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例1关于x的二次方程x2+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有零点，求实数m的取值范围.
解法1：可以根据二次函数根分布讨论求解.
设f（x）=x2+（m-1）x+1，x∈[0，2].
（1）f（x）=0在区间[0，2]上有一解.
因为f（0）=1>0，
所以f（2）≤0，即4+2（m-1）+1≤0m≤-32.
（2）f（x）=0在区间[0，2]上有两解，则
Δ≥0（m-1）2-4≥0m≥3或m≤-1，
0<-m-12<2-3 f （2）≥04+（m-1）×2+1≥0m≥-32，
所以-32≤m≤-1.
由（1）（2）知：m≤-1.
解法2：分析：因为二次方程x2+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有零点，
所以转化为x2+1=（1-m）x ；
当x=0时，上面的等式不成立，所以x≠0.
当x≠0时，x2+1=（1-m）x可以转化为
x+1x=1-m；
在（0，2]上有零点，即
x+1x=1-m有解，
所以在（0，2]上需要找到f （x）=
x+1x的值域为[2，+∞）.
所以1-m≥2，即m≤-1.
图1
解法3：可以通过数形结合转化为两个函数求交点.
将已知二次方程x2+（m-1）x+1=0转化为
y=x2+1与y=（1-m）x两个函数在（0，2]求交点.如图1：从图象可以看出当直线y=（1-m）x绕坐标原点逆时针旋转时与
y=x2+1产生交点，所以直线的斜率会逐渐增大.当直线
y=（1-m）x与y=x2+1相切时直线的斜率最小为
k=2.即1-m≥2，所以m≤-1.
例2
已知函数f （x）=x2+ax+3-a，当x∈[-2，2]时，函数至少有一个零点，求a的取值范围.
解析：（1）有一个零点，则f （-2）f （2）<0或f（-2）=0或f（2）=0，
所以a≤-7或a>73.
（2）有两个零点
-2≤-a2≤2，
f （-2）≥0，
f （2）>0，
Δ≥0，
所以2≤a≤73.
综合以上：a≤-7或a≥2.
解法2：函数f （x）=x2+ax+3-a，在
x∈[-2，2]上有零点.即二元一次方程
x2+ax+3-a=0，在x∈[-2，2]有解，
将其转化为x2+3=-a（x-1）.
若x=1，则上面的等式不成立，所以x≠1.
若x≠1，可以转化为
x2+3x-1=-a，
即（x-1）+4x-1=-a-2.
令g（x）=（x-1）+4x-1，
当2≥x>1时，g（x）≥5，即-a-2≥5，
所以a≤-7.
当1>x≥-2时，
-133≤g（x）≤-2
，即-a-2≤-4，
所以a≥2.
综合以上：a≤-7或a≥2.
解法3：可以通过数形结合转化为两个函数求交点.
图2
将已知二次方程x2+ax+3-a=0转化为
y=x2+3与y=-a（x-1）
两个函数在[-2，2]求交点.如图2：从图象可以看出当直线
y=-a（x-1）绕点（1，0）逆时针旋转时与
y=x2+3产生交点，所以直线的斜率会逐渐增大.当直线
y=-a（x-1）与y=x2+3相切时直线的斜率最小为
k=7相切时直线的斜率最大为k=-2.
即-a≥7或-a≤-2，
所以a≥2或a≤-7.
[甘肃省兰州西北中学 （730050）]
解法1：可以根据二次函数根分布讨论求解.
设f（x）=x2+（m-1）x+1，x∈[0，2].
（1）f（x）=0在区间[0，2]上有一解.
因为f（0）=1>0，
所以f（2）≤0，即4+2（m-1）+1≤0m≤-32.
（2）f（x）=0在区间[0，2]上有两解，则
Δ≥0（m-1）2-4≥0m≥3或m≤-1，
0<-m-12<2-3
所以-32≤m≤-1.
由（1）（2）知：m≤-1.
解法2：分析：因为二次方程x2+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有零点，
所以转化为x2+1=（1-m）x ；
当x=0时，上面的等式不成立，所以x≠0.
当x≠0时，x2+1=（1-m）x可以转化为
x+1x=1-m；
在（0，2]上有零点，即
x+1x=1-m有解，
所以在（0，2]上需要找到f （x）=
x+1x的值域为[2，+∞）.
所以1-m≥2，即m≤-1.
图1
解法3：可以通过数形结合转化为两个函数求交点.
将已知二次方程x2+（m-1）x+1=0转化为
y=x2+1与y=（1-m）x两个函数在（0，2]求交点.如图1：从图象可以看出当直线y=（1-m）x绕坐标原点逆时针旋转时与
y=x2+1产生交点，所以直线的斜率会逐渐增大.当直线
y=（1-m）x与y=x2+1相切时直线的斜率最小为
k=2.即1-m≥2，所以m≤-1.
例2
已知函数f （x）=x2+ax+3-a，当x∈[-2，2]时，函数至少有一个零点，求a的取值范围.
解析：（1）有一个零点，则f （-2）f （2）<0或f（-2）=0或f（2）=0，
所以a≤-7或a>73.
（2）有两个零点
-2≤-a2≤2，
f （-2）≥0，
f （2）>0，
Δ≥0，
所以2≤a≤73.
综合以上：a≤-7或a≥2.
解法2：函数f （x）=x2+ax+3-a，在
x∈[-2，2]上有零点.即二元一次方程
x2+ax+3-a=0，在x∈[-2，2]有解，
将其转化为x2+3=-a（x-1）.
若x=1，则上面的等式不成立，所以x≠1.
若x≠1，可以转化为
x2+3x-1=-a，
即（x-1）+4x-1=-a-2.
令g（x）=（x-1）+4x-1，
当2≥x>1时，g（x）≥5，即-a-2≥5，
所以a≤-7.
当1>x≥-2时，
-133≤g（x）≤-2
，即-a-2≤-4，
所以a≥2.
综合以上：a≤-7或a≥2.
解法3：可以通过数形结合转化为两个函数求交点.
图2
将已知二次方程x2+ax+3-a=0转化为
y=x2+3与y=-a（x-1）
两个函数在[-2，2]求交点.如图2：从图象可以看出当直线
y=-a（x-1）绕点（1，0）逆时针旋转时与
y=x2+3产生交点，所以直线的斜率会逐渐增大.当直线
y=-a（x-1）与y=x2+3相切时直线的斜率最小为
k=7相切时直线的斜率最大为k=-2.
即-a≥7或-a≤-2，
所以a≥2或a≤-7.
[甘肃省兰州西北中学 （730050）]