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【摘要】数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数形结合有助于抽象、深奥的数学问题显性化;有助于繁杂、困难的数学问题简明化;有利于借助形象思维解决原本需要抽象思维才能解决的繁难问题，架起形象思维向抽象思维过渡的桥梁;有利于提升教学实效，建构高效课堂。
【关键词】以形助数;以数解形;数形结合;教学实效
中图分类号：G623
文献标识码：A
文章编号：0493-2099（2020）30-0033-02
Improve Teaching Effectiveness by Combining Numbers and Shapes
（The Second Experimental Primary School， Haicang District， Xiamen City， Fujian Province，China） HUANG Lileng
【Abstract】The idea of combining numbers and shapes is a way of solving problems through the correspondence and mu-tual transformation between numbers and shapes. The COmbinatiOn of number and shape helps to make abstract and esotericmathematical problems explicit; helps to simplify complicated and difficult mathematical problems; helps to use image think-ing to solve difficult problems that originally required abstract thinking to solve， and set up image thinking to abstract a bridgeof thinking transition; it is conducive to improving teaching effectiveness and constructing efficient classrooms.
【Keywords】Use shape to help number; Use number to solve shape; Combination of number and shape; Teaching effec-tiveness
《数学课程标准（2011版）》指出，数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。抽象性是数学学科具有的特点，也是小学生在数学学习中面对的现实问题。小学生的逻辑思维能力较弱，形象思维能力占优势，数形结合思想作为一种重要的数学思想，有利于抽象思维和形象思维的协调发展，有利于优化问题解决方法。小学数学教学中，巧借数形结合，有助于提升教学实效性，建构高效课堂。
一、以形助数，使抽象的概念定律显性化
小学生的形象思维占优势，对于抽象的概念、定律的理解具有一定難度。某些难以理解的、抽象的概念、定律，可以借助形的几何直观性来阐明，使抽象、费解的概念、定律直观化、形象化。以形助数，有效引导学生对抽象的数学知识的直观理解。
如人教版四年级下册的《乘法分配律》的教学，学生知道等式两边算式相等，但抽象出数学模型比较困难。教学时，创设学校梦想教室重新装修的情境，引出要解决两个新装修墙面的总面积的问题，学生得出两种不同的解决方法（如下图）：
左面墙看成是长6米，宽3米的长方形，右面墙看成是长9米，宽3米的长方形，6x3 9x3就是两面墙的面积之和;也可以把两面墙看作一个整体，（6 9）x3就是两个小长方形拼成的大长方形的面积，从图上直观看出大长方形的面积就等于两个小长方形的面积之和。借助图形直观理解“分”开算和“合”着算的过程，也正是学生感知乘法分配律的过程，有助于学生理解和把握（6 9）x3=6x3 9x3这个等式的含义。这样借助形的支撑，以形助数，在观察算式特点的基础上概括抽象出乘法分配律，帮助学生把握运算意义与法则，切实提升教学实效。
二、以数解形，使复杂的几何图形简明化
空间观念是学生应具备的基本数学素养。教师要善于引导学生通过丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。借助数的运算，常常可以把几何图形的内在联系表示为简单的数量关系，化难为易，“以数解形”。
如一年级上册的练习，右图由几个小正方体拼成？
由于低年级学生受认识水平的影响，他们对于抽象的空间图形的理解比较模糊，学生在练习时容易出现漏数的情况。但是如果引导学生把图形分层来思考，最上层有2个，中间层和最下层都有9个，学生通过加法计算，容易得出答案。通过以数解形，既解决了问题，又发展了空间观念，提升了学生的学力。
三、数形互化，使枯燥的计算教学形象化
