后来的等差数列求和公式的推导思路。
同时，人们在研究数字的过程中也发现了很多美好的东西。有人在计算12=1；112=121；1112=12321；11112=1234321；111112=123454321；因此不难猜测1111112=12345654321等，在基本的数字计算中，发现了回文数的对称美，再结合这些巧妙的计算，不禁令人感叹数字奇妙的对称美。
3 对称是一种最常见的解题方法
对称的思想在解决数学问题中也起着重要的作用，同时也变成了一种有效的解题方法。
例1如图。长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点击出，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处。每次球撞击桌面时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（如图∠= ∠ ）。已知AB = 3，BC = 4，求此球所走路线的总长度。
（第19届江苏省数学竞赛题）
思路分析：利用对称性，线段PQ关于AB的对称线段与共线，同理，任何两条相邻的线段都具备如此性质。设S关于AB的对称点是T,则TPQ共线，S关于CD的对称点是M，M关于BC的对称点是N，所以，TPQN共线，且线段TN即为所求路线的程度，由此即可求得此球所走路线的总长度。
例2、将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕AD交于E，BC交于F，边AB折叠后与BC交于点G。
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE:DM:EM = 3:4:5
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB = 2，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示。
思路分析：折痕EF两旁部分图形是关于EF对称的，对于(2)，通过相似三角形，把CMG的周长用相关代数式表示。
例3 求函数f (x) =+ 的最小值。
思路分析：易知f (x) =+ 函数值即为x轴上的点（x,0）到（0,1）和到（4,2）点的距离之和的最小值，只需要作出（0,1）关于轴的对称点（0,-1），然后求出（4,2）与（0,-1）两点之间的距离即可。
在平时的数学解题的过程中，使用对称性解题有时可以大大减少计算衣服量，同时也能体会到简洁的数学思路带给人们的便捷。
4 对称是一种思维的创新和升华
函数y = f (x)与函数y = f (-x)的图像关于轴对称、点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称；
函数y = f (x)与函数y = - f (x)的图像关于轴对称、点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称；
函数y = f (x)与函数y = - f (-x)的图像关于原点对称，点(x,y)与(-x,-y)关于原点对称；
函数y = f (x)与函数y = f -1 (x)的图像关于直线y = x对称，点(x,y)与点关于直线y = x对称。
上述函数图像之间的对称关系与两点之间的对称关系充分体现了点与线之间的内在联系，以及它们之间在对称关系上的和谐统一。同时，在解决一些具体问题的时候，也经常由点的对称进而联想到线的对称，把大的问题转化成小的问题来解决，使复杂问题简单化，从而收到较好的效果。
例4 已知f (x) = x2 + 3x + 1函数y = g(x)与函数y = f (x)的图像关于轴对称，求函数y = g(x)的表达式。
思路分析：
思路（1）：因为函数y = g(x)与函数y = f (x)的图像关于y轴对称，所以，可知g(x) = f (-x)。
思路（2）：设(x,y)是函数y = g(x)图像上任意一点，因为函数y = g(x)与函数y = f (x)的图像关于y轴对称，所以(x,y)关于y轴的对称点(-x,y)在函数y = f (x)的图像上，即(x,y)满足y = f (-x)。
两种思路，一种是直接利用函数图像的对称，一种是借助点的对称，划归成函数图象的对称，都能把问题非常自然的解决，两种解法都是在充分理解对称概念后的灵活探索。
在数学概念的教学中，善于发现平淡中的新奇，同时利用这些新奇的东西培养和激发学生的求知欲和探索欲。在老师的引导下，发现普通数学概念中美的东西，从而，能更好地利用好有限的时间和空间，激发出学生无限的渴求知识的欲望。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词 数学教学 数学 对称美
中图分类号：G633.6文献标识码：A
Application of Symmetry in Mathematics Teaching
LI Yaqing
(Qingyanggang Middle School,Kunshan, Jiangsu 215300)
Abstract In the middle school mathematics, the symmetry of the graph, symmetric solutions in symmetric way of thinking, symmetric digital sorting, give a new sense of beauty and harmony. The article states the teachers should guide students to discover mathematical concepts of ordinary American things, better use of the limited time and space, inspire the students desire unlimited thirst for knowledge.
