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【摘要】通过分析分部积分公式的理论依据与推导过程,得出运用公式时要按照“反、对、幂、三、指”的优先顺序选取u,其余的凑微分作为dv,并归纳分部积分法的具体步骤.
【关键词】分部积分法;分部积分公式;u和dv选取
当不定积分的被积函数是两种不同类型的函数的乘积(如∫xexdx,∫x2sinxdx等)时,就要运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu进行积分求解.然而,在教学中发现初学者往往无法恰当选取u与dv,造成积分计算困难,甚至无法积分.本文结合多年的教学经验,总结了在运用分部积分公式时恰当选取u与dv的关键和技巧,以帮助初学者能够快速掌握分部积分公式和分部积分法.
1分部积分公式的理论依据和推导过程
分部积分公式可由乘积微分公式推导而得,过程如下:
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数,那么两个函数的乘积微分公式为d(uv)=udv+vdu,移项整理,得udv=d(uv)-vdu.对这个等式两边求不定积分,得∫udv=uv-∫vd,这个公式称为分部积分公式,是一种基本积分运算的法则.利用此公式求积分的方法就称为分部积分法,它可以将求∫udv的积分问题转化为求∫vdu的积分,当∫vdu较容易积分时,分部积分公式就有化繁为简,化难为易的效果,顺利求出不定积分.
2运用分部积分公式时如何恰当选取u与dv
例1 求∫xcosxdx.
解 设u=x,dv=cosxdx=d(sinx),则du=dx,v=sinx,代入分部积分公式有
∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.
本题若设u=cos,dv=xdx,则有du=-sinxdx及v=12x2,代入分部积分公式有∫xcosxdx=12x2cosx+12∫x2sinxdx,显然,新得到的积分∫x2sinxdx反而更难求.因此,运用分部积分公式的关键是恰当选取u和dv,选取时主要考虑以下两点:(1)v用凑微分法容易求得;(2)∫vdu要比∫udv更容易进行积分.
根据以上两点,u的选取顺序为“反、对、幂、三、指”,即u应该按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的优先顺序进行选取.如例1,求∫xcosxdx时,被积函数是幂函数和三角函数的乘积,所以选取幂函数x作为u,将cosdx进行凑微分得到d(sinx)作为dv,代入分部积分公式继续积分即可.
归纳起来,分部积分法的步骤如下:第一步,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序确定u,剩下所有的都是dv,将它们进行凑微分;第二步,求出v和du,为代入分部积分做准备;第三步,将u,v,du,dv代入分部积分公式计算.
例2 求∫xexdx.
分析 被积函数是幂函数x和指数函数ex的乘积,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取幂函数x作为u,将exdx凑微分作为dv.
解 设u=x,dv=exdx=d(ex),则有du=dx,v=ex.
代入分部积分公式,得
∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C.
例3 求∫arccosxdx.
分析 被积函数可视为常数1与反三角函数arccosx乘积,常数1可视为幂函数x0,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取反三角函数arccosx作为u,将1•dx凑微分作为dv.
解 设u=arccosx,dv=1•dx=dx,则有
du=d(arccosx)=11-x2dx,v=1,
代入分部积分公式,得
∫arccosxdx
=xarccosx-∫xd(arccosx)
=xarccosx+∫x1-x2dx
=xarccosx+∫(1-x2)-12-12d(1-x2)
=xarccosx-1-x2+C.
例4 求∫exsinxdx.
分析 被积函数为指数函数ex和三角函数sinx的乘积,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取三角函数sinx作为u,将exdx凑微分作为dv.
解 设u=sinx,dv=exdx=d(ex),则有du=d(sinx)=cosxdx,v=ex,代入分部积分公式,可得
∫exsinxdx
=∫sinxd(ex)
=exsinx-∫exd(sinx)
=exsinx-∫excosxdx
=exsinx-∫cosxd(ex)
=exsinx-excosx-∫exd(cosx)
=exsinx-excosx-∫exsinxdx.
所以有∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx,出现了循环现象,移项整理得∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C.