运算能力是每个公民应该具备的基本能力，计算能力是其他数学知识学习的必要基础。计算教学不仅仅是教会学生一种知识技能，更重要的是引导学生在内化新知的过程中进行深刻的、深入的数学思考，促进学生数学思维的发展，提升学生的数学素养。在计算教学时，数形互化，数字和图形有效融合，可以使原本枯燥乏味的计算教学变得形象、生动。如：
学生通过动手折一折、涂一涂，很快发现：第（1）种方法，把4/5平均分成2份，就是把4个1/5平均分成2份，每份是2个1/5，就是2/5。即4/5÷2=4÷2/5=2/5。第（2）种方法，把4/5平均分成2份，每份就是4/5的1/2，也就是4/5x1/2，即4/5÷2=4/5x1/2=4/10=2/5。 借助简单的图形，直观地呈现了4/5÷2的计算过程，清楚地诠释了这样计算的道理，使学生对算法和算理有了更深入的认识和更本质的理解，助力学生对算理的理解和算法的掌握，使枯燥乏味、抽象难懂的计算教学形象化，具有教学实效性。
四、数形结合，使繁杂的数学问题简约化
问题解决是小学数学学习的重要目标。有些问题条件隐蔽、关系复杂，学生从字面理解难以入手。教学时，引导学生把需要解决的问题“画”出来，借助图形、线段等直观图示表示数量关系，把复杂的数学问题简明化、形象化，有助于学生理解题意、分析关系，探索问题解决的思路，探寻问题解决的方案。数形结合，着实提高学生的问题解决能力。
如：甲乙两车从A、B两地同时相向而行，在距离中点5千米处相遇，已知甲乙两车的速度比是8：9，两地之间的距离是多少千米？
解题时，很多学生不能根据题意找出“时间一定”“路程和速度成正比例”这些隐蔽信息，不能根据“速度比是8：9”，引申出两车所行驶的路程比也是8：9来分析，视角只停留在速度比的角度;而“离中点5千米”学生也是简单地认为乙比甲多行了5千米，忽略了距离中点5千米这个关键信息，学生理解困难。
如果借助线段图（如右图）：
甲乙相遇时，两者所用的时间相同，也就是时间是一定的，那么路程和速度是两个成正比例的量，速度比和路程比也就一样。所以，甲行驶的路程：乙行驶的路程=8：9。再者，从图中可以清楚看出乙比甲多行驶的这一份并不是5千米，而是两个5千米也就是10千米。一份是10千米，AB兩地的距离是17份，所以AB两地的路程是10x17=170千米。借助线段图，数形结合，引导学生从不同角度深入剖析，深化对问题的认识和理解，探寻问题解决的方法，培养了学生问题探究和解决能力，从而推动教学的实效性。
“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”数学家华罗庚的这句话深刻阐述了数形之间紧密联系、相辅相成的辩证关系。在教学中渗透数形结合思想，有利于加深学生对知识的理解和内化，有助于发展学生的数学能力和提升学生的思维品质，对学生后续的学习有着深远的影响。
注：本文为全国教育信息技术研究“十二五”规划重点课题“基于微课的交互式媒体有效应用的质性研究”的子课题“有效利用白板，促进互动教学的实践研究”（课题立项号：136221514-0023）研究成果。
参考文献：
[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[2]义务教育课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：黄丽冷（1980.07-），女，汉族，福建厦门人，本科，一级教师，研究方向：小学数学教学。
（责任编辑 袁霜）
【关键词】以形助数;以数解形;数形结合;教学实效
中图分类号：G623
文献标识码：A
文章编号：0493-2099（2020）30-0033-02
Improve Teaching Effectiveness by Combining Numbers and Shapes
（The Second Experimental Primary School， Haicang District， Xiamen City， Fujian Province，China） HUANG Lileng
【Abstract】The idea of combining numbers and shapes is a way of solving problems through the correspondence and mu-tual transformation between numbers and shapes. The COmbinatiOn of number and shape helps to make abstract and esotericmathematical problems explicit; helps to simplify complicated and difficult mathematical problems; helps to use image think-ing to solve difficult problems that originally required abstract thinking to solve， and set up image thinking to abstract a bridgeof thinking transition; it is conducive to improving teaching effectiveness and constructing efficient classrooms.