Key words mathematics teaching; math; symmetry
对称作为中学数学中不可或缺的一个数学概念，在数学教学中也扮演了一个重要的角色，适时而巧妙地应用对称的概念在数学教学中，不仅有利于更好地理解数学概念，而且能培养学生对数学浓厚的学习兴趣和进一步探索数学奥秘的强大动力。
1 对称是一种令人叹为观止的美
数学中很多的图形，从最简单的正方形、圆、直线，到正方体、长方体、球、平面，无不体现出美妙的对称与和谐。
例如，函数y = |x2 - 4|x|-5|的图像为
y = tanx的图像为
最简单的图象给人一种简洁的对称美感，在日后的学习中会遇到更多的轴对称、中心对称图形，使人们的视野更为开阔。
2 对称是一种审美的理念
黑格尔说：“审美带有令人解放的性质”。一切事物倘能与美相接便立即会焕发出动人的光彩，引得主体跃跃欲试，产生追求的强烈愿望，这正是美的神奇力量之所在。“对称”既是数学概念，又是美学的一个重要概念。
在现实生活中，常常可以看到对称美。以学生的学习的心理过程来看，认知过程与审美情感本身就是深刻地渗透在一起的。学生对知识的掌握理解以及由知识到智力的转化都需要借助情感媒介而实现，而审美情感正是知识向智力转化的最有效的动力。
著名的“将军饮马问题”：据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？
提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。但是，这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢？
把河看作是一条直线，经过A点到河边饮水，再到达B点，可以作点A关于直线的对称点C，连接直线BC，BC和直线的交点D就是要饮水的地方。如图：
因为点A关于直线的对称点C，所以线段CD = AD，且C、D、B三点共线，所以在D点饮水是走的距离最短。
高斯在计算中，也利用了对称的思想，1+100=101;2+99=101; 3+98=101; ……99+2=101; 100+1=101,于是就得到了50个101，就巧妙地计算出了前100个自然数之和，同时也奠定了后来的等差数列求和公式的推导思路。
同时，人们在研究数字的过程中也发现了很多美好的东西。有人在计算12=1；112=121；1112=12321；11112=1234321；111112=123454321；因此不难猜测1111112=12345654321等，在基本的数字计算中，发现了回文数的对称美，再结合这些巧妙的计算，不禁令人感叹数字奇妙的对称美。
3 对称是一种最常见的解题方法
对称的思想在解决数学问题中也起着重要的作用，同时也变成了一种有效的解题方法。
例1如图。长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点击出，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处。每次球撞击桌面时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（如图∠= ∠ ）。已知AB = 3，BC = 4，求此球所走路线的总长度。
（第19届江苏省数学竞赛题）
思路分析：利用对称性，线段PQ关于AB的对称线段与共线，同理，任何两条相邻的线段都具备如此性质。设S关于AB的对称点是T,则TPQ共线，S关于CD的对称点是M，M关于BC的对称点是N，所以，TPQN共线，且线段TN即为所求路线的程度，由此即可求得此球所走路线的总长度。
例2、将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕AD交于E，BC交于F，边AB折叠后与BC交于点G。
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE:DM:EM = 3:4:5
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB = 2，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示。
思路分析：折痕EF两旁部分图形是关于EF对称的，对于(2)，通过相似三角形，把CMG的周长用相关代数式表示。
例3 求函数f (x) =+ 的最小值。
思路分析：易知f (x) =+ 函数值即为x轴上的点（x,0）到（0,1）和到（4,2）点的距离之和的最小值，只需要作出（0,1）关于轴的对称点（0,-1），然后求出（4,2）与（0,-1）两点之间的距离即可。
在平时的数学解题的过程中，使用对称性解题有时可以大大减少计算衣服量，同时也能体会到简洁的数学思路带给人们的便捷。
4 对称是一种思维的创新和升华
函数y = f (x)与函数y = f (-x)的图像关于轴对称、点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称；
函数y = f (x)与函数y = - f (x)的图像关于轴对称、点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称；
函数y = f (x)与函数y = - f (-x)的图像关于原点对称，点(x,y)与(-x,-y)关于原点对称；
函数y = f (x)与函数y = f -1 (x)的图像关于直线y = x对称，点(x,y)与点关于直线y = x对称。
上述函数图像之间的对称关系与两点之间的对称关系充分体现了点与线之间的内在联系，以及它们之间在对称关系上的和谐统一。同时，在解决一些具体问题的时候，也经常由点的对称进而联想到线的对称，把大的问题转化成小的问题来解决，使复杂问题简单化，从而收到较好的效果。
例4 已知f (x) = x2 + 3x + 1函数y = g(x)与函数y = f (x)的图像关于轴对称，求函数y = g(x)的表达式。
思路分析：
思路（1）：因为函数y = g(x)与函数y = f (x)的图像关于y轴对称，所以，可知g(x) = f (-x)。
思路（2）：设(x,y)是函数y = g(x)图像上任意一点，因为函数y = g(x)与函数y = f (x)的图像关于y轴对称，所以(x,y)关于y轴的对称点(-x,y)在函数y = f (x)的图像上，即(x,y)满足y = f (-x)。
两种思路，一种是直接利用函数图像的对称，一种是借助点的对称，划归成函数图象的对称，都能把问题非常自然的解决，两种解法都是在充分理解对称概念后的灵活探索。
在数学概念的教学中，善于发现平淡中的新奇，同时利用这些新奇的东西培养和激发学生的求知欲和探索欲。在老师的引导下，发现普通数学概念中美的东西，从而，能更好地利用好有限的时间和空间，激发出学生无限的渴求知识的欲望。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文