【参考文献】
[1]侯风波.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]马纪英,薛力峰.分部积分法的应用技巧.青海师专学报,2009(5).
【关键词】分部积分法;分部积分公式;u和dv选取
当不定积分的被积函数是两种不同类型的函数的乘积(如∫xexdx,∫x2sinxdx等)时,就要运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu进行积分求解.然而,在教学中发现初学者往往无法恰当选取u与dv,造成积分计算困难,甚至无法积分.本文结合多年的教学经验,总结了在运用分部积分公式时恰当选取u与dv的关键和技巧,以帮助初学者能够快速掌握分部积分公式和分部积分法.
1分部积分公式的理论依据和推导过程
分部积分公式可由乘积微分公式推导而得,过程如下:
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数,那么两个函数的乘积微分公式为d(uv)=udv+vdu,移项整理,得udv=d(uv)-vdu.对这个等式两边求不定积分,得∫udv=uv-∫vd,这个公式称为分部积分公式,是一种基本积分运算的法则.利用此公式求积分的方法就称为分部积分法,它可以将求∫udv的积分问题转化为求∫vdu的积分,当∫vdu较容易积分时,分部积分公式就有化繁为简,化难为易的效果,顺利求出不定积分.
2运用分部积分公式时如何恰当选取u与dv
例1 求∫xcosxdx.
解 设u=x,dv=cosxdx=d(sinx),则du=dx,v=sinx,代入分部积分公式有
∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.
本题若设u=cos,dv=xdx,则有du=-sinxdx及v=12x2,代入分部积分公式有∫xcosxdx=12x2cosx+12∫x2sinxdx,显然,新得到的积分∫x2sinxdx反而更难求.因此,运用分部积分公式的关键是恰当选取u和dv,选取时主要考虑以下两点:(1)v用凑微分法容易求得;(2)∫vdu要比∫udv更容易进行积分.
根据以上两点,u的选取顺序为“反、对、幂、三、指”,即u应该按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的优先顺序进行选取.如例1,求∫xcosxdx时,被积函数是幂函数和三角函数的乘积,所以选取幂函数x作为u,将cosdx进行凑微分得到d(sinx)作为dv,代入分部积分公式继续积分即可.
归纳起来,分部积分法的步骤如下:第一步,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序确定u,剩下所有的都是dv,将它们进行凑微分;第二步,求出v和du,为代入分部积分做准备;第三步,将u,v,du,dv代入分部积分公式计算.
例2 求∫xexdx.
分析 被积函数是幂函数x和指数函数ex的乘积,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取幂函数x作为u,将exdx凑微分作为dv.
解 设u=x,dv=exdx=d(ex),则有du=dx,v=ex.
代入分部积分公式,得
∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C.
例3 求∫arccosxdx.
分析 被积函数可视为常数1与反三角函数arccosx乘积,常数1可视为幂函数x0,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取反三角函数arccosx作为u,将1•dx凑微分作为dv.
解 设u=arccosx,dv=1•dx=dx,则有
du=d(arccosx)=11-x2dx,v=1,
代入分部积分公式,得
∫arccosxdx
=xarccosx-∫xd(arccosx)
=xarccosx+∫x1-x2dx
=xarccosx+∫(1-x2)-12-12d(1-x2)
=xarccosx-1-x2+C.
例4 求∫exsinxdx.
分析 被积函数为指数函数ex和三角函数sinx的乘积,根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取三角函数sinx作为u,将exdx凑微分作为dv.
解 设u=sinx,dv=exdx=d(ex),则有du=d(sinx)=cosxdx,v=ex,代入分部积分公式,可得
∫exsinxdx
=∫sinxd(ex)
=exsinx-∫exd(sinx)
=exsinx-∫excosxdx
=exsinx-∫cosxd(ex)
=exsinx-excosx-∫exd(cosx)
=exsinx-excosx-∫exsinxdx.
所以有∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx,出现了循环现象,移项整理得∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C.
【参考文献】
[1]侯风波.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]马纪英,薛力峰.分部积分法的应用技巧.青海师专学报,2009(5).