【Keywords】Use shape to help number; Use number to solve shape; Combination of number and shape; Teaching effec-tiveness
《数学课程标准（2011版）》指出，数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。抽象性是数学学科具有的特点，也是小学生在数学学习中面对的现实问题。小学生的逻辑思维能力较弱，形象思维能力占优势，数形结合思想作为一种重要的数学思想，有利于抽象思维和形象思维的协调发展，有利于优化问题解决方法。小学数学教学中，巧借数形结合，有助于提升教学实效性，建构高效课堂。
一、以形助数，使抽象的概念定律显性化
小学生的形象思维占优势，对于抽象的概念、定律的理解具有一定難度。某些难以理解的、抽象的概念、定律，可以借助形的几何直观性来阐明，使抽象、费解的概念、定律直观化、形象化。以形助数，有效引导学生对抽象的数学知识的直观理解。
如人教版四年级下册的《乘法分配律》的教学，学生知道等式两边算式相等，但抽象出数学模型比较困难。教学时，创设学校梦想教室重新装修的情境，引出要解决两个新装修墙面的总面积的问题，学生得出两种不同的解决方法（如下图）：
左面墙看成是长6米，宽3米的长方形，右面墙看成是长9米，宽3米的长方形，6x3 9x3就是两面墙的面积之和;也可以把两面墙看作一个整体，（6 9）x3就是两个小长方形拼成的大长方形的面积，从图上直观看出大长方形的面积就等于两个小长方形的面积之和。借助图形直观理解“分”开算和“合”着算的过程，也正是学生感知乘法分配律的过程，有助于学生理解和把握（6 9）x3=6x3 9x3这个等式的含义。这样借助形的支撑，以形助数，在观察算式特点的基础上概括抽象出乘法分配律，帮助学生把握运算意义与法则，切实提升教学实效。
二、以数解形，使复杂的几何图形简明化
空间观念是学生应具备的基本数学素养。教师要善于引导学生通过丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。借助数的运算，常常可以把几何图形的内在联系表示为简单的数量关系，化难为易，“以数解形”。
如一年级上册的练习，右图由几个小正方体拼成？
由于低年级学生受认识水平的影响，他们对于抽象的空间图形的理解比较模糊，学生在练习时容易出现漏数的情况。但是如果引导学生把图形分层来思考，最上层有2个，中间层和最下层都有9个，学生通过加法计算，容易得出答案。通过以数解形，既解决了问题，又发展了空间观念，提升了学生的学力。
三、数形互化，使枯燥的计算教学形象化
运算能力是每个公民应该具备的基本能力，计算能力是其他数学知识学习的必要基础。计算教学不仅仅是教会学生一种知识技能，更重要的是引导学生在内化新知的过程中进行深刻的、深入的数学思考，促进学生数学思维的发展，提升学生的数学素养。在计算教学时，数形互化，数字和图形有效融合，可以使原本枯燥乏味的计算教学变得形象、生动。如：
学生通过动手折一折、涂一涂，很快发现：第（1）种方法，把4/5平均分成2份，就是把4个1/5平均分成2份，每份是2个1/5，就是2/5。即4/5÷2=4÷2/5=2/5。第（2）种方法，把4/5平均分成2份，每份就是4/5的1/2，也就是4/5x1/2，即4/5÷2=4/5x1/2=4/10=2/5。 借助简单的图形，直观地呈现了4/5÷2的计算过程，清楚地诠释了这样计算的道理，使学生对算法和算理有了更深入的认识和更本质的理解，助力学生对算理的理解和算法的掌握，使枯燥乏味、抽象难懂的计算教学形象化，具有教学实效性。
四、数形结合，使繁杂的数学问题简约化
问题解决是小学数学学习的重要目标。有些问题条件隐蔽、关系复杂，学生从字面理解难以入手。教学时，引导学生把需要解决的问题“画”出来，借助图形、线段等直观图示表示数量关系，把复杂的数学问题简明化、形象化，有助于学生理解题意、分析关系，探索问题解决的思路，探寻问题解决的方案。数形结合，着实提高学生的问题解决能力。
如：甲乙两车从A、B两地同时相向而行，在距离中点5千米处相遇，已知甲乙两车的速度比是8：9，两地之间的距离是多少千米？
解题时，很多学生不能根据题意找出“时间一定”“路程和速度成正比例”这些隐蔽信息，不能根据“速度比是8：9”，引申出两车所行驶的路程比也是8：9来分析，视角只停留在速度比的角度;而“离中点5千米”学生也是简单地认为乙比甲多行了5千米，忽略了距离中点5千米这个关键信息，学生理解困难。
如果借助线段图（如右图）：
甲乙相遇时，两者所用的时间相同，也就是时间是一定的，那么路程和速度是两个成正比例的量，速度比和路程比也就一样。所以，甲行驶的路程：乙行驶的路程=8：9。再者，从图中可以清楚看出乙比甲多行驶的这一份并不是5千米，而是两个5千米也就是10千米。一份是10千米，AB兩地的距离是17份，所以AB两地的路程是10x17=170千米。借助线段图，数形结合，引导学生从不同角度深入剖析，深化对问题的认识和理解，探寻问题解决的方法，培养了学生问题探究和解决能力，从而推动教学的实效性。
“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”数学家华罗庚的这句话深刻阐述了数形之间紧密联系、相辅相成的辩证关系。在教学中渗透数形结合思想，有利于加深学生对知识的理解和内化，有助于发展学生的数学能力和提升学生的思维品质，对学生后续的学习有着深远的影响。
注：本文为全国教育信息技术研究“十二五”规划重点课题“基于微课的交互式媒体有效应用的质性研究”的子课题“有效利用白板，促进互动教学的实践研究”（课题立项号：136221514-0023）研究成果。
参考文献：
[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[2]义务教育课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：黄丽冷（1980.07-），女，汉族，福建厦门人，本科，一级教师，研究方向：小学数学教学。
（责任编辑 袁霜）