函数单调性质、奇偶性质是函数的重要性质,也是高考的必考知识点之一。本文以典例进行分析,以期帮助同学们进行解法指导,更好地复习相关知识。
　　【例1】 求下列函数的单调递增区间：
　　(1) y=-x2-2x+3；(2) y=|x2-4x+3|．
　　解析 (1) 由-x2-2x+3≥0得
　　-3≤x≤1,即函数定义域为［-3,1］,
　　又y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1,故函数的单调递增区间为［-3,-1］．
　　
　　(2) 函数y=|x2-4x+3|的图象如图所示,根据图象可知单调递增区间为［1,2］,［3,+∞)．
　　点评 函数的单调区间是其定义域的子集,所以在求函数单调区间时,一定要先考虑函数的定义域。另外,若函数的单调区间不止一个时,要分开写,即用“,”隔开,不能用“∪”表示。
　　【例2】 已知f(x)=ax,x≥2
　　(3-a)x+2,x<2
　　(a>0,且a≠1)在R上单调递增,求实数a的取值范围．
　　解析 由题意知f(x)=ax在［2,+∞)上单调递增,则a>1.f(x)=(3-a)x+2在(-∞,2)上单调增,则3-a>0,即a<3.且(3-a)×2+2≤a2,解得a≥2或a≤-4.综上得2≤a<3．
　　点评 函数在某个区间上单调,要能从形态上直观去体会、感知,即利用函数图象(或脑海浮现的单调增函数图象形态),这样才能更好地抓住问题本质。同时明确分段函数是一个函数,而不是几个函数。否则,本题极易漏掉条件“(3-a)×2+2≤a2”而导致错解。
　　【例3】 已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数,试比较f(-1),f(0),f(2)的大小．
　　解析 将y=f(x-2)图象向左移动2个单位可得到函数y=f(x)图象,又因y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数,则y=f(x)在［-2,0］上单调递减,又y=f(x)是偶函数,则y=f(x)在［0,2］上单调递增,则f(0)　　点评 本题借助图象平移得到y=f(x)在定区间上的单调性,再利用函数在某个单调区间上的单调性进行比较大小。值得关注的是偶函数在对称区间的单调性相反,奇函数在对称区间上单调性相同。
　　【例4】 若函数f(x)=k-2x1+k•2x(a为常数)在定义域上为奇函数,则k=．
　　解法1 因函数是奇函数,则
　　f(-x)=k-2-x1+k•2-x=-f(x)=-k-2x1+k•2x,
　　得k•2x-12x+k=-k-2x1+k•2x,
　　即k2•2x-2-x=2x-k2•2-x,得k2=1,故k=±1,经验证都满足．
　　解法2 (1) 若0在定义域内,则由f(0)=k-11+k=0,得k=1；(2) 若0不在定义域内,由题意得1+k•20=0,即k=-1,此时f(x)=-1-2x1-2x是奇函数,故k=±1．
　　点评 若奇函数的定义域内含0,由定义可得f(0)=0,可称为奇函数特有性质。当然使用这个性质时一定要注意它的大前提,即0一定在定义域内。准确恰当使用隐含条件可使问题快速获解。
　　【例5】 已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,
　　f(x)<0,f(1)=-23．
　　(1) 判断函数的奇偶性；
　　(2) 求f(x)在［-3,3］上的最大值与最小值．
　　解析 (1) 令x=y=0,得f(0)=0．
　　令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数．
　　(2) 设x1　　f(x2)-f(x1)=f［x1+(x2-x1)］-f(x1)
　　=f(x1)+f(x2-x1)-f(x1)
　　=f(x2-x1),又x2-x1>0,
　　所以f(x2-x1)<0,
　　则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)　　点评 处理抽象函数问题,常用赋值法。根据函数奇偶性与单调性的定义,灵活进行赋值,进而判断出函数的奇偶性与单调性,函数单调性是破解函数最值利器之一,巧用函数的奇偶性常可简化运算。
　　
　　实战演练
　　1. 已知函数f(x)=x2-2|x|-1,(-3≤x≤3),则函数的单调减区间为.
　　2. 已知f(x)=(3a-1)x+4a,x≤1
　　logax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是.
　　3. 已知函数f(x)=22x+1+m是奇函数,则实数m=.
　　4. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,且f(2a2+a+1)　　
　　【参考答案】
　　1. ［-3,-1］,［0,1］ 提示：数形结合,画出函数图象．
　　2. 17,13 提示：3a-1<0,
　　0　　(3a-1)+4a≥0.
　　解得17≤a<13．
　　3. -1 提示：因函数定义域为R,由奇函数性质可得f(0)=1+m=0,故m=-1．
　　4. (1,+∞) 提示：因偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,则f(x)在(0,+∞)上是减函数,又2a2+a+1=2a+142+78>0,
　　2a2-a+3=2a-14+238>0恒成立,
　　由f(2a2+a+1)　　得2a2+a+1>2a2-a+3,故a>1．